0.05e: Exercises - Factoring

Last updated
Save as PDF

Page ID: 44373

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)

\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)

\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)

A: Factor out the GCF

Exercise \(\PageIndex{A}\)

\( \bigstar \) Factor out the GCF.

\(12 x ^ { 4 } - 16 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 }\)
\(15 x ^ { 5 } - 10 x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 }\)
\(20 y ^ { 8 } + 28 y ^ { 6 } + 40 y ^ { 3 }\)
\(18 y ^ { 7 } - 24 y ^ { 5 } - 30 y ^ { 3 }\)
\(2 a ^ { 4 } b ^ { 3 } - 6 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 8 a ^ { 2 } b\)
\(28 a ^ { 3 } b ^ { 3 } - 21 a ^ { 2 } b ^ { 4 } - 14 a b ^ { 5 }\)
\(2 x ^ { 3 } y ^ { 5 } - 4 x ^ { 4 } y ^ { 4 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 }\)

\(3 x ^ { 5 } y - 2 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + x ^ { 3 } y ^ { 3 }\)
\(5 x ^ { 2 } ( 2 x + 3 ) - 3 ( 2 x + 3 )\)
\(y ^ { 2 } ( y - 1 ) + 9 ( y - 1 )\)
\(9 x ^ { 2 } ( 3 x - 1 ) + ( 3 x - 1 )\)
\(7 y ^ { 2 } ( 5 y + 2 ) - ( 5 y + 2 )\)
\(x ^ { 5 n } - x ^ { 3 n } + x ^ { n }\)
\(y ^ { 6 n } - y ^ { 3 n } - y ^ { 2 n }\)

\(2 x ^ { 4 } - 12 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 }\)
\(18 a ^ { 3 } b - 3 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 3 }\)
\(x ^ { 4 } y ^ { 3 } - 3 x ^ { 3 } y + x ^ { 2 } y\)
\(x ^ { 3 n } - x ^ { 2 n } - x ^ { n }\)
\(35y+84\)
\(6y^2+12y−6\)

\(18x^3−15x\)
\(15m^4+6m^2n\)
\(4x^3−12x^2+16x\)
\(−3x+24\)
\(−3x^3+27x^2−12x\)
\(3x(x−1)+5(x−1)\)

Answers to odd exercises:

1. \(4 x ^ { 2 } \left( 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 \right)\)
3. \(4 y ^ { 3 } \left( 5 y ^ { 5 } + 7 y ^ { 3 } + 10 \right)\)
5. \(2 a ^ { 2 } b \left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 3 a b + 4 \right)\)

7. \(x ^ { 2 } y ^ { 3 } \left( 2 x y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } y + 1 \right)\)
9. \(( 2 x + 3 ) \left( 5 x ^ { 2 } - 3 \right)\)
11. \(( 3 x - 1 ) \left( 9 x ^ { 2 } + 1 \right)\)

13. \(x ^ { n } \left( x ^ { 4 n } - x ^ { 2 n } + 1 \right)\)
15. \(2 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - 6 x - 1 \right)\)
17. \(x ^ { 2 } y \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 3 x + 1 \right)\)

19. \(7(5y+12)\)
21. \(3x(6x^2−5)\)
23. \(4x(x^2−3x+4)\)
25. \(−3x(x^2−9x+4)\)

B: Factor 4 term Polynomials.

Exercise \(\PageIndex{B}\)

\( \bigstar \) Factor by grouping.

\(2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 2 x + 3\)
\(5 x ^ { 3 } + 25 x ^ { 2 } + x + 5\)
\(6 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 4 x - 2\)
\(3 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 15 x + 10\)
\(x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 3 x + 3\)
\(6 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } - 2 x + 5\)
\(2 x ^ { 3 } + 7 x ^ { 2 } - 10 x - 35\)
\(3 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 24 x - 8\)
\(14 y ^ { 4 } + 10 y ^ { 3 } - 7 y - 5\)
\(5 y ^ { 4 } + 2 y ^ { 3 } + 20 y + 8\)
\(x ^ { 4 n } + x ^ { 3 n } + 2 x ^ { n } + 2\)
\(x ^ { 5 n } + x ^ { 3 n } + 3 x ^ { 2 n } + 3\)
\(x ^ { 3 } - x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }\)
\(x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - 2 x y ^ { 2 } - 2 y ^ { 3 }\)
\(3 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 9 x ^ { 2 } y ^ { 3 } - x - 3 y\)
\(2 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 2 x - y\)
\(a ^ { 2 } b - 4 a b ^ { 2 } - 3 a + 12 b\)

\(a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } + 5 a + 15 b\)
\(a ^ { 4 } + a ^ { 2 } b ^ { 3 } + a ^ { 2 } b + b ^ { 4 }\)
\(a ^ { 3 } b + 2 a ^ { 2 } + 3 a b ^ { 4 } + 6 b ^ { 3 }\)
\(3 a x + 10 b y - 5 a y - 6 b x\)
\(a ^ { 2 } x - 5 b ^ { 2 } y - 5 a ^ { 2 } y + b ^ { 2 } x\)
\(x ^ { 4 } y ^ { 2 } - x ^ { 3 } y ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 4 } - x y ^ { 5 }\)
\(2 x ^ { 5 } y ^ { 2 } + 4 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + 18 x ^ { 3 } y + 36 x ^ { 2 } y\)
\(a ^ { 5 } b ^ { 2 } + a ^ { 4 } b ^ { 4 } + a ^ { 3 } b ^ { 3 } + a ^ { 2 } b ^ { 5 }\)
\(3 a ^ { 6 } b + 3 a ^ { 5 } b ^ { 2 } + 9 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 9 a ^ { 3 } b ^ { 3 }\)
\(2 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 2 x - 1\)
\(3x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 6 x + 2\)
\(x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } - 5 y ^ { 3 }\)
\(a ^ { 2 } b - a + a b ^ { 3 } - b ^ { 2 }\)
\(2 x ^ { 4 } - 4 x y ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x ^ { 3 } y\)
\(x ^ { 4 } y ^ { 2 } - x y ^ { 5 } + x ^ { 3 } y ^ { 4 } - x ^ { 2 } y ^ { 3 }\)
\(ax−ay+bx−by\)
\(x^2y−xy^2+2x−2y\)

\(x^2+7x−3x−21\)
\(4x^2−16x+3x−12\)
\(m^3+m^2+m+1\)
\(5x−5y−y+x\)
\( 9x^2 + 18x + 9 - 121x^2 \)
\( 9x^2 + 30x + 25 - 81x^2 \)
\( 16x^2 + 24x + 9 - 144x^2 \)
\( 16x^2 + 32x + 16 - 121x^2 \)
\( 25x^2 + 70x + 49 - 121x^2 \)
\( 25x^2 + 80x + 64 - 100x^2 \)
\( 9x^2 + 12x + 4 - 144 \)
\( 9x^2 + 24x + 16 - 144 \)
\( 16x^2 + 24x + 9 - 36 \)
\( 16x^2 + 48x + 36 - 81 \)
\( 25x^2 + 30x + 9 - 81 \)
\( 25x^2 + 20x + 4 - 100 \)

Answers to odd exercises:

31. \(( 2 x + 3 ) \left( x ^ { 2 } + 1 \right)\)
33. \(( 2 x - 1 ) \left( 3 x ^ { 2 } + 2 \right)\)
35. \(( x - 1 ) \left( x ^ { 2 } - 3 \right)\)
37. \(( 2 x + 7 ) \left( x ^ { 2 } - 5 \right)\)
39. \(( 7 y + 5 ) \left( 2 y ^ { 3 } - 1 \right)\)
41. \(\left( x ^ { n } + 1 \right) \left( x ^ { 3 n } + 2 \right)\)

43. \(( x - y ) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)\)
45. \(( x + 3 y ) \left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 1 \right)\)
47. \(( a - 4 b ) ( a b - 3 )\)
49. \(\left( a ^ { 2 } + b \right) \left( a ^ { 2 } + b ^ { 3 } \right)\)
51. \(( a - 2 b ) ( 3 x - 5 y )\)
53. \(x y ^ { 2 } ( x - y ) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)\)

55. \(a ^ { 2 } b ^ { 2 } \left( a ^ { 2 } + b \right) \left( a + b ^ { 2 } \right)\)
57. \(\left( x ^ { 2 } + 1 \right) ( 2 x - 1 )\)
59. \(\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ( x - 5 y )\)
61. \(2 x ( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right)\)
63. \((a+b)(x−y)\)
65. \((x−3)(x+7)\)

67. \((m^2+1)(m+1)\)
69. \( (-8x +3)(14x +3) \)
71. \( (-8x +3)(16x +3) \)
73. \( (-6x +7)(16x +7) \)
75. \( (3x -10)(3x+14) \)
77. \( (4x -3)(4x+9) \)
79. \( (5x -6)(5x+12) \)

C: Factor Binomials.

Exercise \(\PageIndex{C}\)

\( \bigstar \) I. Factor two term polynomials.

\(x^{2}-64\)
\(x^{2}-100\)
\(9-4y^{2}\)
\(25 - y^{2}\)
\(x ^ { 2 } - 81 y ^ { 2 }\)
\(x ^ { 2 } - 49 y ^ { 2 }\)
\(a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 4\)
\(1 - 9 a ^ { 2 } b ^ { 2 }\)
\(a ^ { 2 } b ^ { 2 } - c ^ { 2 }\)
\(4 a ^ { 2 } - b ^ { 2 } c ^ { 2 }\)

\(x ^ { 4 } - 64\)
\(36 - y ^ { 4 }\)
\(( 2 x + 5 ) ^ { 2 } - x ^ { 2 }\)
\(( 3 x - 5 ) ^ { 2 } - x ^ { 2 }\)
\(y ^ { 2 } - ( y - 3 ) ^ { 2 }\)
\(y ^ { 2 } - ( 2 y + 1 ) ^ { 2 }\)
\(( 2 x + 5 ) ^ { 2 } - ( x - 3 ) ^ { 2 }\)
\(( 3 x - 1 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }\)
\(x ^ { 4 } - 16\)
\(81 x ^ { 4 } - 1\)

\(x ^ { 4 } y ^ { 4 } - 1\)
\(x ^ { 4 } - y ^ { 4 }\)
\(x ^ { 8 } - y ^ { 8 }\)
\(y ^ { 8 } - 1\)
\(x ^ { 2 n } - y ^ { 2 n }\)
\(x ^ { 2 n } y ^ { 2 n } - 4\)
\(x ^ { 4 n } - y ^ { 4 n }\)
\(x ^ { 4 n } y ^ { 4 n } - 16\)
\(x ^ { 3 } - 27\)
\(8 x ^ { 3 } - 125\)

\(8 y ^ { 3 } + 27\)
\(64 x ^ { 3 } + 343\)
\(x ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)
\(x ^ { 3 } + y ^ { 3 }\)
\(8 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 1\)
\(27 a ^ { 3 } - 8 b ^ { 3 }\)
\(x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 125\)
\(216 x ^ { 3 } + y ^ { 3 }\)
\(x ^ { 3 } + ( x + 3 ) ^ { 3 }\)
\(y ^ { 3 } - ( 2 y - 1 ) ^ { 3 }\)

\(( 2 x + 1 ) ^ { 3 } - x ^ { 3 }\)
\(( 3 y - 5 ) ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)
\(x ^ { 3 n } - y ^ { 3 n }\)
\(x ^ { 3 n } + y ^ { 3 n }\)
\(a ^ { 6 } + 64\)
\(64 a ^ { 6 } - 1\)
\(x ^ { 6 } - y ^ { 6 }\)
\(x ^ { 6 } + y ^ { 6 }\)
\(x ^ { 6 n } - y ^ { 6 n }\)
\(x ^ { 6 n } + y ^ { 6 n }\)

Answers to odd exercises:

81. \(( x + 8 ) ( x - 8 )\)
83. \(( 3 + 2 y ) ( 3 - 2 y )\)
85. \(( x + 9 y ) ( x - 9 y )\)
87. \(( a b + 2 ) ( a b - 2 )\)
89. \(( a b + c ) ( a b - c )\)
91. \(\left( x ^ { 2 } + 8 \right) \left( x ^ { 2 } - 8 \right)\)
93. \(( 3 x + 5 ) ( x + 5 )\)
95. \(3 ( 2 y - 3 )\)

97. \(( 3 x + 2 ) ( x + 8 )\)
99. \(\left( x ^ { 2 } + 4 \right) ( x + 2 ) ( x - 2 )\)
101. \(\left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 1 \right) ( x y + 1 ) ( x y - 1 )\)
103. \((x^4+y^4)(x^2+y^2)(x+y)(x-y)\)
105. \(\left( x ^ { n } + y ^ { n } \right) \left( x ^ { n } - y ^ { n } \right)\)
107. \(\left( x ^ { 2 n } + y ^ { 2 n } \right) \left( x ^ { n } + y ^ { n } \right) \left( x ^ { n } - y ^ { n } \right)\)
109. \(( x - 3 ) \left( x ^ { 2 } + 3 x + 9 \right)\)
111. \(( 2 y + 3 ) \left( 4 y ^ { 2 } - 6 y + 9 \right)\)

113. \(( x - y ) \left( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } \right)\)
115. \(( 2 a b + 1 ) \left( 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 2 a b + 1 \right)\)
117. \(( x y - 5 ) \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y + 25 \right)\)
119. \(( 2 x + 3 ) \left( x ^ { 2 } + 3 x + 9 \right)\)
121. \(( x + 1 ) \left( 7 x ^ { 2 } + 5 x + 1 \right)\)
123. \(\left( x ^ { n } - y ^ { n } \right) \left( x ^ { 2 n } + x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } \right)\)
125. \(\left( a ^ { 2 } + 4 \right) \left( a ^ { 4 } - 4 a ^ { 2 } + 16 \right)\)

127. \(( x + y ) \left( x ^ { 2 } - x y + y ^ { 2 } \right) ( x - y ) \left( x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } \right)\) \( \qquad\)
129. \(\begin{array} { l } { \left( x ^ { n } + y ^ { n } \right) \left( x ^ { 2 n } - x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } \right) } {\left( x ^ { n } - y ^ { n } \right) \left( x ^ { 2 n } + x ^ { n } y ^ { n } + y ^ { 2 n } \right) } \end{array}\)

\( \bigstar \) II. Factor two term polynomials.

\(64 x ^ { 2 } - 1\)
\(9 - 100 y ^ { 2 }\)
\(x ^ { 2 } - 36 y ^ { 2 }\)
\(4 - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 }\)
\(a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 125\)
\(64 x ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)

\(81 x ^ { 4 } - y ^ { 4 }\)
\(x ^ { 8 } - 1\)
\(x ^ { 6 } - 64 y ^ { 6 }\)
\(1 - a ^ { 6 } b ^ { 6 }\)
\( 81x^2 - 9x \)
\( 64 - 16x \)

\(169m^2−n^2\)
\(25p^2−1\)
\(9−121y^2\)
\(20x^2−125\)
\(169n^3−n\)
\(6p^2q^2−54p^2\)

\(24p^2+54\)
\(49x^2−81y^2\)
\(16z^4−1\)
\(48m^4n^2−243n^2\)
\(a^2+6a+9−9b^2\)
\(x^2−16x+64−y^2\)

\(a^3−125\)
\(b^3−216\)
\(2m^3+54\)
\(81m^3+3\)

Answers to odd exercises:

131. \(( 8 x + 1 ) ( 8 x - 1 )\)
133. \(( x + 6 y ) ( x - 6 y )\)
135. \(( a b + 5 ) \left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 5 a b + 25 \right)\)
137. \(\left( 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) ( 3 x + y ) ( 3 x - y )\)
139. \(( x + 2 y ) \left( x ^ { 2 } - 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right) ( x - 2 y ) \left( x ^ { 2 } + 2 x y + 4 y ^ { 2 } \right)\)
141. \( 9x(9x-1) \)
143. \((13m+n)(13m−n)\)

145. \((3+11y)(3−11y)\)
147. \(n(13n+1)(13n−1)\)
149. \(6(4p^2+9)\)
151. \((2z−1)(2z+1)(4z^2+1)\)
153. \((a+3−3b)(a+3+3b)\)
155. \((a−5)(a^2+5a+25)\)
157. \(2(m+3)(m^2−3m+9)\)

D: Factor Trinomials, \(a=1\).

Exercise \(\PageIndex{D}\)

\( \bigstar \) Factor trinomials, \(a=1\).

\(x ^ { 2 } + 5 x - 6\)
\(x ^ { 2 } + 5 x + 6\)
\(x ^ { 2 } + 4 x - 12\)
\(x ^ { 2 } + 3 x - 18\)
\(x ^ { 2 } - 14 x + 48\)
\(x ^ { 2 } - 15 x + 54\)
\(x ^ { 2 } + 11 x - 30\)
\(x ^ { 2 } - 2 x + 24\)
\(x ^ { 2 } - 18 x + 81\)
\(x ^ { 2 } - 22 x + 121\)

\(x ^ { 2 } - x y - 20 y ^ { 2 }\)
\(x ^ { 2 } + 10 x y + 9 y ^ { 2 }\)
\(x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y - 50\)
\(x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 16 x y + 48\)
\(a ^ { 2 } - 6 a b - 72 b ^ { 2 }\)
\(a ^ { 2 } - 21 a b + 80 b ^ { 2 }\)
\(u ^ { 2 } + 14 u v - 32 v ^ { 2 }\)
\(m ^ { 2 } + 7 m n - 98 n ^ { 2 }\)
\(( x + y ) ^ { 2 } - 2 ( x + y ) - 8\)
\(( x - y ) ^ { 2 } - 2 ( x - y ) - 15\)

\(x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } - 8\)
\(x ^ { 4 } + 13 x ^ { 2 } + 30\)
\(x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } - 48\)
\(x ^ { 4 } + 25 x ^ { 2 } + 24\)
\(y ^ { 4 } - 20 y ^ { 2 } + 100\)
\(y ^ { 4 } + 14 y ^ { 2 } + 49\)
\(x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 y ^ { 4 }\)
\(x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 15 y ^ { 4 }\)
\(a ^ { 4 } b ^ { 4 } - 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 4\)
\(a ^ { 4 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 9 b ^ { 4 }\)

\(x ^ { 6 } - 18 x ^ { 3 } - 40\)
\(x ^ { 6 } + 18 x ^ { 3 } + 45\)
\(x ^ { 6 } - x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 6 y ^ { 6 }\)
\(x ^ { 6 } + x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 20 y ^ { 6 }\)
\(x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 2 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 15\)
\(x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 16 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 48\)
\(x ^ { 2 n } + 12 x ^ { n } + 32\)
\(x ^ { 2 n } + 41 x ^ { n } + 40\)
\(x ^ { 2 n } + 2 a x ^ { n } + a ^ { 2 }\)
\(x ^ { 2 n } - 2 a x ^ { n } + a ^ { 2 }\)

Answers to odd exercises:

161. \(( x - 1 ) ( x + 6 )\)
163. \(( x - 2 ) ( x + 6 )\)
165. \(( x - 6 ) ( x - 8 )\)
167. Prime
169. \(( x - 9 ) ^ { 2 }\)

171. \(( x - 5 y ) ( x + 4 y )\)
173. \(( x y - 5 ) ( x y + 10 )\)
175. \(( a + 6 b ) ( a - 12 b )\)
177. \(( u - 2 v ) ( u + 16 v )\)
179. \(( x + y - 4 ) ( x + y + 2 )\)

181. \(\left( x ^ { 2 } - 8 \right) \left( x ^ { 2 } + 1 \right)\)
183. \(\left( x ^ { 2 } + 4 \right) \left( x ^ { 2 } - 12 \right)\)
185. \(\left( y ^ { 2 } - 10 \right) ^ { 2 }\)
187. \(\left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right)\)
189. \(\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 2 \right) ^ { 2 }\)

191. \(\left( x ^ { 3 } - 20 \right) \left( x ^ { 3 } + 2 \right)\)
193. \(\left( x ^ { 3 } + 2 y ^ { 3 } \right) \left( x ^ { 3 } - 3 y ^ { 3 } \right)\)
195. \(\left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 3 \right) \left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 5 \right)\)
197. \(\left( x ^ { n } + 4 \right) \left( x ^ { n } + 8 \right)\)
199. \(\left( x ^ { n } + a \right) ^ { 2 }\)

E: Factor trinomials, \(a \ne 1 \)

Exercise \(\PageIndex{E}\)

\( \bigstar \) Factor trinomials. (Leading coefficient is not one).

\(3 x ^ { 2 } + 20 x - 7\)
\(2 x ^ { 2 } - 9 x - 5\)
\(6 a ^ { 2 } + 13 a + 6\)
\(4 a ^ { 2 } + 11 a + 6\)
\(6 x ^ { 2 } + 7 x - 10\)
\(4 x ^ { 2 } - 25 x + 6\)
\(24 y ^ { 2 } - 35 y + 4\)
\(10 y ^ { 2 } - 23 y + 12\)
\(14 x ^ { 2 } - 11 x + 9\)
\(9 x ^ { 2 } + 6 x + 8\)
\(4 x ^ { 2 } - 28 x + 49\)
\(36 x ^ { 2 } - 60 x + 25\)
\(27 x ^ { 2 } - 6 x - 8\)
\(24 x ^ { 2 } + 17 x - 20\)

\(6 x ^ { 2 } + 23 x y - 4 y ^ { 2 }\)
\(10 x ^ { 2 } - 21 x y - 27 y ^ { 2 }\)
\(8 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 18 a b + 9\)
\(12 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - a b - 20\)
\(8 u ^ { 2 } - 26 u v + 15 v ^ { 2 }\)
\(24 m ^ { 2 } - 26 m n + 5 n ^ { 2 }\)
\(4 a ^ { 2 } - 12 a b + 9 b ^ { 2 }\)
\(16 a ^ { 2 } + 40 a b + 25 b ^ { 2 }\)
\(5(x+y)^2-9(x+y)+4\)
\(7 ( x - y ) ^ { 2 } + 15 ( x - y ) - 18\)
\(7 x ^ { 4 } - 22 x ^ { 2 } + 3\)
\(5 x ^ { 4 } - 41 x ^ { 2 } + 8\)

\(4 y ^ { 6 } - 3 y ^ { 3 } - 10\)
\(12 y ^ { 6 } + 4 y ^ { 3 } - 5\)
\(5 a ^ { 4 } b ^ { 4 } - a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 18\)
\(21 a ^ { 4 } b ^ { 4 } + 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 4\)
\(6 x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 17 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 10\)
\(16 x ^ { 6 } y ^ { 6 } + 46 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 15\)
\(8 x ^ { 2 n } - 10 x ^ { n } - 25\)
\(30 x ^ { 2 n } - 11 x ^ { n } - 6\)
\(36 x ^ { 2 n } + 12 a x ^ { n } + a ^ { 2 }\)
\(9 x ^ { 2 n } - 12 a x ^ { n } + 4 a ^ { 2 }\)
\(- 3 x ^ { 2 } + 14 x + 5\)
\(- 2 x ^ { 2 } + 13 x - 20\)

\(- x ^ { 2 } - 10 x + 24\)
\(- x ^ { 2 } + 8 x + 48\)
\(54 - 12 x - 2 x ^ { 2 }\)
\(60 + 5 x - 5 x ^ { 2 }\)
\(4 x ^ { 3 } + 16 x ^ { 2 } + 20 x\)
\(2 x ^ { 4 } - 12 x ^ { 3 } + 14 x ^ { 2 }\)
\(2 x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } y - 24 x y ^ { 2 }\)
\(6 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } y - 6 x y ^ { 2 }\)
\(4 a ^ { 3 } b - 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 24 a b ^ { 3 }\)
\(15 a ^ { 4 } b - 33 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 3 }\)
\(3 x ^ { 5 } y + 30 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 75 x y ^ { 5 }\)
\(45 x ^ { 5 } y ^ { 2 } - 60 x ^ { 3 } y ^ { 4 } + 20 x y ^ { 6 }\)

Answers to odd exercises:

201. \(( 3 x - 1 ) ( x + 7 )\)
203. \(( 2 a + 3 ) ( 3 a + 2 )\)
205. \(( 6 x - 5 ) ( x + 2 )\)
207. \(( 8 y - 1 ) ( 3 y - 4 )\)
209. Prime
211. \(( 2 x - 7 ) ^ { 2 }\)
213. \(( 9 x + 4 ) ( 3 x - 2 )\)

215. \(( 6 x - y ) ( x + 4 y )\)
217. \(( 4 a b - 3 ) ( 2 a b - 3 )\)
219. \(( 2 u - 5 v ) ( 4 u - 3 v )\)
221. \(( 2 a - 3 b ) ^ { 2 }\)
223. \(( x + y - 1 ) ( 5 x + 5 y - 4 )\)
225. \(\left( x ^ { 2 } - 3 \right) \left( 7 x ^ { 2 } - 1 \right)\)

227. \(\left( y ^ { 3 } - 2 \right) \left( 4 y ^ { 3 } + 5 \right)\)
229. \(\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } - 2 \right) \left( 5 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 9 \right)\)
231. \(\left( 6 x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 5 \right) \left( x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 2 \right)\)
233. \(\left( 2 x ^ { n } - 5 \right) \left( 4 x ^ { n } + 5 \right)\)
235. \(\left( 6 x ^ { n } + a \right) ^ { 2 }\)
237. \(- ( x - 5 ) ( 3 x + 1 )\)

239. \(- ( x - 2 ) ( x + 12 )\)
241. \(- 2 ( x - 3 ) ( x + 9 )\)
243. \(4 x \left( x ^ { 2 } + 4 x + 5 \right)\)
245. \(2 x ( x + 2 y ) ( x - 6 y )\)
247. \(4 a b ( a - 3 b ) ( a + 2 b )\)
249. \(3 x y \left( x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } \right) ^ { 2 }\)

F: Factor Trinomials.

Exercise \(\PageIndex{F}\)

\( \bigstar \) Factor the following trinomials.

\(x ^ { 2 } - 8 x - 48\)
\(x ^ { 2 } - 15 x + 54\)
\(x ^ { 2 } - 4 x - 6\)
\(x ^ { 2 } - 12 x y + 36 y ^ { 2 }\)
\(x ^ { 2 } + 20 x y + 75 y ^ { 2 }\)
\(- x ^ { 2 } + 5 x + 150\)
\(- 2 y ^ { 2 } + 20 y + 48\)
\(28 x ^ { 2 } + 20 x + 3\)
\(150 x ^ { 2 } - 100 x + 6\)
\(24 a ^ { 2 } - 38 a b + 3 b ^ { 2 }\)
\(27 u ^ { 2 } - 3 u v - 4 v ^ { 2 }\)
\(16 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 78 x y + 27\)
\(16 m ^ { 2 } + 72 m n + 81 n ^ { 2 }\)

\(4 x ^ { 2 } - 5 x + 20\)
\(25 x ^ { 4 } - 35 x ^ { 2 } + 6\)
\(2 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 2 } + 3\)
\(x ^ { 6 } + 3 x ^ { 3 } y ^ { 3 } - 10 y ^ { 6 }\)
\(a ^ { 6 } - 8 a ^ { 3 } b ^ { 3 } + 15 b ^ { 6 }\)
\(x ^ { 2 n } - 2 x ^ { n } + 1\)
\(6 x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 2\)
\(25x^2+30x+9\)
\(36a^2−84ab+49b^2\)
\(40x^2+360x+810\)
\(5k^3−70k^2+245k\)
\(75u^4−30u^3v+3u^2v^2\)
\(k^2−16k+60\)

\(m^2+3m−54\)
\(x^2−3x−10\)
\(x^2+12xy+35y^2\)
\(r^2+3rs−28s^2\)
\(a^2+4ab−21b^2\)
\(p^2−5pq−36q^2\)
\(m^2−5mn+30n^2\)
\(x^3+5x^2−24x\)
\(3y^3−21y^2+30y\)
\(5x^4+10x^3−75x^2\)
\(5y^2+14y+9\)
\(8x^2+25x+3\)
\(10y^2−53y−11\)

\(6p^2−19pq+10q^2\)
\(−81a^2+153a+18\)
\(2x^2+9x+4\)
\(18a^2−9a+1\)
\(15p^2+2p−8\)
\(15x^2+6x−2\)
\(8a^2+32a+24\)
\(3x^2+3x−36\)
\(48y^2+12y−36\)
\(18a^2−57a−21\)
\(3n^4−12n^3−96n^2\)

Answers to odd exercises:

251. \(( x - 12 ) ( x + 4 )\)
253. Prime
255. \(( x + 5 y ) ( x + 15 y )\)
257. \(- 2 ( y - 12 ) ( y + 2 )\)
259. \(2 ( 15 x - 1 ) ( 5 x - 3 )\)
261. \(( 3 u + v ) ( 9 u - 4 v )\)
263. \(( 4 m + 9 n ) ^ { 2 }\)

265. \(\left( 5 x ^ { 2 } - 6 \right) \left( 5 x ^ { 2 } - 1 \right)\)
267. \(\left( x ^ { 3 } + 5 y ^ { 3 } \right) \left( x ^ { 3 } - 2 y ^ { 3 } \right)\)
269. \(\left( x ^ { n } - 1 \right) ^ { 2 }\)
271. \((5x+3)^2\)
273. \(10(2x+9)^2\)
275. \(3u^2(5u−v)^2\)

277. \((m+9)(m−6)\)
279. \((x+5y)(x+7y)\)
281. \((a+7b)(a−3b)\)
283. Prime
285. \(3y(y−5)(y−2)\)
287. \((5y+9)(y+1)\)

289. \((5y+1)(2y−11)\)
291. \(−9(9a−1)(a+2)\)
293. \((3a−1)(6a−1)\)
295. Prime
297. \(3(x+4)(x−3)\)
299. \(3(2a−7)(3a+1)\)

G: Mixed Factoring Practice.

Exercise \(\PageIndex{G}\)

\( \bigstar \) Mixed practice. Factor completely.

\(4 - 25 x ^ { 2 }\)
\(8 x ^ { 3 } - y ^ { 3 }\)
\(9 x ^ { 2 } - 12 x y + 4 y ^ { 2 }\)
\(30 a ^ { 2 } - 57 a b - 6 b ^ { 2 }\)
\(10 a ^ { 2 } - 5 a - 6 a b + 3 b\)
\(3 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 9 x - 12\)
\(x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 }\)
\(x ^ { 2 } - x + 2\)
\(15 a ^ { 3 } b ^ { 2 } + 6 a ^ { 2 } b ^ { 3 } - 3 a b ^ { 4 }\)
\(54 x ^ { 2 } - 63 x\)
\(45 x ^ { 3 } - 20 x\)
\(12 x ^ { 4 } - 70 x ^ { 3 } + 50 x ^ { 2 }\)
\(- 20 x ^ { 2 } + 32 x - 3\)
\(- x ^ { 3 } y + 9 x y ^ { 3 }\)
\(24 a ^ { 4 } b ^ { 2 } + 3 a b ^ { 5 }\)
\(64 a ^ { 6 } b ^ { 6 } - 1\)
\(64 x ^ { 2 } + 1\)

\(x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y - x y ^ { 2 } - y ^ { 3 }\)
\(8y^3+16y^2−24y\)
\(5y^3−15y^2−270y\)
\(16x^3−36x\)
\(27y^2−48\)
\(4x^2+20xy+25y^2\)
\(9x^2−24xy+16y^2\)
\(50x^3y+72xy\)
\(250m^3+432n^3\)
\(4a^5b−64ab\)
\(7xy^5−7xy\)
\(6x^2-12xc+6bx-12bc\)
\(16x^2+24xy−4x−6y\)
\(4p^2q−16pq+12q\)
\(6pq^2−9pq−6p\)
\(4x^2-12xy+9y^2-25\)
\(16x^2-24xy+9y^2-64\)

\(80a^2+120a^3\)
\(5m(m−1)+3(m−1)\)
\(x^2+13x+36\)
\(p^2+pq−12q^2\)
\(xy−8y+7x−56\)
\(40r^2+810\)
\(9s^2−12s+4\)
\(6x^2−11x−10\)
\(3x^2−75y^2\)
\(6u^2+3u−18\)
\(x^3+125\)
\(32x^5y^2−162xy^2\)
\(6x^4−19x^2+15\)
\(3x^3−36x^2+108x\)
\(24x^3+44x^2\)
\(24a^4−9a^3\)
\(16n^2−56mn+49m^2\)

\(6a^2−25a−9\)
\(5u^4−45u^2\)
\(n^4−81\)
\(64j^2+225\)
\(5x^2+5x−60\)
\(b^3−64\)
\(m^3+125\)
\(2b^2−2bc+5cb−5c^2\)
\(48x^5y^2−243xy^2\)
\(5q^2−15q−90\)
\(4u^5v+4u^2v^3\)
\(10m^4−6250\)
\(60x^2y−75xy+30y\)
\( 16x^2 + 32x + 16 - 121\)
\( 9x^2 + 42x + 49 - 9 \)
\( 16x^2 + 72x + 81 - 144x^2 \)
\( 9x^2 + 12x + 4 - 36x^2 \)

Answers to odd exercises:

301. \(( 2 - 5 x ) ( 2 + 5 x )\)
303. \(( 3 x - 2 y ) ^ { 2 }\)
305. \(( 2 a - 1 ) ( 5 a - 3 b )\)
307. Prime
309. \(3 a b ^ { 2 } \left( 5 a ^ { 2 } + 2 a b - b ^ { 2 } \right)\)
311. \(5 x ( 3 x + 2 ) ( 3 x - 2 )\)
313. \(- ( 10 x - 1 ) ( 2 x - 3 )\)
315. \(3 a b ^ { 2 } ( 2 a + b ) \left( 4 a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \right)\)
317. Prime
319. \(8y(y−1)(y+3)\)
321. \(4x(2x−3)(2x+3)\)

323. \((2x+5y)^2\)
325. \(2xy(25x^2+36)\)
327. \(4ab(a^2+4)(a−2)(a+2)\)
329. \(6(x+b)(x−2c)\)
331. \(4q(p−3)(p−1)\)
333. \((2x−3y−5)(2x−3y+5)\)
335. \(40a^2(2+3a)\)
337. \((x+9)(x+4)\)
339. \((x−8)(y+7)\)
341. \((3s−2)^2\)
343. \(3(x+5y)(x−5y)\)

345. \((x+5)(x^2−5x+25)\)
347. \((3x^2−5)(2x^2−3)\)
349. \(4x^2(6x+11)\)
351. \((4n−7m)^2\)
353. \(5u^2(u+3)(u−3)\)
355. prime
357. \((b−4)(b^2+4b+16)\)
359. \((2b+5c)(b−c)\)
361. \(5(q+3)(q−6) \)
363. \(10(m−5)(m+5)(m^2+25)\)
365. \( (4x -7)(4x+15) \)
367. \( (-8x +9)(16x +9) \)

Search

Text Color

Text Size

Margin Size

Font Type