# 1.2e: Exercises - SqRP, CTS, QF


### A: Square Root Property

Exercise $$\PageIndex{A}$$

$$\bigstar$$ Solve each equation by the square root property

 1. $$x ^ { 2 } = 81 \\[4pt]$$ 2. $$x ^ { 2 } = 1 \\[4pt]$$ 3. $$y ^ { 2 } = \dfrac { 1 } { 9 } \\[4pt]$$ 4. $$y ^ { 2 } = \dfrac { 1 } { 16 } \\[4pt]$$ 5. $$x ^ { 2 } = 12 \\[4pt]$$ 6. $$x ^ { 2 } = 18 \\[4pt]$$ 7. $$16 x ^ { 2 } = 9 \\[4pt]$$ 8. $$4 x ^ { 2 } = 25 \\[4pt]$$ 9. $$2 t ^ { 2 } = 1 \\[4pt]$$ 10. $$3 t ^ { 2 } = 2 \\[4pt]$$ 11. $$x ^ { 2 } - 16=0 \\[4pt]$$ 12. $$x ^ { 2 } - 36=0 \\[4pt]$$ 13. $$x ^ { 2 } - 40 = 0 \\[4pt]$$ 14. $$x ^ { 2 } - 24 = 0 \\[4pt]$$ 15. $$x ^ { 2 } + 1 = 0 \\[4pt]$$ 16. $$x ^ { 2 } + 100 = 0 \\[4pt]$$
 1. $$\pm 9$$ 3. $$\pm \frac{1}{3}$$ 5. $$\pm 2 \sqrt { 3 }$$ 7. $$\pm \frac { 3 } { 4 }$$ 9. $$\pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$$ 11. $$-4,4$$ 13. $$\pm 2 \sqrt { 10 }$$ 15. $$\pm i$$

$$\bigstar$$ Solve each equation by the square root property

 21. $$9 y ^ { 2 } - 1 = 0 \\[4pt]$$ 22. $$4 y ^ { 2 } - 25 = 0 \\[4pt]$$ 23. $$5 x ^ { 2 } - 1 = 0 \\[4pt]$$ 24. $$6 x ^ { 2 } - 5 = 0 \\[4pt]$$ 25. $$8 x ^ { 2 } + 1 = 0 \\[4pt]$$ 26. $$12 x ^ { 2 } + 5 = 0 \\[4pt]$$ 27. $$x ^ { 2 } - \dfrac { 4 } { 9 } = 0 \\[4pt]$$ 28. $$x ^ { 2 } - \dfrac { 9 } { 25 } = 0 \\[4pt]$$ 29. $$y ^ { 2 } + 6 = 2 \\[4pt]$$ 30. $$y ^ { 2 } + 8 = 7 \\[4pt]$$ 31. $$x ^ { 2 } - 5 = 3 \\[4pt]$$ 32. $$t ^ { 2 } - 14 = 4 \\[4pt]$$ 33. $$3x ^ { 2 } + 25 = 1 \\[4pt]$$ 34. $$2x ^ { 2 } + 81 = 31 \\[4pt]$$ 35. $$5 y ^ { 2 } +7 = 9 \\[4pt]$$ 36. $$3 x ^ { 2 } +4 = 5 \\[4pt]$$
 21. $$- \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 }$$ 23. $$\pm \frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$$ 25. $$\pm \frac { \sqrt { 2 } } { 4 } i$$ 27. $$\pm \frac { 2 } { 3 }$$ 29. $$\pm 2 i$$ 31. $$\pm 2 \sqrt { 2 }$$ 33. $$\pm 2 i \sqrt { 2 }$$ 35. $$\pm \frac { \sqrt { 10 } } { 5 }$$

$$\bigstar$$ Solve each equation by the square root property

 41. $$( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 = 0 \\[4pt]$$ 42. $$( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 = 0 \\[4pt]$$ 43. $$( u - 5 ) ^ { 2 } - 25 = 0 \\[4pt]$$ 44. $$( u + 2 ) ^ { 2 } - 4 = 0 \\[4pt]$$ 45. $$( x + 7 ) ^ { 2 } - 4 = 0 \\[4pt]$$ 46. $$( x + 9 ) ^ { 2 } - 36 = 0 \\[4pt]$$ 47. $$( x - 5 ) ^ { 2 } - 20 = 0 \\[4pt]$$ 48. $$( x + 1 ) ^ { 2 } - 28 = 0 \\[4pt]$$ 49. $$( 3 t + 2 ) ^ { 2 } + 6 = 0 \\[4pt]$$ 50. $$( 3 t - 5 ) ^ { 2 } + 10 = 0 \\[4pt]$$ 51. $$4 ( y - 2 ) ^ { 2 } - 9 = 0 \\[4pt]$$ 52. $$9 ( y + 1 ) ^ { 2 } - 4 = 0 \\[4pt]$$ 53. $$4 ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } - 27 = 0 \\[4pt]$$ 54. $$9 ( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - 8 = 0 \\[4pt]$$ 55. $$2 ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } + 3 = 0 \\[4pt]$$ 56. $$5 ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } + 2 = 0 \\[4pt]$$ 57. $$3 \left( y - \dfrac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \dfrac { 3 } { 2 } = 0 \\[4pt]$$ 58. $$2 \left( 3 y - \dfrac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \dfrac { 5 } { 2 } = 0 \\[4pt]$$ 59. $$- 3 ( t - 1 ) ^ { 2 } + 12 = 0 \\[4pt]$$ 60. $$- 2 ( t + 1 ) ^ { 2 } + 8 = 0 \\[4pt]$$
 41. $$1, 3$$ 43. $$0,10$$ 45. $$-9,-5$$ 47. $$5 \pm 2 \sqrt { 5 }$$ 49. $$- \frac { 2 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } i$$ 51. $$\frac { 1 } { 2 } , \frac { 7 } { 2 }$$ 53. $$\frac { - 2 \pm 3 \sqrt { 3 } } { 6 }$$ 55. $$\frac { 1 } { 3 } \pm \frac { \sqrt { 6 } } { 6 } i$$ 57. $$\frac { 4\pm 3 \sqrt { 2 } } { 6 }$$ 59. $$-1,3$$

### B: Complete the Square

Exercise $$\PageIndex{B}$$

$$\bigstar$$ Determine the constant that should be added to the binomial and then complete the square

 $$x ^ { 2 } - 2 x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } - 4 x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } + 10 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } + 12 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } + 7 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } + 5 x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } - x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } - \dfrac { 1 } { 2 } x + ? = ( x - ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } + \dfrac { 2 } { 3 } x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$ $$x ^ { 2 } + \dfrac { 4 } { 5 } x + ? = ( x + ? ) ^ { 2 } \\[4pt]$$
 61. $$x ^ { 2 } - 2 x + 1 = ( x - 1 ) ^ { 2 }$$ 63. $$x ^ { 2 } + 10 x + 25 = ( x + 5 ) ^ { 2 }$$ 65. $$x ^ { 2 } + 7 x + \frac { 49 } { 4 } = \left( x + \frac { 7 } { 2 } \right) ^ { 2 }$$ 67. $$x ^ { 2 } - x + \frac { 1 } { 4 } = \left( x - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 }$$ 69. $$x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 1 } { 9 } = \left( x + \frac { 1 } { 3 } \right) ^ { 2 }$$

$$\bigstar$$ Solve each equation by completing the square

 71. $$x ^ { 2 } + 2 x = 8 \\[4pt]$$ 72. $$x ^ { 2 } - 8 x =- 15 \\[4pt]$$ 73. $$y ^ { 2 } + 2 y = 24 \\[4pt]$$ 74. $$y ^ { 2 } - 12 y =- 11 \\[4pt]$$ 75. $$x^{2}-4 x-1=15 \\[4pt]$$ 76. $$x^{2}-12 x+8=-10 \\[4pt]$$ 77. $$x(x+1)-11(x-2)=0 \\[4pt]$$ 78. $$(x+1)(x+7)-4(3 x+2)=0 \\[4pt]$$ 79. $$2 y ^ { 2 } - y - 1 = 0 \\[4pt]$$ 80. $$2 y ^ { 2 } + 7 y - 4 = 0 \\[4pt]$$ 81. $$x^{2}+6 x-1=0 \\[4pt]$$ 82. $$x^{2}+8 x+10=0 \\[4pt]$$ b 83. $$x^{2}-2 x-7=0 \\[4pt]$$ 84. $$x^{2}-6 x-3=0 \\[4pt]$$ 85. $$y^{2}-2 y+4=0 \\[4pt]$$ 86. $$y^{2}-4 y+9=0 \\[4pt]$$ 87. $$t^{2}+10 t-75=0 \\[4pt]$$ 88. $$t^{2}+12 t-108=0 \\[4pt]$$
 71. $$-4,2$$ 73. $$-6,4$$ 75. 2$$\pm 2 \sqrt{5}$$ 77. 5$$\pm \sqrt{3}$$ 79. $$- \frac { 1 } { 2 } , 1$$ 81. $$-3 \pm \sqrt{10}$$ 83. 1$$\pm 2 \sqrt{2}$$ 85. 1$$\pm i \sqrt{3}$$ 87. $$-15,5$$

$$\bigstar$$ Solve each equation by completing the square

 91. $$t ^ { 2 } + 3 t = 28 \\[4pt]$$ 92. $$t ^ { 2 } - 7 t =- 10 \\[4pt]$$ 93. $$x^{2}+x-1=0 \\[4pt]$$ 94. $$x^{2}+x-3=0 \\[4pt]$$ 95. $$y^{2}+3 y-2=0 \\[4pt]$$ 96. $$y^{2}+5 y-3=0 \\[4pt]$$ 97. $$x^{2}+3 x+5=0 \\[4pt]$$ 98. $$x^{2}+x+1=0 \\[4pt]$$ 99. $$y^{2}=(2 y+3)(y-1)-2(y-1) \\[4pt]$$ 100. $$(2 y+5)(y-5)-y(y-8)=-24 \\[4pt]$$ 101. $$x^{2}-7 x+\dfrac{11}{2}=0 \\[4pt]$$ 102. $$x^{2}-9 x+\dfrac{3}{2}=0 \\[4pt]$$ 103. $$t^{2}-\dfrac{1}{2} t-1=0 \\[4pt]$$ 104. $$t^{2}-\dfrac{1}{3} t-2=0 \\[4pt]$$ 105. $$u^{2}-\dfrac{2}{3} u-\dfrac{1}{3}=0 \\[4pt]$$ 106. $$u^{2}-\dfrac{4}{5} u-\dfrac{1}{5}=0 \\[4pt]$$
 91. $$-7,4$$ 93. $$\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ 95. $$\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$$ 97. $$-\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{11}}{2} i$$ 99. $$\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$$ 101. $$\frac{7 \pm 3 \sqrt{3}}{2}$$ 103. $$\frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$$ 105. $$-\frac{1}{3}, 1$$

$$\bigstar$$ Solve each equation by completing the square

 $$2 x^{2}-4 x+10=0 \\[4pt]$$ $$6 x^{2}-24 x+42=0 \\[4pt]$$ $$4 x^{2}-8 x-1=0 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}-4 x-3=0 \\[4pt]$$ $$3 x^{2}+6 x+1=0 \\[4pt]$$ $$5 x^{2}+10 x+2=0 \\[4pt]$$ $$4 x^{2}-12 x-15=0 \\[4pt]$$ $$2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0 \\[4pt]$$ $$3x^2-x-2=0 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}+4 x-43=0 \\[4pt]$$ $$3 x^{2}+2 x-3=0 \\[4pt]$$ $$5 x^{2}+2 x-5=0 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}-x-2=0 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}+3 x-1=0 \\[4pt]$$ $$3 u^{2}+2 u+2=0 \\[4pt]$$ $$3 u^{2}-u+1=0 \\[4pt]$$ $$2 y ^ { 2 } - y - 1 = 0 \\[4pt]$$ $$2 y ^ { 2 } + 7 y - 4 = 0 \\[4pt]$$ $$(t+2)^{2}=3(3 t+1) \\[4pt]$$ $$(3 t+2)(t-4)-(t-8)=1-10 t \\[4pt]$$ $$(2 x-1)^{2}=2 x \\[4pt]$$ $$(3 x-2)^{2}=5-15 x \\[4pt]$$ $$(2 x+1)(3 x+1)=9 x+4 \\[4pt]$$ $$(3 x+1)(4 x-1)=17 x-4 \\[4pt]$$ $$9 x(x-1)-2(2 x-1)=-4 x \\[4pt]$$ $$(6 x+1)^{2}-6(6 x+1)=0 \\[4pt]$$
 111. 1$$\pm 2 i$$ 113. $$\frac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$$ 115. $$\frac{-3 \pm \sqrt{6}}{3}$$ 117. $$\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$$ 119. $$1,-\frac{2}{3}$$ 121. $$\frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$$ 123. $$\frac{1 \pm \sqrt{17}}{4}$$ 125. $$\frac{-1 \pm i\sqrt{5}}{3}$$ 127. $$- \frac { 1 } { 2 } , 1$$ 129. $$\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$$ 131. $$\frac{3 \pm \sqrt{5}}{4}$$ 133. $$\frac{2 \pm \sqrt{22}}{6}$$ 135. $$\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$$

Exercise $$\PageIndex{C}$$

$$\bigstar$$ Solve each equation using the Quadratic Formula

 $$x^{2}-6 x-16=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}-3 x-18=0 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}+7 x-4=0 \\[4pt]$$ $$3 x^{2}+5 x-2=0 \\[4pt]$$ $$-x^{2}+9 x-20=0 \\[4pt]$$ $$-2 x^{2}-3 x+5=0 \\[4pt]$$ $$16 y^{2}-24 y+9=0 \\[4pt]$$ $$4 y^{2}-20 y+25=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}-5 x+1=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}-7 x+2=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}+8 x+5=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}-4 x+2=0 \\[4pt]$$ $$5 u^{2}-2 u+1=0 \\[4pt]$$ $$8 u^{2}-20 u+13=0 \\[4pt]$$ $$-y^{2}+16 y-62=0 \\[4pt]$$ $$-y^{2}+14 y-46=0 \\[4pt]$$ $$-2 t^{2}+4 t+3=0 \\[4pt]$$ $$-4 t^{2}+8 t+1=0 \\[4pt]$$
 141. $$-2,8 \\[4pt]$$ 143. $$-4, \frac{1}{2}$$ 145. $$4,5$$ 147. $$\frac{3}{4}$$ 149. $$\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$$ 151. $$-4\pm \sqrt{11}$$ 153. $$\frac{1}{5} \pm \frac{2}{5} i$$ 155. $$8\pm \sqrt{2}$$ 157. $$\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$$

$$\bigstar$$ Solve each equation using the Quadratic Formula

 $$4 y^{2}-9=0 \\[4pt]$$ $$9 y^{2}-25=0 \\[4pt]$$ $$5 t^{2}-6 t=0 \\[4pt]$$ $$t^{2}+6 t=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}-18=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}-12=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}+12=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}+20=0 \\[4pt]$$ $$3 x^{2}+2=0 \\[4pt]$$ $$5 x^{2}+3=0 \\[4pt]$$ $$y^{2}=2 y-10 \\[4pt]$$ $$y^{2}=4 y-13 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}-10 x=1 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}-4 x=3 \\[4pt]$$ $$3 x^{2}+2=x \\[4pt]$$ $$4 x^{2}+1=3x \\[4pt]$$
 161. $$\pm \frac{3}{2}$$  163. $$0, \frac{6}{5}$$ 165. $$\pm 3 \sqrt{2}$$ 167. $$\pm 2 i \sqrt{3}$$ 169. $$\pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$$ 171. $$1\pm 3 i$$ 173. $$\frac{5 \pm 3 \sqrt{3}}{2}$$ 175. $$\frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{23}}{6} i$$

$$\bigstar$$ Solve each equation using the Quadratic Formula

 $$\dfrac{1}{2} y^{2}+5 y+\dfrac{3}{2}=0 \\[4pt]$$ $$3 y^{2}+\dfrac{1}{2} y-\dfrac{1}{3}=0 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}-\dfrac{1}{2} x+\dfrac{1}{4}=0 \\[4pt]$$ $$3 x^{2}-\dfrac{2}{3} x+\dfrac{1}{3}=0 \\[4pt]$$ $$1.2 x^{2}-0.5 x-3.2=0 \\[4pt]$$ $$0.4 x^{2}+2.3 x+1.1=0 \\[4pt]$$ $$2.5 x^{2}-x+3.6=0 \\[4pt]$$ $$-0.8 x^{2}+2.2 x-6.1=0 \\[4pt]$$
 181. $$-5 \pm \sqrt{22}$$ 183. $$\frac{1}{8} \pm \frac{\sqrt{7}}{8} i$$ 185. $$x \approx-1.4 \\[4pt]$$ or $$x \approx 1.9$$ 187. $$x \approx 0.2 \pm 1.2 i$$

$$\bigstar$$ Solve each equation using the Quadratic Formula

 $$(x+2)^{2}+9=0 \\[4pt]$$ $$(x-4)^{2}+1=0 \\[4pt]$$ $$(2 x+1)^{2}-2=0 \\[4pt]$$ $$(3 x+1)^{2}-5=0 \\[4pt]$$ $$-2 y^{2}=3(y-1) \\[4pt]$$ $$3 y^{2}=5(2 y-1) \\[4pt]$$ $$(t+1)^{2}=2 t+7 \\[4pt]$$ $$(2 t-1)^{2}=73-4 t \\[4pt]$$ $$(x+5)(x-1)=2 x+1 \\[4pt]$$ $$(x+7)(x-2)=3(x+1) \\[4pt]$$ $$2 x(x-1)=-1 \\[4pt]$$ $$x(2 x+5)=3 x-5 \\[4pt]$$ $$3 t(t-2)+4=0 \\[4pt]$$ $$5 t(t-1)=t-4 \\[4pt]$$ $$(2 x+3)^{2}=16 x+4 \\[4pt]$$ $$(2 y+5)^{2}-12(y+1)=0 \\[4pt]$$
 191. $$-2 \pm 3 i$$ 193. $$\frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$$ 195. $$\frac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}$$ 197. $$\pm \sqrt{6}$$ 199. $$-1 \pm \sqrt{7}$$ 201. $$\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i$$ 203. $$1\pm \frac{\sqrt{3}}{3} i$$ 205. $$\frac{1}{2} \pm i$$

### D: Factor and Solve (Sum and Difference of Cubes)

Exercise $$\PageIndex{D}$$

$$\bigstar$$ Solve.

 $$x^3=8 \\[4pt]$$ $$x^3=1 \\[4pt]$$ $$64x^3=-27 \\[4pt]$$ $$27x^3=-64 \\[4pt]$$ $$8x^3=125 \\[4pt]$$ $$125x^3 = 8 \\[4pt]$$ $$2x^4 = 54x \\[4pt]$$ $$3x^4 + 192x=0 \\[4pt]$$ $$729x^6-1=0 \\[4pt]$$ $$x^6=64 \\[4pt]$$
 211. $$\{ 2, -1 \pm i\sqrt{3} \}$$ 213. $$\{ -\frac{3}{4}, \frac{3}{8} \pm \frac{3\sqrt{3}}{8}i \}$$ 215. $$\{ \frac{5}{2}, -\frac{5}{4} \pm \frac{5\sqrt{3}}{4}i \}$$ 217. $$\{0, \; 3, \; -\frac{3}{2} \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}i \}$$ 219. $$\{ \pm \frac{1}{3} , \frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{3}}{6}i, -\frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{3}}{6}i \}$$

### E: The Discriminant

Exercise $$\PageIndex{E}$$

$$\bigstar$$ Calculate the discriminant and use it to determine the number and type of solutions. Do not solve.

 $$x^{2}-x+1=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}+2 x+3=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}-2 x-3=0 \\[4pt]$$ $$x^{2}-5 x-5=0 \\[4pt]$$ $$3 x^{2}-1 x-2=0 \\[4pt]$$ $$3 x^{2}-1 x+2=0 \\[4pt]$$ $$9 y^{2}+2=0 \\[4pt]$$ $$9 y^{2}-2=0 \\[4pt]$$ $$2 x^{2}+3 x=0 \\[4pt]$$ $$4 x^{2}-5 x=0 \\[4pt]$$ $$\dfrac{1}{2} x^{2}-2 x+\frac{5}{2}=0 \\[4pt]$$ $$\dfrac{1}{2} x^{2}-x-\frac{1}{2}=0 \\[4pt]$$ $$-x^{2}-3 x+4=0 \\[4pt]$$ $$-x^{2}-5 x+3=0 \\[4pt]$$ $$25 t^{2}+30 t+9=0 \\[4pt]$$ $$9 t^{2}-12 t+4=0 \\[4pt]$$
 221. $$-3$$; two complex solutions 223. $$16$$; two rational solutions 225. $$-23$$; two complex solutions 227. $$72$$; two irrational solutions 229. $$25$$; two rational solutions 231. $$2$$; two irrational solutions 233. $$37$$; two irrational solutions 235. $$0$$; one rational solution
$$\bigstar \\[4pt]$$