
# 0.3e: Exercises - Square Roots


### A: Simplify Square Roots

Exercise $$\PageIndex{1}$$

$$\bigstar$$ Simplify. (Assume all variable expressions represent positive numbers, so absolute values is not needed.)

 $$\sqrt { 9 x ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 16 y ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 36 a ^ { 4 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 100 a ^ { 8 } }$$ $$\sqrt { 4 a ^ { 6 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { a ^ { 10 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 18 a ^ { 4 } b ^ { 5 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 48 a ^ { 5 } b ^ { 3 } }$$ $$\sqrt { 49 a ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 64 b ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { x ^ { 2 } y ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 25 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z ^ { 2 } }$$ $$\sqrt { 180 x ^ { 3 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 150 y ^ { 3 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 49 a ^ { 3 } b ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 4 a ^ { 4 } b ^ { 3 } c }$$ $$\sqrt { 45 x ^ { 5 } y ^ { 3 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 50 x ^ { 6 } y ^ { 4 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 64 r ^ { 2 } s ^ { 6 } t ^ { 5 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 144 r ^ { 8 } s ^ { 6 } t ^ { 2 } }$$
 1. $$3 x \\[6pt]$$ 3. $$6 a ^ { 2 }$$ 5. $$2 a ^ { 3 } \\[6pt]$$ 7. $$3 a ^ { 2 } b ^ { 2 } \sqrt { 2 b }$$ 9. $$7a\\[6pt]$$ 11. $$xy$$ 13. $$6 x \sqrt { 5 x }\\[6pt]$$ 15. $$7 a b \sqrt { a }$$ 17. $$3 x ^ { 2 } y \sqrt { 5 x y }\\[6pt]$$ 19. $$8 r s ^ { 3 } t ^ { 2 } \sqrt { t }$$

$$\bigstar$$ Simplify. Rationalize denominators. (Assume all variable expressions represent positive numbers, so absolute values is not needed.)

 $$\sqrt { ( 5 x - 4 ) ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { ( 3 x - 5 ) ^ { 4 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { x ^ { 2 } - 6 x + 9 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { x ^ { 2 } - 10 x + 25 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 4 x ^ { 2 } + 12 x + 9 }$$ $$\sqrt { 9 x ^ { 2 } + 6 x + 1 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { ( x + 1 ) ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 4 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 9 ( 2 x + 3 ) ^ { 2 } }$$ $$- 3 \sqrt { 4 x ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$7 \sqrt { 9 y ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$- 5 x \sqrt { 4 x ^ { 2 } y }\\[6pt]$$ $$- 3 y \sqrt { 16 x ^ { 3 } y ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$12 a b \sqrt { a ^ { 5 } b ^ { 3 } }$$ $$6 a ^ { 2 } b \sqrt { 9 a ^ { 7 } b ^ { 2 } }$$ $$\sqrt { \dfrac { 9 x ^ { 3 } } { 25 y ^ { 2 } } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { \dfrac { 4 x ^ { 5 } } { 9 y ^ { 4 } } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { \dfrac { m ^ { 7 } } { 36 n ^ { 4 } } }$$ $$\sqrt { \dfrac { 147 m ^ { 9 } } { n ^ { 6 } } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { \dfrac { 2 r ^ { 2 } s ^ { 5 } } { 25 t ^ { 4 } } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { \dfrac { 36 r ^ { 5 } } { s ^ { 2 } t ^ { 6 } } }\\[6pt]$$
 21. $$5 x - 4$$ 23. $$x - 3$$ 25. $$2x + 3$$ 27. $$x + 1$$ 29. $$2 ( 3 x - 1 )$$ 31. $$-6x$$ 33. $$- 10 x ^ { 2 } \sqrt { y }$$ 35. $$12 a ^ { 3 } b ^ { 2 } \sqrt { a b }$$ 37. $$\dfrac { 3 x \sqrt { x } } { 5 y }$$ 39. $$\dfrac { m ^ { 3 } \sqrt { m } } { 6 n ^ { 2 } }$$ 41. $$\dfrac { r s ^ { 2 } \sqrt { 2 s } } { 5 t ^ { 2 } }$$

### B: Add and Subtract Square Roots of Constants.

Exercise $$\PageIndex{2}$$

$$\bigstar$$ Combine like terms

 $$10 \sqrt { 3 } - 5 \sqrt { 3 }\\[6pt]$$ $$15 \sqrt { 6 } - 8 \sqrt { 6 }\\[6pt]$$ $$9 \sqrt { 3 } + 5 \sqrt { 3 }\\[6pt]$$ $$12 \sqrt { 6 } + 3 \sqrt { 6 }\\[6pt]$$ $$4 \sqrt { 5 } - 7 \sqrt { 5 } - 2 \sqrt { 5 }$$ $$3 \sqrt { 10 } - 8 \sqrt { 10 } - 2 \sqrt { 10 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 6 } - 4 \sqrt { 6 } + 2 \sqrt { 6 }\\[6pt]$$ $$5 \sqrt { 10 } - 15 \sqrt { 10 } - 2 \sqrt { 10 }\\[6pt]$$ $$13 \sqrt { 7 } - 6 \sqrt { 2 } - 5 \sqrt { 7 } + 5 \sqrt { 2 }\\[6pt]$$ $$10 \sqrt { 13 } - 12 \sqrt { 15 } + 5 \sqrt { 13 } - 18 \sqrt { 15 }$$ $$6 \sqrt { 5 } - ( 4 \sqrt { 3 } - 3 \sqrt { 5 } )\\[6pt]$$ $$- 12 \sqrt { 2 } - ( 6 \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } )\\[6pt]$$ $$( 2 \sqrt { 5 } - 3 \sqrt { 10 } ) - ( \sqrt { 10 } + 3 \sqrt { 5 } )\\[6pt]$$ $$( - 8 \sqrt { 3 } + 6 \sqrt { 15 } ) - ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 15 } )\\[6pt]$$
 45. $$5 \sqrt { 3 }\\[6pt]$$ 47. $$14 \sqrt { 3 }$$ 49. $$- 5 \sqrt { 5 }\\[6pt]$$ 51. $$- \sqrt { 6 }$$ 53. $$8 \sqrt { 7 } - \sqrt { 2 }\\[6pt]$$ 55. $$9 \sqrt { 5 } - 4 \sqrt { 3 }$$ 57. $$- \sqrt { 5 } - 4 \sqrt { 10 }\\[6pt]$$

$$\bigstar$$ Simplify and combine like terms

 $$\sqrt { 75 } - \sqrt { 12 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 24 } - \sqrt { 54 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 32 } + \sqrt { 27 } - \sqrt { 8 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 20 } + \sqrt { 48 } - \sqrt { 45 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 28 } - \sqrt { 27 } + \sqrt { 63 } - \sqrt { 12 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 90 } + \sqrt { 24 } - \sqrt { 40 } - \sqrt { 54 }$$ $$\sqrt { 45 } - \sqrt { 80 } + \sqrt { 245 } - \sqrt { 5 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 108 } + \sqrt { 48 } - \sqrt { 75 } - \sqrt { 3 }\\[6pt]$$ $$4 \sqrt { 2 } - ( \sqrt { 27 } - \sqrt { 72 } )\\[6pt]$$ $$- 3 \sqrt { 5 } - ( \sqrt { 20 } - \sqrt { 50 } )\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 27 } - 2 \sqrt { 12 }\\[6pt]$$ $$3 \sqrt { 50 } - 4 \sqrt { 32 }$$ $$3 \sqrt { 243 } - 2 \sqrt { 18 } - \sqrt { 48 }\\[6pt]$$ $$6 \sqrt { 216 } - 2 \sqrt { 24 } - 2 \sqrt { 96 }\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 18 } - 3 \sqrt { 75 } - 2 \sqrt { 98 } + 4 \sqrt { 48 }\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 45 } - \sqrt { 12 } + 2 \sqrt { 20 } - \sqrt { 108 }\\[6pt]$$ $$( 2 \sqrt { 363 } - 3 \sqrt { 96 } ) - ( 7 \sqrt { 12 } - 2 \sqrt { 54 } )\\[6pt]$$ $$( 2 \sqrt { 288 } + 3 \sqrt { 360 } ) - ( 2 \sqrt { 72 } - 7 \sqrt { 40 } )$$
 59. $$3 \sqrt { 3 }\\[6pt]$$ 61. $$2 \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { 3 }$$ 63. $$5 \sqrt { 7 } - 5 \sqrt { 3 }\\[6pt]$$ 65. $$5 \sqrt { 5 }$$ 67. $$10 \sqrt { 2 } - 3 \sqrt { 3 }\\[6pt]$$ 69. $$2 \sqrt { 3 }$$ 71. $$23 \sqrt { 3 } - 6 \sqrt { 2 }\\[6pt]$$ 73. $$- 8 \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 }$$ 75. $$8 \sqrt { 3 } - 6 \sqrt { 6 }$$

### C: Add and Subtract Square Root Expressions.

Exercise $$\PageIndex{3}$$

$$\bigstar$$ Add. (Assume all radicands containing variable expressions are positive.)

 $$\sqrt { 2 x } - 4 \sqrt { 2 x }\\[6pt]$$ $$5 \sqrt { 3 y } - 6 \sqrt { 3 y }\\[6pt]$$ $$9 \sqrt { x } + 7 \sqrt { x }\\[6pt]$$ $$- 8 \sqrt { y } + 4 \sqrt { y }$$ $$7 x \sqrt { y } - 3 x \sqrt { y } + x \sqrt { y }\\[6pt]$$ $$10 y ^ { 2 } \sqrt { x } - 12 y ^ { 2 } \sqrt { x } - 2 y ^ { 2 } \sqrt { x }\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { a b } - 5 \sqrt { a } + 6 \sqrt { a b } - 10 \sqrt { a }\\[6pt]$$ $$- 3 x \sqrt { y } + 6 \sqrt { y } - 4 x \sqrt { y } - 7 \sqrt { y }$$ $$5 \sqrt { x y } - ( 3 \sqrt { x y } - 7 \sqrt { x y } )\\[6pt]$$ $$- 8 a \sqrt { b } - ( 2 a \sqrt { b } - 4 \sqrt { a b } )\\[6pt]$$ $$( 3 \sqrt { 2 x } - \sqrt { 3 x } ) - ( \sqrt { 2 x } - 7 \sqrt { 3 x } )\\[6pt]$$ $$( \sqrt { y } - 4 \sqrt { 2 y } ) - ( \sqrt { y } - 5 \sqrt { 2 y } )$$
 79. $$- 3 \sqrt { 2 x }$$ 81. $$16 \sqrt { x }$$ 83. $$5 x \sqrt { y }$$ 85. $$8 \sqrt { a b } - 15 \sqrt { a }$$ 87. $$9 \sqrt { x y }$$ 89. $$2 \sqrt { 2 x } + 6 \sqrt { 3 x }$$

$$\bigstar$$ Simplify and add. (Assume all radicands containing variable expressions are positive.)

 $$\sqrt { 81 b } + \sqrt { 4 b }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 100 a } + \sqrt { a }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 9 a ^ { 2 } b } - \sqrt { 36 a ^ { 2 } b }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 50 a ^ { 2 } } - \sqrt { 18 a ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 49 x } - \sqrt { 9 y } + \sqrt { x } - \sqrt { 4 y }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 9 x } + \sqrt { 64 y } - \sqrt { 25 x } - \sqrt { y }$$ $$7 \sqrt { 8 x } - ( 3 \sqrt { 16 y } - 2 \sqrt { 18 x } )\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 64 y } - ( 3 \sqrt { 32 y } - \sqrt { 81 y } )\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 9 m ^ { 2 } n } - 5 m \sqrt { 9 n } + \sqrt { m ^ { 2 } n }\\[6pt]$$ $$4 \sqrt { 18 n ^ { 2 } m } - 2 n \sqrt { 8 m } + n \sqrt { 2 m }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 4 x ^ { 2 } y } - \sqrt { 9 x y ^ { 2 } } - \sqrt { 16 x ^ { 2 } y } + \sqrt { y ^ { 2 } x }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 32 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } + \sqrt { 12 x ^ { 2 } y } - \\ \sqrt { 18 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - \sqrt { 27 x ^ { 2 } y }$$ $$\left( \sqrt { 9 x ^ { 2 } y } - \sqrt { 16 y } \right) - \left( \sqrt { 49 x ^ { 2 } y } - 4 \sqrt { y } \right)\\[6pt]$$ $$\left( \sqrt { 72 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } - \sqrt { 18 x ^ { 2 } y } \right) \\ - \left( \sqrt { 50 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } + x \sqrt { 2 y } \right)\\[6pt]$$ $$\sqrt { 12 m ^ { 4 } n } - m \sqrt { 75 m ^ { 2 } n } + 2 \sqrt { 27 m ^ { 4 } n }\\[6pt]$$ $$5 n \sqrt { 27 m n ^ { 2 } } + 2 \sqrt { 12 m n ^ { 4 } } - n \sqrt { 3 m n ^ { 2 } }\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 27 a ^ { 3 } b } - a \sqrt { 48 a b } - a \sqrt { 144 a ^ { 3 } b }\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 98 a ^ { 4 } b } - 2 a \sqrt { 162 a ^ { 2 } b } + a \sqrt { 200 b }$$
 91. $$11 \sqrt { b }\\[6pt]$$ 93. $$- 3 a \sqrt { b }\\[6pt]$$ 95. $$8 \sqrt { x } - 5 \sqrt { y }$$ 97. $$20 \sqrt { 2 x } - 12 \sqrt { y }\\[6pt]$$ 99. $$- 8 m \sqrt { n }\\[6pt]$$ 101. $$- 2 x \sqrt { y } - 2 y \sqrt { x }$$ 103. $$- 4 x \sqrt { y }\\[6pt]$$ 105. $$3 m ^ { 2 } \sqrt { 3 n }\\[6pt]$$ 107. $$2 a \sqrt { 3 a b } - 12 a ^ { 2 } \sqrt { a b }$$

### D: Multiply and Divide Square Root Expressions.

Exercise $$\PageIndex{4}$$

$$\bigstar$$ Multiply and simplify. (Assume all variables represent non-negative real numbers.)

 $$\sqrt { 3 } \cdot \sqrt { 7 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 2 } \cdot \sqrt { 5 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 6 } \cdot \sqrt { 12 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 10 } \cdot \sqrt { 15 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 2 } \cdot \sqrt { 6 }$$ $$\sqrt { 5 } \cdot \sqrt { 15 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 7 } \cdot \sqrt { 7 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 12 } \cdot \sqrt { 12 }\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 5 } \cdot 7 \sqrt { 10 }\\[6pt]$$ $$3 \sqrt { 15 } \cdot 2 \sqrt { 6 }$$ $$( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }\\[6pt]$$ $$( 6 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 2 x } \cdot \sqrt { 2 x }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 5 y } \cdot \sqrt { 5 y }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 3 a } \cdot \sqrt { 12 }\\[6pt]$$ $$\sqrt { 3 a } \cdot \sqrt { 2 a }\\[6pt]$$ $$4 \sqrt { 2 x } \cdot 3 \sqrt { 6 x }\\[6pt]$$ $$5 \sqrt { 10 y } \cdot 2 \sqrt { 2 y }\\[6pt]$$
 111. $$\sqrt{21}\\[6pt]$$ 113. $$6\sqrt{2}$$ 115. $$2\sqrt{3}\\[6pt]$$ 117. $$7$$ 119. $$70\sqrt{2}\\[6pt]$$ 121. $$20$$ 123. $$2x\\[6pt]$$ 125. $$6\sqrt{a}$$ 127. $$24x\sqrt{3}$$

$$\bigstar$$ Distribute and simplify. (Assume all variables represent non-negative real numbers.)

 $$\sqrt { 5 } ( 3 - \sqrt { 5 } )\\[6pt]$$ $$\sqrt { 2 } ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )\\[6pt]$$ $$3 \sqrt { 7 } ( 2 \sqrt { 7 } - \sqrt { 3 } )\\[6pt]$$ $$2 \sqrt { 5 } ( 6 - 3 \sqrt { 10 } )\\[6pt]$$ $$\sqrt { 6 } ( \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )$$ $$\sqrt { 15 } ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } )\\[6pt]$$ $$\sqrt { x } ( \sqrt { x } + \sqrt { x y } )\\[6pt]$$ $$\sqrt { y } ( \sqrt { x y } + \sqrt { y } )\\[6pt]$$ $$\sqrt { 2 a b } ( \sqrt { 14 a } - 2 \sqrt { 10 b } )\\[6pt]$$ $$\sqrt { 6 a b } ( 5 \sqrt { 2 a } - \sqrt { 3 b } )$$ $$( \sqrt { 2 } - \sqrt { 5 } ) ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 7 } )\\[6pt]$$ $$( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 7 } )\\[6pt]$$ $$( 2 \sqrt { 3 } - 4 ) ( 3 \sqrt { 6 } + 1 )\\[6pt]$$ $$( 5 - 2 \sqrt { 6 } ) ( 7 - 2 \sqrt { 3 } )\\[6pt]$$ $$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 }$$ $$( \sqrt { 7 } - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\\[6pt]$$ $$( 2 \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) ( 2 \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } )\\[6pt]$$ $$( \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { 7 } ) ( \sqrt { 2 } - 3 \sqrt { 7 } )\\[6pt]$$ $$( \sqrt { a } - \sqrt { 2 b } ) ^ { 2 }\\[6pt]$$ $$( \sqrt { a b } + 1 ) ^ { 2 }$$
 129. $$3\sqrt{5}-5\\[6pt]$$ 131. $$42 - 3 \sqrt { 21 }\\[6pt]$$ 133. $$3 \sqrt { 2 } - 2 \sqrt { 3 }$$ 135. $$x + x \sqrt { y }\\[6pt]$$ 137. $$2 a \sqrt { 7 b } - 4 b \sqrt { 5 a }\\[6pt]$$ 139. $$\sqrt { 6 } + \sqrt { 14 } - \sqrt { 15 } - \sqrt { 35 }$$ 141. $$18 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 3 } - 12 \sqrt { 6 } - 4$$ 143. $$8 - 2 \sqrt { 15 }$$ 145. $$10$$ 147. $$a - 2 \sqrt { 2 a b } + 2 b$$

$$\bigstar$$ Divide and simplify. (Assume all variables represent non-negative real numbers.)

 $$\dfrac { \sqrt { 75 } } { \sqrt { 3 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 360 } } { \sqrt { 10 } }$$ $$\dfrac { \sqrt { 72 } } { \sqrt { 75 } } \\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 90 } } { \sqrt { 98 } }$$ $$\dfrac { \sqrt { 90 x ^ { 5 } } } { \sqrt { 2 x } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 96 y ^ { 3 } } } { \sqrt { 3 y } }$$ $$\dfrac { \sqrt { 96 y ^ { 3 } } } { \sqrt { 3 y } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 162 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } } { \sqrt { 2 x y } }$$ $$\dfrac { \sqrt { 363 x ^ { 4 } y ^ { 9 } } } { \sqrt { 3 x y } }$$
 149. $$5$$ 151. $$\dfrac { 2 \sqrt { 6 } } { 5 }$$ 153. $$3 x ^ { 2 } \sqrt { 5 }$$ 155. $$9 x ^ { 3 } y ^ { 2 }$$ 157. $$11 x ^ 2 y^4 \sqrt { x}$$

### E: Rationalize the Denominator.

Exercise $$\PageIndex{5}$$

$$\bigstar$$ Rationalize the denominator. (Assume all variables represent positive real numbers.)

 $$\dfrac { 1 } { \sqrt { 5 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 1 } { \sqrt { 6 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 3 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 7 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 5 } { 2 \sqrt { 10 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 3 } { 5 \sqrt { 6 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 3 } - \sqrt { 5 } } { \sqrt { 3 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 6 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 2 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 1 } { \sqrt { 7 x } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 1 } { \sqrt { 3 y } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { a } { 5 \sqrt { a b } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 3 b ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 3 a b } }\\[6pt]$$
 161. $$\dfrac { \sqrt { 5 } } { 5 }$$ 163. $$\dfrac { \sqrt { 6 } } { 3 }$$ 165. $$\dfrac { \sqrt { 10 } } { 4 }$$ 167. $$\dfrac { 3 - \sqrt { 15 } } { 3 }$$ 169. $$\dfrac { \sqrt { 7 x } } { 7 x }$$ 171. $$\dfrac { \sqrt { a b } } { 5 b }$$

$$\bigstar$$ Rationalize the denominator. (Assume all variables represent positive real numbers.)

 $$\dfrac { 3 } { \sqrt { 10 } - 3 }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 2 } { \sqrt { 6 } - 2 }$$ $$\dfrac { 1 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 1 } { \sqrt { 7 } - \sqrt { 2 } }$$ $$\dfrac { \sqrt { 3 } } { \sqrt { 3 } + \sqrt { 6 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 15 } }$$ $$\dfrac { 10 } { 5 - 3 \sqrt { 5 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { - 2 \sqrt { 2 } } { 4 - 3 \sqrt { 2 } }$$ $$\dfrac { \sqrt { 3 } + \sqrt { 5 } } { \sqrt { 3 } - \sqrt { 5 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 10 } - \sqrt { 2 } } { \sqrt { 10 } + \sqrt { 2 } }$$ $$\dfrac { 2 \sqrt { 3 } - 3 \sqrt { 2 } } { 4 \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 6 \sqrt { 5 } + 2 } { 2 \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } }$$
 173. $$3\sqrt { 10 } + 9$$ 175. $$\dfrac { \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } } { 2 }$$ 177. $$- 1 + \sqrt { 2 }$$ 179. $$\dfrac { - 5 - 3 \sqrt { 5 } } { 2}$$ 181. $$- 4 - \sqrt { 15 }$$ 183. $$\dfrac { 15 - 7 \sqrt { 6 } } { 23 }$$
$$\bigstar$$ Rationalize the denominator. (Assume all variables represent positive real numbers.)
 $$\dfrac { x - y } { \sqrt { x } + \sqrt { y } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { x - y } { \sqrt { x } - \sqrt { y } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { x + \sqrt { y } } { x - \sqrt { y } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { x - \sqrt { y } } { x + \sqrt { y } }$$ $$\dfrac { \sqrt { a } - \sqrt { b } } { \sqrt { a } + \sqrt { b } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { a b } + \sqrt { 2 } } { \sqrt { a b } - \sqrt { 2 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { x } } { 5 - 2 \sqrt { x } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { 1 } { \sqrt { x } - y }$$ $$\dfrac { \sqrt { x } + \sqrt { 2 y } } { \sqrt { 2 x } - \sqrt { y } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 3 x } - \sqrt { y } } { \sqrt { x } + \sqrt { 3 y } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 2 x + 1 } } { \sqrt { 2 x + 1 } - 1 }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { x + 1 } } { 1 - \sqrt { x + 1 } }$$ $$\dfrac { \sqrt { x + 1 } + \sqrt { x - 1 } } { \sqrt { x + 1 } - \sqrt { x - 1 } }\\[6pt]$$ $$\dfrac { \sqrt { 2 x + 3 } - \sqrt { 2 x - 3 } } { \sqrt { 2 x + 3 } + \sqrt { 2 x - 3 } }$$
 185. $$\sqrt { x } - \sqrt { y }\\[6pt]$$ 187. $$\dfrac { x ^ { 2 } + 2 x \sqrt { y } + y } { x ^ { 2 } - y }$$ 189. $$\dfrac { a - 2 \sqrt { a b + b } } { a - b }\\[6pt]$$ 191. $$\dfrac { 5 \sqrt { x } + 2 x } { 25 - 4 x }$$ 193. $$\dfrac { x \sqrt { 2 } + 3 \sqrt { x y } + y \sqrt { 2 } } { 2 x - y }$$ 195. $$\dfrac { 2 x + 1 + \sqrt { 2 x + 1 } } { 2 x }\\[6pt]$$ 197. $$x + \sqrt { x ^ { 2 } - 1 }$$
$$\bigstar$$