
# 0.1e: Exercises - Real Number Operations


## A: The Number Line, Set and Interval Notation

Exercises $$\PageIndex{1}$$

$$\bigstar$$ Graph the solution set and give the interval notation and set-builder notation equivalents.

 1.    $$x<−1$$ 2.    $$x>−3$$ 3.    $$x\geq −8$$ 4.    $$x\leq 6$$ 5.    $$−10\leq x<4$$ 6.    $$33$$ 13.    $$x<−2$$  or  $$x\geq 5$$ 14.    $$x\leq 0$$  or  $$x\geq 4$$ 15.    $$x<6$$  or  $$x>2$$ 16.    $$x<0$$  or  $$x\leq 5$$

1. $$(−∞, −1)$$;   $$\{x| \, x<−1\}$$;

3. $$[−8,∞)$$;   $$\{x| \, x \geq −8\}$$;

5. $$[−10,4)$$;  $$\{x|−10≤x<4\}$$;

7. $$(−40,0)$$;  $$\{x|−40<x<0\}$$;

9. $$[0,5)$$;  $$\{x| \, 0≤x<5\}$$;

11. $$(−∞,7]$$;   $$\{x| \, x \le 7\}$$;

13. $$(−∞,−2)\cup [5,∞)$$;    $$\{x| \, x<−2 \text{ or } x \geq 5\}$$

15. $$(−∞,∞)=\mathbb{R}$$;

## B: Convert a Description to an Inequality

Exercises $$\PageIndex{2}$$

$$\bigstar$$  Write an equivalent inequality.

 17.    All real numbers less than $$−15$$. 18.    All real numbers greater than or equal to $$−7$$. 19.    All real numbers less than $$6$$ and greater than zero. 20.    All real numbers less than zero and greater than $$−5$$. 21.    All real numbers less than or equal to $$5$$ or greater than $$10$$. 22.    All real numbers between $$−2$$ and $$2$$.
 17. $$x<−15$$ 19. $$010$$

## C: Convert Interval Notation to an Inequality

Exercises $$\PageIndex{3}$$

$$\bigstar$$ Determine the inequality given the answers expressed in interval notation.

 23.    $$(−∞,12)$$ 24.    $$[−8,∞)$$ 25.    $$(−∞,0]$$ 26.    $$(0,∞)$$ 27.    $$(−6,14)$$ 28.    $$(0,12]$$ 29.    $$[5,25)$$ 30.    $$[−30,−10]$$ 31.    $$(−∞,2)\cup [3,∞)$$ 32.    $$(−∞,−19]\cup [−12,∞)$$ 33.    $$(−∞,−2)\cup (0,∞)$$ 34.    $$(−∞,−15]\cup (−5,∞)$$
 23. $$x<12$$ 25. $$x\leq 0$$ 27. $$−60$$

## D: Order of Operations

Exercises $$\PageIndex{4}$$

$$\bigstar$$ Use order of operations to evaluate the given expression.

 36.    10+2×(5−3) 37.    6÷2−(81÷32) 38.    18+(6−8)3 39.    −2×[16÷(8−4)2]2 40.    4−6+2×7 41.    3(5−8) 42.    4+6−10÷2 43.    12÷(36÷9)+6 44.    (4+5)2÷3 45.    3−12×2+19 46.    2+8×7÷4 47.    5+(6+4)−11 48.    9−18÷32 49.    14×3÷7−6 50.    9−(3+11)×2 51.    6+2×2−1 52.    64÷(8+4×2) 53.    9+4(22) 54.    (12÷3×3)2 55.    25÷52−7 56.    (15−7)×(3−7) 57.    2×4−9(−1) 58.    $$4^{2} - 25 \cdot \frac{1}{5}$$ 59.    12(3−1)÷6

37.    6 $$\qquad$$39.    2 $$\qquad$$41.    9 $$\qquad$$43.    9 $$\qquad$$45.    −2 $$\qquad$$47.    4
49.    0 $$\qquad$$51.    9 $$\qquad$$53.    25 $$\qquad$$55.    −6 $$\qquad$$57.    17 $$\qquad$$59.    4

## E: Substitute and Evaluate Expressions

Exercises $$\PageIndex{5}$$

$$\bigstar$$ Evaluate.

 61.    $$−2x + 3$$ where $$x = −2$$ 62.    $$8x − 5$$ where $$x = −1$$ 63.    $$x^{2} − x + 5$$ where $$x = −5$$ 64.    $$2x^{2} − 8x + 1$$ where $$x = 3$$ 65.    $$\dfrac { x ^ { 2 } - x + 2 } { 2 x - 1 }$$ where $$x = -\frac{1}{2}$$ 66.    $$\dfrac { 9 x ^ { 2 } + x - 2 } { 3 x - 4 }$$ where $$x = -\frac{2}{3}$$ 67.    $$( 3 y - 2 ) ( y + 5 )$$ where $$y = \frac { 2 } { 3 }$$ 68.    $$(3x + 2) (5x + 1)$$ where $$x = −\frac{1}{5}$$ 69.    $$(3x − 1) (x − 8)$$ where $$x = −1$$ 70.    $$(7y + 5) (y + 1)$$ where $$y = −2$$ 71.    $$y^{6} − y^{3} + 2$$ where $$y = −1$$ 72.    $$y^{5} + y^{3} − 3$$ where $$y = −2$$ 73.    $$a^{2} − 5b^{2}$$ where $$a = −2$$ and $$b = −1$$ 74.    $$a^{3} − 2b^{3}$$ where $$a = −3$$ and $$b = 2$$ 75.    $$(x − 2y) (x + 2y)$$ where $$x = 2$$ and $$y = −5$$ 76.    $$(4x − 3y) (x − y)$$ where $$x = −4$$ and $$y = −3$$ 77.    $$a^{2} − ab + b^{2}$$ where $$a = −1$$ and $$b = −2$$ 78.    $$x^{2}y^{2} − xy + 2$$ where $$x = −3$$ and $$y = −2$$ 79.    $$a^{4} − b^{4}$$ where $$a = −2$$ and $$b = −3$$ 80.    $$a^{6} − 2a^{3}b^{3} − b^{6}$$ where $$a = 2$$ and $$b = −1$$

81. Evaluate $$\sqrt { b^2 - 4 a c }$$ given the following values.

 a.    $$a = 6, b = 1$$ and $$c = −1$$ b.    $$a = 15, b = 4$$ and $$c = −4$$ c.    $$a = \dfrac{3}{4} , b = −2$$ and $$c = −4$$ d.    $$a = \dfrac{1}{2} , b = −2$$ and $$c = −30$$ e.    $$a = 1, b = 2$$ and $$c = −1$$ f.    $$a = 1, b = −4$$ and $$c = −50$$ g.    $$a = 1, b = −1$$ and $$c = −\dfrac{1}{16}$$ h.    $$a = −2, b = −\dfrac{1}{3}$$ and $$c = 1$$

61. $$7$$ $$\qquad$$ 63. $$35$$ $$\qquad$$ 65. $$−\frac{11}{8}$$ $$\qquad$$ 67. $$0$$ $$\qquad$$ 69. $$36$$ $$\qquad$$ 71. $$4$$ $$\qquad$$ 73. $$−1$$ $$\qquad$$
75. $$−96$$ $$\qquad$$ 77. $$3$$ $$\qquad$$ 79. $$−65$$ $$\qquad$$ 81 a. $$5$$ $$\qquad$$ 81 c. $$4$$ $$\qquad$$ 81 e. $$2\sqrt{2}$$ $$\qquad$$ 81 g. $$\frac { \sqrt { 5 } } { 2 }$$

## F: Simplify Algebraic Expressions

Exercises $$\PageIndex{6}$$

$$\bigstar$$ Simplify.

 85.    $$5 − 2 (4x + 8)$$ 86.    $$8 − 6 (2x − 1)$$ 87.    $$2 (x^{2} − 7x + 1) + 3x − 7$$ 88.    $$−5 (x^{2} + 4x − 1) + 8x^{2} − 5$$ 89.    $$5ab − 4 (ab + 5)$$ 90.    $$5 (7 − ab) + 2ab$$ 91.    $$2 − a^{2} + 3 (a^{2} + 4)$$ 92.    $$7 − 3y + 2 (y^{2} − 3y − 2)$$ 93.    $$8x^{2} − 3x − 5 (x^{2} + 4x − 1)$$ 94.    $$2 − 5y − 6 (y^{2} − y + 2)$$ 95.    $$a^{2}b^{2} − 5 + 3 (a^{2}b^{2} − 3ab + 2)$$ 96.    $$a^{2} − 3ab − 2 (a^{2} − ab + 1)$$ 97.    $$10y^{2} + 6 − (3y^{2} + 2y + 4)$$ 98.    $$4m^{2} − 3mn − (m^{2} − 3mn + n^{2} )$$ 99.    $$x^{2n} − 3x^{n} + 5 (x^{2n} − x^{n} + 1)$$ 100.    $$−3 (y^{2n} − 2y^{n} + 1) + 4y^{2n} − 5$$ 101.    $$7x - x \div 2 \times 4 + \dfrac{x}{3}$$ 102.    $$5v \div 3v \times (9-6+2)$$  103.    $$7z - 3 + z \times 6^2$$ 104.    $$4 \times 3 + 18 x \div 9 - 12$$ 105.    $$8b -1 - 4b \times 3 + 2$$ 106.   $$a \div 64 \times 2^3 -12a \div 6$$ 107.    $$27 -(4)^2 y-11$$ 108.    $$4x + x(13-7)$$ 109.    $$9(y + 8) - 27$$  110.    $$\Big{(} \displaystyle \frac{9}{6}t−4 \Big{)}2$$ 111.    $$6 + 12b - 3 (6b)$$ 112.    $$18y - 2(1 + 7y)$$ 113.   $$\Big{(} \displaystyle \frac{4}{9} \Big{)} ^{2} 27x$$ 114.    $$8(3 - m) + 1(-8)$$ 115.    $$9x + 4x(2 + 3) - 4(2x + 3x)$$ 116.    $$5^2 - 4(3x)$$
85. $$−8x − 11$$ $$\qquad$$ 87. $$2x^{2} − 11x − 5$$ $$\qquad$$ 89. $$ab − 20$$ $$\qquad$$ 91. $$2a^{2} + 14$$  $$\qquad$$ 93. $$3x^{2} − 23x + 5$$ $$\qquad$$
95. $$4a^{2}b^{2} − 9ab + 1$$ $$\qquad$$ 97. $$7y^{2} − 2y + 2$$ $$\qquad$$ 99. $$6x^{2n} − 8x^{n} + 5$$ $$\qquad$$  101. $$\frac{16x}{3}$$ $$\qquad$$ 103. $$43z-3$$
105. $$-4b+1$$ $$\qquad$$  107. $$-14y-11$$ $$\qquad$$  109. $$9y+45$$ 111. $$-6b+6$$$$\qquad$$  113. $$\frac{16x}{3}$$ $$\qquad$$  115. $$9x$$