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Mathematics LibreTexts

0.5e: Exercises - Factoring

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    A: Factor out the GCF

    Exercise \(\PageIndex{A}\) 

    \( \bigstar \) Factor out the GCF.

    1. \(12 x ^ { 4 } - 16 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 }\)
    2. \(15 x ^ { 5 } - 10 x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 }\)
    3. \(20 y ^ { 8 } + 28 y ^ { 6 } + 40 y ^ { 3 }\)
    4. \(18 y ^ { 7 } - 24 y ^ { 5 } - 30 y ^ { 3 }\)
    5. \(2 a ^ { 4 } b ^ { 3 } - 6 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 8 a ^ { 2 } b\)
    6. \(28 a ^ { 3 } b ^ { 3 } - 21 a ^ { 2 } b ^ { 4 } - 14 a b ^ { 5 }\)
    7. \(2 x ^ { 3 } y ^ { 5 } - 4 x ^ { 4 } y ^ { 4 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 }\)
    1. \(3 x ^ { 5 } y - 2 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + x ^ { 3 } y ^ { 3 }\)
    2. \(5 x ^ { 2 } ( 2 x + 3 ) - 3 ( 2 x + 3 )\)
    3. \(y ^ { 2 } ( y - 1 ) + 9 ( y - 1 )\)
    4. \(9 x ^ { 2 } ( 3 x - 1 ) + ( 3 x - 1 )\)
    5. \(7 y ^ { 2 } ( 5 y + 2 ) - ( 5 y + 2 )\)
    6. \(x ^ { 5 n } - x ^ { 3 n } + x ^ { n }\)
    7. \(y ^ { 6 n } - y ^ { 3 n } - y ^ { 2 n }\)
    1. \(2 x ^ { 4 } - 12 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 }\)
    2. \(18 a ^ { 3 } b - 3 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 3 }\)
    3. \(x ^ { 4 } y ^ { 3 } - 3 x ^ { 3 } y + x ^ { 2 } y\)
    4. \(x ^ { 3 n } - x ^ { 2 n } - x ^ { n }\)
    5. \(35y+84\)
    6. \(6y^2+12y−6\)
    1. \(18x^3−15x\)
    2. \(15m^4+6m^2n\)
    3. \(4x^3−12x^2+16x\)
    4. \(−3x+24\)
    5. \(−3x^3+27x^2−12x\)
    6. \(3x(x−1)+5(x−1)\)
    Answers to odd exercises:
    1. \(4 x ^ { 2 } \left( 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 \right)\)
    3. \(4 y ^ { 3 } \left( 5 y ^ { 5 } + 7 y ^ { 3 } + 10 \right)\)
    5. \(2 a ^ { 2 } b \left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 3 a b + 4 \right)\)    		 7. \(x ^ { 2 } y ^ { 3 } \left( 2 x y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } y + 1 \right)\)
    9. \(( 2 x + 3 ) \left( 5 x ^ { 2 } - 3 \right)\)
    11. \(( 3 x - 1 ) \left( 9 x ^ { 2 } + 1 \right)\)    		 13. \(x ^ { n } \left( x ^ { 4 n } - x ^ { 2 n } + 1 \right)\)
    15. \(2 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - 6 x - 1 \right)\)
    17. \(x ^ { 2 } y \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 3 x + 1 \right)\)     		 19. \(7(5y+12)\)
    21. \(3x(6x^2−5)\)
    23. \(4x(x^2−3x+4)\)
    25. \(−3x(x^2−9x+4)\)

    B: Factor 4 term Polynomials.

    Exercise \(\PageIndex{B}\) 

    \( \bigstar \) Factor by grouping.

    1. \(2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 2 x + 3\)
    2. \(5 x ^ { 3 } + 25 x ^ { 2 } + x + 5\)
    3. \(6 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 4 x - 2\)
    4. \(3 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 15 x + 10\)
    5. \(x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 3 x + 3\)
    6. \(6 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } - 2 x + 5\)
    7. \(2 x ^ { 3 } + 7 x ^ { 2 } - 10 x - 35\)
    8. \(3 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 24 x - 8\)
    9. \(14 y ^ { 4 } + 10 y ^ { 3 } - 7 y - 5\)
    10. \(5 y ^ { 4 } + 2 y ^ { 3 } + 20 y + 8\)
    11. \(x ^ { 4 n } + x ^ { 3 n } + 2 x ^ { n } + 2\)
    12. \(x ^ { 5 n } + x ^ { 3 n } + 3 x ^ { 2 n } + 3\)
    13. \(x ^ { 3 } - x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }\)
    14. \(x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - 2 x y ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 }\)
    15. \(3 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 9 x ^ { 2 } y ^ { 3 } - x - 3 y\)
    16. \(2 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 2 x - y\)
    17. \(a ^ { 2 } b - 4 a b ^ { 2 } - 3 a + 12 b\)
    1. \(a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } + 5 a + 15 b\)
    2. \(a ^ { 4 } + a ^ { 2 } b ^ { 3 } + a ^ { 2 } b + b ^ { 4 }\)
    3. \(a ^ { 3 } b + 2 a ^ { 2 } + 3 a b ^ { 4 } + 6 b ^ { 3 }\)
    4. \(3 a x + 10 b y - 5 a y - 6 b x\)
    5. \(a ^ { 2 } x - 5 b ^ { 2 } y - 5 a ^ { 2 } y + b ^ { 2 } x\)
    6. \(x ^ { 4 } y ^ { 2 } - x ^ { 3 } y ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 4 } - x y ^ { 5 }\)
    7. \(2 x ^ { 5 } y ^ { 2 } + 4 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + 18 x ^ { 3 } y + 36 x ^ { 2 } y\)
    8. \(a ^ { 5 } b ^ { 2 } + a ^ { 4 } b ^ { 4 } + a ^ { 3 } b ^ { 3 } + a ^ { 2 } b ^ { 5 }\)
    9. \(3 a ^ { 6 } b + 3 a ^ { 5 } b ^ { 2 } + 9 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 9 a ^ { 3 } b ^ { 3 }\)
    10. \(2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 2 x - 1\)
    11. \(3x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 6 x + 2\)
    12. \(x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } - 5 y ^ { 3 }\)
    13. \(a ^ { 2 } b - a + a b ^ { 3 } - b ^ { 2 }\)
    14. \(2 x ^ { 4 } - 4 x y ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 } y\)
    15. \(x ^ { 4 } y ^ { 2 } - x y ^ { 5 } + x ^ { 3 } y ^ { 4 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 }\)
    16. \(ax−ay+bx−by\)
    17. \(x^2y−xy^2+2x−2y\)
    1. \(x^2+7x−3x−21\)
    2. \(4x^2−16x+3x−12\)
    3. \(m^3+m^2+m+1\)
    4. \(5x−5y−y+x\)  
    5. \( 9x^2 + 18x + 9 - 121x^2 \)
    6. \( 9x^2 + 30x + 25 - 81x^2 \)
    7. \( 16x^2 + 24x + 9 - 144x^2 \)
    8. \( 16x^2 + 32x + 16 - 121x^2 \)
    9. \( 25x^2 + 70x + 49 - 121x^2 \)
    10. \( 25x^2 + 80x + 64 - 100x^2 \)
    11. \( 9x^2 + 12x + 4 - 144 \)
    12. \( 9x^2 + 24x + 16 - 144 \)
    13. \( 16x^2 + 24x + 9 - 36 \)
    14. \( 16x^2 + 48x + 36 - 81 \)
    15. \( 25x^2 + 30x + 9 - 81 \)
    16. \( 25x^2 + 20x + 4 - 100 \)
    Answers to odd exercises:
    31. \(( 2 x + 3 ) \left( x ^ { 2 } + 1 \right)\)
    33. \(( 2 x - 1 ) \left( 3 x ^ { 2 } + 2 \right)\)
    35. \(( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - 3 \right)\)
    37. \(( 2 x + 7 ) \left( x ^ { 2 } - 5 \right)\)
    39. \(( 7 y + 5 ) \left( 2 y ^ { 3 } - 1 \right)\) 
    41. \(\left( x ^ { n } + 1 \right) \left( x ^ { 3 n } + 2 \right)\)    		 43. \(( x - y ) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)\)
    45. \(( x + 3 y ) \left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 1 \right)\)
    47. \(( a - 4 b ) ( a b - 3 )\)
    49. \(\left( a ^ { 2 } + b \right) \left( a ^ { 2 } + b ^ { 3 } \right)\)
    51. \(( a - 2 b ) ( 3 x - 5 y )\)
    53. \(x y ^ { 2 } ( x - y ) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)\)    		 55. \(a ^ { 2 } b ^ { 2 } \left( a ^ { 2 } + b \right) \left( a + b ^ { 2 } \right)\)
    57. \(\left( x ^ { 2 } + 1 \right) ( 2 x - 1 )\)
    59. \(\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ( x - 5 y )\)
    61. \(2 x ( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)\)
    63. \((a+b)(x−y)\)
    65. \((x−3)(x+7)\)    		 67. \((m^2+1)(m+1)\)
    69. \( (-8x +3)(14x +3)  \)
    71. \(  (-8x +3)(16x +3) \)
    73. \( (-6x +7)(16x +7)  \)
    75. \( (3x -10)(3x+14)  \)
    77. \( (4x -3)(4x+9)  \)
    79. \(  (5x -6)(5x+12) \)

    C: Factor Binomials.

    Exercise \(\PageIndex{C}\) 

    \( \bigstar \) I. Factor two term polynomials.

    1. \(x^{2}-64\)
    2. \(x^{2}-100\)
    3. \(9-4y^{2}\)
    4. \(25 - y^{2}\)
    5. \(x ^ { 2 } - 81 y ^ { 2 }\)
    6. \(x ^ { 2 } - 49 y ^ { 2 }\)
    7. \(a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 4\)
    8. \(1 - 9 a ^ { 2 } b ^ { 2 }\)
    9. \(a ^ { 2 } b ^ { 2 } - c ^ { 2 }\)
    10. \(4 a ^ { 2 } - b ^ { 2 } c ^ { 2 }\)
    1. \(x ^ { 4 } - 64\)
    2. \(36 - y ^ { 4 }\)
    3. \(( 2 x + 5 ) ^ { 2 } - x ^ { 2 }\)
    4. \(( 3 x - 5 ) ^ { 2 } - x ^ { 2 }\)
    5. \(y ^ { 2 } - ( y - 3 ) ^ { 2 }\)
    6. \(y ^ { 2 } - ( 2 y + 1 ) ^ { 2 }\)
    7. \(( 2 x + 5 ) ^ { 2 } - ( x - 3 ) ^ { 2 }\)
    8. \(( 3 x - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }\)
    9. \(x ^ { 4 } - 16\)
    10. \(81 x ^ { 4 } - 1\)
    1. \(x ^ { 4 } y ^ { 4 } - 1\)
    2. \(x ^ { 4 } - y ^ { 4 }\)
    3. \(x ^ { 8 } - y ^ { 8 }\)
    4. \(y ^ { 8 } - 1\)
    5. \(x ^ { 2 n } - y ^ { 2 n }\)
    6. \(x ^ { 2 n } y ^ { 2 n } - 4\)
    7. \(x ^ { 4 n } - y ^ { 4 n }\)
    8. \(x ^ { 4 n } y ^ { 4 n } - 16\)
    9. \(x ^ { 3 } - 27\)
    10. \(8 x ^ { 3 } - 125\)
    1. \(8 y ^ { 3 } + 27\)
    2. \(64 x ^ { 3 } + 343\)
    3. \(x ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)
    4. \(x ^ { 3 } + y ^ { 3 }\)
    5. \(8 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 1\)
    6. \(27 a ^ { 3 } - 8 b ^ { 3 }\)
    7. \(x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 125\)
    8. \(216 x ^ { 3 } + y ^ { 3 }\)
    9. \(x ^ { 3 } + ( x + 3 ) ^ { 3 }\)
    10. \(y ^ { 3 } - ( 2 y - 1 ) ^ { 3 }\)
    1. \(( 2 x + 1 ) ^ { 3 } - x ^ { 3 }\)
    2. \(( 3 y - 5 ) ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)
    3. \(x ^ { 3 n } - y ^ { 3 n }\)
    4. \(x ^ { 3 n } + y ^ { 3 n }\)
    5. \(a ^ { 6 } + 64\)
    6. \(64 a ^ { 6 } - 1\)
    7. \(x ^ { 6 } - y ^ { 6 }\)
    8. \(x ^ { 6 } + y ^ { 6 }\)
    9. \(x ^ { 6 n } - y ^ { 6 n }\)
    10. \(x ^ { 6 n } + y ^ { 6 n }\)
    Answers to odd exercises:
    81. \(( x + 8 ) ( x - 8 )\)
    83. \(( 3 + 2 y ) ( 3 - 2 y )\)
    85. \(( x + 9 y ) ( x - 9 y )\)
    87. \(( a b + 2 ) ( a b - 2 )\)
    89. \(( a b + c ) ( a b - c )\)
    91. \(\left( x ^ { 2 } + 8 \right) \left( x ^ { 2 } - 8 \right)\)
    93. \(( 3 x + 5 ) ( x + 5 )\)
    95. \(3 ( 2 y - 3 )\)    		 97. \(( 3 x + 2 ) ( x + 8 )\)
    99. \(\left( x ^ { 2 } + 4 \right) ( x + 2 ) ( x - 2 )\)
    101. \(\left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 1 \right) ( x y + 1 ) ( x y - 1 )\)
    103. \((x^4+y^4)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)\)
    105. \(\left( x ^ { n } + y ^ { n } \right) \left( x ^ { n } - y ^ { n } \right)\)
    107. \(\left( x ^ { 2 n } + y ^ { 2 n } \right) \left( x ^ { n } + y ^ { n } \right) \left( x ^ { n } - y ^ { n } \right)\)
    109. \(( x - 3 ) \left( x ^ { 2 } + 3 x + 9 \right)\)
    111. \(( 2 y + 3 ) \left( 4 y ^ { 2 } - 6 y + 9 \right)\)    		 113. \(( x - y ) \left( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } \right)\)
    115. \(( 2 a b + 1 ) \left( 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 2 a b + 1 \right)\)
    117. \(( x y - 5 ) \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y + 25 \right)\)
    119. \(( 2 x + 3 ) \left( x ^ { 2 } + 3 x + 9 \right)\)
    121. \(( x + 1 ) \left( 7 x ^ { 2 } + 5 x + 1 \right)\)
    123. \(\left( x ^ { n } - y ^ { n } \right) \left( x ^ { 2 n } + x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } \right)\)
    125. \(\left( a ^ { 2 } + 4 \right) \left( a ^ { 4 } - 4 a ^ { 2 } + 16 \right)\)
    127. \(( x + y ) \left( x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } \right) ( x - y ) \left( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } \right)\) \( \qquad\)
    129. \(\begin{array} { l } { \left( x ^ { n } + y ^ { n } \right) \left( x ^ { 2 n } - x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } \right) } {\left( x ^ { n } - y ^ { n } \right) \left( x ^ { 2 n } + x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } \right) } \end{array}\)

    \( \bigstar \) II. Factor two term polynomials.

    1. \(64 x ^ { 2 } - 1\)
    2. \(9 - 100 y ^ { 2 }\)
    3. \(x ^ { 2 } - 36 y ^ { 2 }\)
    4. \(4 - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }\)
    5. \(a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 125\)
    6. \(64 x ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)
    1. \(81 x ^ { 4 } - y ^ { 4 }\)
    2. \(x ^ { 8 } - 1\)
    3. \(x ^ { 6 } - 64 y ^ { 6 }\)
    4. \(1 - a ^ { 6 } b ^ { 6 }\)
    5. \( 81x^2 - 9x \)
    6. \( 64 - 16x \)
    1. \(169m^2−n^2\)
    2. \(25p^2−1\)
    3. \(9−121y^2\)
    4. \(20x^2−125\)
    5. \(169n^3−n\)
    6. \(6p^2q^2−54p^2\)
    1. \(24p^2+54\)
    2. \(49x^2−81y^2\)
    3. \(16z^4−1\)
    4. \(48m^4n^2−243n^2\)
    5. \(a^2+6a+9−9b^2\)
    6. \(x^2−16x+64−y^2\)
    1. \(a^3−125\)
    2. \(b^3−216\)
    3. \(2m^3+54\)
    4. \(81m^3+3\)
    Answers to odd exercises:
    131. \(( 8 x + 1 ) ( 8 x - 1 )\)
    133. \(( x + 6 y ) ( x - 6 y )\)
    135. \(( a b + 5 ) \left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 5 a b + 25 \right)\)
    137. \(\left( 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ( 3 x + y ) ( 3 x - y )\)
    139. \(( x + 2 y ) \left( x ^ { 2 } - 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right) ( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right)\)
    141. \( 9x(9x-1) \)
    143. \((13m+n)(13m−n)\)    		 145. \((3+11y)(3−11y)\)
    147. \(n(13n+1)(13n−1)\)
    149. \(6(4p^2+9)\)
    151. \((2z−1)(2z+1)(4z^2+1)\)
    153. \((a+3−3b)(a+3+3b)\)
    155. \((a−5)(a^2+5a+25)\)
    157. \(2(m+3)(m^2−3m+9)\)
     

    D: Factor Trinomials, \(a=1\).

    Exercise \(\PageIndex{D}\) 

    \( \bigstar \) Factor trinomials, \(a=1\).

    1. \(x ^ { 2 } + 5 x - 6\)
    2. \(x ^ { 2 } + 5 x + 6\)
    3. \(x ^ { 2 } + 4 x - 12\)
    4. \(x ^ { 2 } + 3 x - 18\)
    5. \(x ^ { 2 } - 14 x + 48\)
    6. \(x ^ { 2 } - 15 x + 54\)
    7. \(x ^ { 2 } + 11 x - 30\)
    8. \(x ^ { 2 } - 2 x + 24\)
    9. \(x ^ { 2 } - 18 x + 81\)
    10. \(x ^ { 2 } - 22 x + 121\)
    1. \(x ^ { 2 } - x y - 20 y ^ { 2 }\)
    2. \(x ^ { 2 } + 10 x y + 9 y ^ { 2 }\)
    3. \(x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y - 50\)
    4. \(x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 16 x y + 48\)
    5. \(a ^ { 2 } - 6 a b - 72 b ^ { 2 }\)
    6. \(a ^ { 2 } - 21 a b + 80 b ^ { 2 }\)
    7. \(u ^ { 2 } + 14 u v - 32 v ^ { 2 }\)
    8. \(m ^ { 2 } + 7 m n - 98 n ^ { 2 }\)
    9. \(( x + y ) ^ { 2 } - 2 ( x + y ) - 8\)
    10. \(( x - y ) ^ { 2 } - 2 ( x - y ) - 15\)
    1. \(x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } - 8\)
    2. \(x ^ { 4 } + 13 x ^ { 2 } + 30\)
    3. \(x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } - 48\)
    4. \(x ^ { 4 } + 25 x ^ { 2 } + 24\)
    5. \(y ^ { 4 } - 20 y ^ { 2 } + 100\)
    6. \(y ^ { 4 } + 14 y ^ { 2 } + 49\)
    7. \(x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 y ^ { 4 }\)
    8. \(x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 15 y ^ { 4 }\)
    9. \(a ^ { 4 } b ^ { 4 } - 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 4\)
    10. \(a ^ { 4 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 9 b ^ { 4 }\)
    1. \(x ^ { 6 } - 18 x ^ { 3 } - 40\)
    2. \(x ^ { 6 } + 18 x ^ { 3 } + 45\)
    3. \(x ^ { 6 } - x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 6 y ^ { 6 }\)
    4. \(x ^ { 6 } + x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 20 y ^ { 6 }\)
    5. \(x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 2 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 15\)
    6. \(x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 16 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 48\)
    7. \(x ^ { 2 n } + 12 x ^ { n } + 32\)
    8. \(x ^ { 2 n } + 41 x ^ { n } + 40\)
    9. \(x ^ { 2 n } + 2 a x ^ { n } + a ^ { 2 }\)
    10. \(x ^ { 2 n } - 2 a x ^ { n } + a ^ { 2 }\)
    Answers to odd exercises:
    161. \(( x - 1 ) ( x + 6 )\)
    163. \(( x - 2 ) ( x + 6 )\)
    165. \(( x - 6 ) ( x - 8 )\)
    167. Prime
    169. \(( x - 9 ) ^ { 2 }\)    		 171. \(( x - 5 y ) ( x + 4 y )\)
    173. \(( x y - 5 ) ( x y + 10 )\)
    175. \(( a + 6 b ) ( a - 12 b )\)
    177. \(( u - 2 v ) ( u + 16 v )\)
    179. \(( x + y - 4 ) ( x + y + 2 )\)    		 181. \(\left( x ^ { 2 } - 8 \right) \left( x ^ { 2 } + 1 \right)\)
    183. \(\left( x ^ { 2 } + 4 \right) \left( x ^ { 2 } - 12 \right)\)
    185. \(\left( y ^ { 2 } - 10 \right) ^ { 2 }\)
    187. \(\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right)\)
    189. \(\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 2 \right) ^ { 2 }\)     		 191. \(\left( x ^ { 3 } - 20 \right) \left( x ^ { 3 } + 2 \right)\)
    193. \(\left( x ^ { 3 } + 2 y ^ { 3 } \right) \left( x ^ { 3 } - 3 y ^ { 3 } \right)\)
    195. \(\left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 3 \right) \left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 5 \right)\)
    197. \(\left( x ^ { n } + 4 \right) \left( x ^ { n } + 8 \right)\)
    199. \(\left( x ^ { n } + a \right) ^ { 2 }\)

    E: Factor trinomials, \(a \ne 1 \)

    Exercise \(\PageIndex{E}\) 

    \( \bigstar \) Factor trinomials. (Leading coefficient is not one).

    1. \(3 x ^ { 2 } + 20 x - 7\)
    2. \(2 x ^ { 2 } - 9 x - 5\)
    3. \(6 a ^ { 2 } + 13 a + 6\)
    4. \(4 a ^ { 2 } + 11 a + 6\)
    5. \(6 x ^ { 2 } + 7 x - 10\)
    6. \(4 x ^ { 2 } - 25 x + 6\)
    7. \(24 y ^ { 2 } - 35 y + 4\)
    8. \(10 y ^ { 2 } - 23 y + 12\)
    9. \(14 x ^ { 2 } - 11 x + 9\)
    10. \(9 x ^ { 2 } + 6 x + 8\)
    11. \(4 x ^ { 2 } - 28 x + 49\)
    12. \(36 x ^ { 2 } - 60 x + 25\)
    13. \(27 x ^ { 2 } - 6 x - 8\)
    14. \(24 x ^ { 2 } + 17 x - 20\)
    1. \(6 x ^ { 2 } + 23 x y - 4 y ^ { 2 }\)
    2. \(10 x ^ { 2 } - 21 x y - 27 y ^ { 2 }\)
    3. \(8 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 18 a b + 9\)
    4. \(12 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - a b - 20\)
    5. \(8 u ^ { 2 } - 26 u v + 15 v ^ { 2 }\)
    6. \(24 m ^ { 2 } - 26 m n + 5 n ^ { 2 }\)
    7. \(4 a ^ { 2 } - 12 a b + 9 b ^ { 2 }\)
    8. \(16 a ^ { 2 } + 40 a b + 25 b ^ { 2 }\)
    9. \(5(x+y)^2-9(x+y)+4\)
    10. \(7 ( x - y ) ^ { 2 } + 15 ( x - y ) - 18\)
    11. \(7 x ^ { 4 } - 22 x ^ { 2 } + 3\)
    12. \(5 x ^ { 4 } - 41 x ^ { 2 } + 8\)
    1. \(4 y ^ { 6 } - 3 y ^ { 3 } - 10\)
    2. \(12 y ^ { 6 } + 4 y ^ { 3 } - 5\)
    3. \(5 a ^ { 4 } b ^ { 4 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 18\)
    4. \(21 a ^ { 4 } b ^ { 4 } + 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 4\)
    5. \(6 x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 17 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 10\)
    6. \(16 x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 46 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 15\)
    7. \(8 x ^ { 2 n } - 10 x ^ { n } - 25\)
    8. \(30 x ^ { 2 n } - 11 x ^ { n } - 6\)
    9. \(36 x ^ { 2 n } + 12 a x ^ { n } + a ^ { 2 }\)
    10. \(9 x ^ { 2 n } - 12 a x ^ { n } + 4 a ^ { 2 }\)
    11. \(- 3 x ^ { 2 } + 14 x + 5\)
    12. \(- 2 x ^ { 2 } + 13 x - 20\)
    1. \(- x ^ { 2 } - 10 x + 24\)
    2. \(- x ^ { 2 } + 8 x + 48\)
    3. \(54 - 12 x - 2 x ^ { 2 }\)
    4. \(60 + 5 x - 5 x ^ { 2 }\)
    5. \(4 x ^ { 3 } + 16 x ^ { 2 } + 20 x\)
    6. \(2 x ^ { 4 } - 12 x ^ { 3 } + 14 x ^ { 2 }\)
    7. \(2 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } y - 24 x y ^ { 2 }\)
    8. \(6 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } y - 6 x y ^ { 2 }\)
    9. \(4 a ^ { 3 } b - 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 24 a b ^ { 3 }\)
    10. \(15 a ^ { 4 } b - 33 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 3 }\)
    11. \(3 x ^ { 5 } y + 30 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 75 x y ^ { 5 }\)
    12. \(45 x ^ { 5 } y ^ { 2 } - 60 x ^ { 3 } y ^ { 4 } + 20 x y ^ { 6 }\)
    Answers to odd exercises:
    201. \(( 3 x - 1 ) ( x + 7 )\)
    203. \(( 2 a + 3 ) ( 3 a + 2 )\)
    205. \(( 6 x - 5 ) ( x + 2 )\)
    207. \(( 8 y - 1 ) ( 3 y - 4 )\)
    209. Prime
    211. \(( 2 x - 7 ) ^ { 2 }\)
    213. \(( 9 x + 4 ) ( 3 x - 2 )\)    		 215. \(( 6 x - y ) ( x + 4 y )\)
    217. \(( 4 a b - 3 ) ( 2 a b - 3 )\)
    219. \(( 2 u - 5 v ) ( 4 u - 3 v )\)
    221. \(( 2 a - 3 b ) ^ { 2 }\)
    223. \(( x + y - 1 ) ( 5 x + 5 y - 4 )\)
    225. \(\left( x ^ { 2 } - 3 \right) \left( 7 x ^ { 2 } - 1 \right)\)    		 227. \(\left( y ^ { 3 } - 2 \right) \left( 4 y ^ { 3 } + 5 \right)\)
    229. \(\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 2 \right) \left( 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 9 \right)\)
    231. \(\left( 6 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 5 \right) \left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 2 \right)\)
    233. \(\left( 2 x ^ { n } - 5 \right) \left( 4 x ^ { n } + 5 \right)\)
    235. \(\left( 6 x ^ { n } + a \right) ^ { 2 }\)
    237. \(- ( x - 5 ) ( 3 x + 1 )\)    		 239. \(- ( x - 2 ) ( x + 12 )\)
    241. \(- 2 ( x - 3 ) ( x + 9 )\)
    243. \(4 x \left( x ^ { 2 } + 4 x + 5 \right)\)
    245. \(2 x ( x + 2 y ) ( x - 6 y )\)
    247. \(4 a b ( a - 3 b ) ( a + 2 b )\)
    249. \(3 x y \left( x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } \right) ^ { 2 }\)

    F: Factor Trinomials.

    Exercise \(\PageIndex{F}\) 

    \( \bigstar \) Factor the following trinomials.

    1. \(x ^ { 2 } - 8 x - 48\)
    2. \(x ^ { 2 } - 15 x + 54\)
    3. \(x ^ { 2 } - 4 x - 6\)
    4. \(x ^ { 2 } - 12 x y + 36 y ^ { 2 }\)
    5. \(x ^ { 2 } + 20 x y + 75 y ^ { 2 }\)
    6. \(- x ^ { 2 } + 5 x + 150\)
    7. \(- 2 y ^ { 2 } + 20 y + 48\)
    8. \(28 x ^ { 2 } + 20 x + 3\)
    9. \(150 x ^ { 2 } - 100 x + 6\)
    10. \(24 a ^ { 2 } - 38 a b + 3 b ^ { 2 }\)
    11. \(27 u ^ { 2 } - 3 u v - 4 v ^ { 2 }\)
    12. \(16 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 78 x y + 27\)
    13. \(16 m ^ { 2 } + 72 m n + 81 n ^ { 2 }\)
    1. \(4 x ^ { 2 } - 5 x + 20\)
    2. \(25 x ^ { 4 } - 35 x ^ { 2 } + 6\)
    3. \(2 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 2 } + 3\)
    4. \(x ^ { 6 } + 3 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 10 y ^ { 6 }\)
    5. \(a ^ { 6 } - 8 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 15 b ^ { 6 }\)
    6. \(x ^ { 2 n } - 2 x ^ { n } + 1\)
    7. \(6 x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 2\)
    8. \(25x^2+30x+9\)
    9. \(36a^2−84ab+49b^2\)
    10. \(40x^2+360x+810\)
    11. \(5k^3−70k^2+245k\)
    12. \(75u^4−30u^3v+3u^2v^2\)
    13. \(k^2−16k+60\)
    1. \(m^2+3m−54\)
    2. \(x^2−3x−10\)
    3. \(x^2+12xy+35y^2\)
    4. \(r^2+3rs−28s^2\)
    5. \(a^2+4ab−21b^2\)
    6. \(p^2−5pq−36q^2\)
    7. \(m^2−5mn+30n^2\)
    8. \(x^3+5x^2−24x\)
    9. \(3y^3−21y^2+30y\)
    10. \(5x^4+10x^3−75x^2\)
    11. \(5y^2+14y+9\)
    12. \(8x^2+25x+3\)
    13. \(10y^2−53y−11\)
    1. \(6p^2−19pq+10q^2\)
    2. \(−81a^2+153a+18\)
    3. \(2x^2+9x+4\)
    4. \(18a^2−9a+1\)
    5. \(15p^2+2p−8\)
    6. \(15x^2+6x−2\)
    7. \(8a^2+32a+24\)
    8. \(3x^2+3x−36\)
    9. \(48y^2+12y−36\)
    10. \(18a^2−57a−21\)
    11. \(3n^4−12n^3−96n^2\)
    Answers to odd exercises:
    251. \(( x - 12 ) ( x + 4 )\)
    253. Prime
    255. \(( x + 5 y ) ( x + 15 y )\)
    257. \(- 2 ( y - 12 ) ( y + 2 )\)
    259. \(2 ( 15 x - 1 ) ( 5 x - 3 )\)
    261. \(( 3 u + v ) ( 9 u - 4 v )\)
    263. \(( 4 m + 9 n ) ^ { 2 }\)    		 265. \(\left( 5 x ^ { 2 } - 6 \right) \left( 5 x ^ { 2 } - 1 \right)\)
    267. \(\left( x ^ { 3 } + 5 y ^ { 3 } \right) \left( x ^ { 3 } - 2 y ^ { 3 } \right)\)
    269. \(\left( x ^ { n } - 1 \right) ^ { 2 }\)
    271. \((5x+3)^2\)
    273. \(10(2x+9)^2\)
    275. \(3u^2(5u−v)^2\)    		 277. \((m+9)(m−6)\)
    279. \((x+5y)(x+7y)\)
    281. \((a+7b)(a−3b)\)
    283. Prime
    285. \(3y(y−5)(y−2)\)
    287. \((5y+9)(y+1)\)    		 289. \((5y+1)(2y−11)\)
    291. \(−9(9a−1)(a+2)\)
    293. \((3a−1)(6a−1)\)
    295. Prime
    297. \(3(x+4)(x−3)\)
    299. \(3(2a−7)(3a+1)\)

    G: Mixed Factoring Practice.

    Exercise \(\PageIndex{G}\) 

    \( \bigstar \) Mixed practice. Factor completely.

    1. \(4 - 25 x ^ { 2 }\)
    2. \(8 x ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)
    3. \(9 x ^ { 2 } - 12 x y + 4 y ^ { 2 }\)
    4. \(30 a ^ { 2 } - 57 a b - 6 b ^ { 2 }\)
    5. \(10 a ^ { 2 } - 5 a - 6 a b + 3 b\)
    6. \(3 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 9 x - 12\)
    7. \(x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 }\)
    8. \(x ^ { 2 } - x + 2\)
    9. \(15 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 3 } - 3 a b ^ { 4 }\)
    10. \(54 x ^ { 2 } - 63 x\)
    11. \(45 x ^ { 3 } - 20 x\)
    12. \(12 x ^ { 4 } - 70 x ^ { 3 } + 50 x ^ { 2 }\)
    13. \(- 20 x ^ { 2 } + 32 x - 3\)
    14. \(- x ^ { 3 } y + 9 x y ^ { 3 }\)
    15. \(24 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 5 }\)
    16. \(64 a ^ { 6 } b ^ { 6 } - 1\)
    17. \(64 x ^ { 2 } + 1\)
    1. \(x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }\)
    2. \(8y^3+16y^2−24y\)
    3. \(5y^3−15y^2−270y\)
    4. \(16x^3−36x\)
    5. \(27y^2−48\)
    6. \(4x^2+20xy+25y^2\)
    7. \(9x^2−24xy+16y^2\)
    8. \(50x^3y+72xy\)
    9. \(250m^3+432n^3\)
    10. \(4a^5b−64ab\)
    11. \(7xy^5−7xy\)
    12. \(6x^2-12xc+6bx-12bc\)
    13. \(16x^2+24xy−4x−6y\)
    14. \(4p^2q−16pq+12q\)
    15. \(6pq^2−9pq−6p\)
    16. \(4x^2-12xy+9y^2-25\)
    17. \(16x^2-24xy+9y^2-64\)
    1. \(80a^2+120a^3\)
    2. \(5m(m−1)+3(m−1)\)
    3. \(x^2+13x+36\)
    4. \(p^2+pq−12q^2\)
    5. \(xy−8y+7x−56\)
    6. \(40r^2+810\)
    7. \(9s^2−12s+4\)
    8. \(6x^2−11x−10\)
    9. \(3x^2−75y^2\)
    10. \(6u^2+3u−18\)
    11. \(x^3+125\)
    12. \(32x^5y^2−162xy^2\)
    13. \(6x^4−19x^2+15\)
    14. \(3x^3−36x^2+108x\)
    15. \(24x^3+44x^2\)
    16. \(24a^4−9a^3\)
    17. \(16n^2−56mn+49m^2\)
    1. \(6a^2−25a−9\)
    2. \(5u^4−45u^2\)
    3. \(n^4−81\)
    4. \(64j^2+225\)
    5. \(5x^2+5x−60\)
    6. \(b^3−64\)
    7. \(m^3+125\)
    8. \(2b^2−2bc+5cb−5c^2\)
    9. \(48x^5y^2−243xy^2\)
    10. \(5q^2−15q−90\)
    11. \(4u^5v+4u^2v^3\)
    12. \(10m^4−6250\)
    13. \(60x^2y−75xy+30y\)
    14. \( 16x^2 + 32x + 16 - 121\)
    15. \( 9x^2 + 42x + 49 - 9 \)
    16. \( 16x^2 + 72x + 81 - 144x^2 \)
    17. \( 9x^2 + 12x + 4 - 36x^2 \)
    Answers to odd exercises:
    301. \(( 2 - 5 x ) ( 2 + 5 x )\)
    303. \(( 3 x - 2 y ) ^ { 2 }\)
    305. \(( 2 a - 1 ) ( 5 a - 3 b )\)
    307. Prime
    309. \(3 a b ^ { 2 } \left( 5 a ^ { 2 } + 2 a b - b ^ { 2 } \right)\)
    311. \(5 x ( 3 x + 2 ) ( 3 x - 2 )\)
    313. \(- ( 10 x - 1 ) ( 2 x - 3 )\)
    315. \(3 a b ^ { 2 } ( 2 a + b ) \left( 4 a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \right)\)
    317. Prime
    319. \(8y(y−1)(y+3)\)
    321. \(4x(2x−3)(2x+3)\)    		 323. \((2x+5y)^2\)
    325. \(2xy(25x^2+36)\)
    327. \(4ab(a^2+4)(a−2)(a+2)\)
    329. \(6(x+b)(x−2c)\)
    331. \(4q(p−3)(p−1)\)
    333. \((2x−3y−5)(2x−3y+5)\)
    335. \(40a^2(2+3a)\)
    337. \((x+9)(x+4)\)
    339. \((x−8)(y+7)\)
    341. \((3s−2)^2\)
    343. \(3(x+5y)(x−5y)\)    		 345. \((x+5)(x^2−5x+25)\)
    347. \((3x^2−5)(2x^2−3)\)
    349. \(4x^2(6x+11)\)
    351. \((4n−7m)^2\)
    353. \(5u^2(u+3)(u−3)\)
    355. prime
    357. \((b−4)(b^2+4b+16)\)
    359. \((2b+5c)(b−c)\)
    361. \(5(q+3)(q−6) \)
    363. \(10(m−5)(m+5)(m^2+25)\)
    365. \( (4x -7)(4x+15)  \)
    367. \(  (-8x +9)(16x +9) \)

    .

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