6.2: Agrupación de símbolos y el orden de operaciones
Objetivos de aprendizaje
- entender el uso de símbolos de agrupación
- entender y ser capaz de utilizar el orden de las operaciones
- usar la calculadora para determinar el valor de una expresión numérica
Agrupación de símbolos
Los símbolos de agrupación se utilizan para indicar que una colección particular de números y operaciones significativas deben agruparse y considerarse como un número. Los símbolos de agrupación utilizados comúnmente en matemáticas son los siguientes:
(), [], {},
Paréntesis
: ()
Corchetes
: []
Brackets
: {}
Barra
:
En un cálculo en el que está involucrada más de una operación, los símbolos de agrupación indican qué operación realizar primero. Si es posible, primero realizamos operaciones dentro de los símbolos de agrupación.
Conjunto de Muestras A
Si es posible, determinar el valor de cada uno de los siguientes.
\[9 + (3 \cdot 8) \nonumber\]
Solución
Dado que 3 y 8 están entre paréntesis, se van a combinar primero.
\[\begin{array} {rcl} {9 + (3 \cdot 8)} & = & {9 + 24} \\ {} & = & {33} \end{array}\nonumber\]
Por lo tanto,
\[9 + (3 \cdot 8) = 33 \nonumber\]
Conjunto de Muestras A
\[(10 \div 0) \cdot 6\nonumber\]
Solución
Ya que no \(10 \div 0\) está definido, esta operación carece de sentido, y no le damos valor alguno. Escribimos, “indefinido”.
Conjunto de práctica A
Si es posible, determinar el valor de cada uno de los siguientes.
\(16 - (3 \cdot 2)\)
- Contestar
-
10
Conjunto de práctica A
\(5 + (7 \cdot 9)\)
- Contestar
-
68
Conjunto de práctica A
\((4 + 8) \cdot 2\)
- Contestar
-
24
Conjunto de práctica A
\(28 \div (18 - 11)\)
- Contestar
-
4
Conjunto de práctica A
\((33 \div 3) - 11\)
- Contestar
-
0
Conjunto de práctica A
\(4 + (0 \div 0)\)
- Contestar
-
no es posible (indeterminante)
Símbolos de agrupación múltiple
Cuando se produce un conjunto de símbolos de agrupación dentro de otro conjunto de símbolos de agrupación, primero realizamos las operaciones dentro del conjunto más interno.
Conjunto de Muestras A
Determinar el valor de cada uno de los siguientes.
\[2 + (8 \cdot 3) - (5 + 6)\nonumber\]
Solución
Combine primero 8 y 3, luego combine 5 y 6.
\[\begin{array} {ll} {2 + 24 - 11} & {\text{ Now combine left to right.}} \\ {26 - 11} & {} \\ {15} & {} \end{array}\nonumber\]
Conjunto de Muestras A
\[10 + [30 - (2 \cdot 9)]\nonumber\]
Solución
Combina 2 y 9 ya que aparecen en el conjunto más interno de paréntesis.
\[\begin{array} {ll} {10 + [30 - 18]} & {\text{ Now combine 30 and 18.}} \\ {10 + 12} & {} \\ {22} & {} \end{array}\nonumber\]
Set de práctica B
Determinar el valor de cada uno de los siguientes.
\((17 + 8) + (9 + 20)\)
- Contestar
-
54
Set de práctica B
\((55 - 6) - (13 \cdot 2)\)
- Contestar
-
23
Set de práctica B
\(23 + (12 \cdot 4) - (11 \cdot 2)\)
- Contestar
-
4
Set de práctica B
\(86 + [14 \div (10 - 8)]\)
- Contestar
-
93
Set de práctica B
\(31 + \{9 + [1 + (35 - 2)]\}\)
- Contestar
-
74
Set de práctica B
\(\{6 - [24 \div (4 \cdot 2)]\}^3\)
- Contestar
-
27
El orden de operaciones
En ocasiones no hay símbolos de agrupación que indiquen qué operaciones realizar primero. Por ejemplo, supongamos que deseamos encontrar el valor de \(3 + 5 \cdot 2\) . Podríamos hacer cualquiera de dos cosas:
Agrega 3 y 5, luego multiplica esta suma por 2.
\(\begin{array} {rcl} {3 + 5 \cdot 2} & = & {8 \cdot 2} \\ {} & = & {16} \end{array}\)
Multiplica 5 y 2, luego agrega 3 a este producto.
\(\begin{array} {rcl} {3 + 5 \cdot 2} & = & {3 + 10} \\ {} & = & {13} \end{array}\)
Ahora tenemos dos valores para un número. Para determinar el valor correcto, debemos utilizar el orden de operaciones aceptado .
Orden de Operaciones
- Realizar todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación, comenzando por el conjunto más interno, en el orden 2, 3, 4 descrito a continuación,
- Realizar todas las operaciones exponenciales y raíz.
- Realiza todas las multiplicaciones y divisiones, moviéndote de izquierda a derecha.
- Realizar todas las sumas y restaciones, moviéndose de izquierda a derecha.
Conjunto de Muestras C
Determinar el valor de cada uno de los siguientes.
\(\begin{array} {ll} {21 + 3 \cdot 12} & {\text{ Multiply first.}} \\ {21 + 36} & {\text{ Add.}} \\ {57} & {} \end{array}\)
Conjunto de Muestras C
\(\begin{array} {ll} {(15 - 8) + 5 \cdot (6 + 4).} & {\text{ Simplify inside parentheses first.}} \\ {7 + 5 \cdot 10} & {\text{ Multiply.}} \\ {7 + 50} & {\text{ Add.}} \\ {57} & {} \end{array}\)
Conjunto de Muestras C
\(\begin{array} {ll} {63 - (4 + 6 \cdot 3) + 76 - 4} & {\text{ Simplify first within the parenthesis by multiplying, then adding.}} \\ {63 - (4 + 18) + 76 - 4} & {} \\ {63 - 22 + 76 - 4} & {\text{ Now perform the additions and subtractions, moving left to right.}} \\ {41 + 76 - 4} & {\text{ Add 41 and 76: 41 + 76 = 117.}} \\ {117 - 4} & {\text{ Subtract 4 from 117: 117 - 4 = 113.}} \\ {113} & {} \end{array}\)
Conjunto de Muestras C
\(\begin{array} {ll} {7 \cdot 6 - 4^2 + 1^5} & {\text{ Evaluate the exponential forms, moving left to right.}} \\ {7 \cdot 6 - 16 - 1} & {\text{ Multiply 7 and 6: 7 \cdot 6 = 42}} \\ {42 - 16 + 1} & {\text{ Subtract 16 from 42: 42 - 16 = 26}} \\ {26 + 1} & {\text{ Add 26 and 1: 26 + 1 = 27}} \\ {27} & {} \end{array}\)
Conjunto de Muestras C
\(\begin{array} {ll} {6 \cdot (3^2 + 2^2) + 4^2} & {\text{ Evaluate the exponential forms in the parentheses: } 3^2 = 9 \text{ and } 2^2 = 4} \\ {6 \cdot (9 + 4) + 4^2} & {\text{ Add the 9 and 4 in the parentheses: 9 + 4 = 13}} \\ {6 \cdot (13) + 4^2} & {\text{ Evaluate the exponential form: } 4^2 = 16} \\ {6 \cdot (13) + 16} & {\text{ Multiply 6 and 13: } 6 \cdot 13 = 78} \\ {78 + 16} & {\text{ Add 78 and 16: 78 + 16 = 94}} \\ {94} & {} \end{array}\)
Conjunto de Muestras C
\(\begin{array} {ll} {\dfrac{6^2 + 2^2}{4^2 + 6 \cdot 2^2} + \dfrac{1^2 + 8^2}{10^2 - 19 \cdot 5}} & {\text{ Recall that the bar is a grouping symbol.}} \\ {} & {\text{ The fraction } \dfrac{}{} \text{ is equivalent to } (6^2 + 2^2) \div (4^2 + 6 \cdot 2^2)} \\ {\dfrac{36 + 4}{16 + 6 \cdot 4} + \dfrac{1 + 64}{100 - 19 \cdot 5}} & {} \\ {\dfrac{36 + 4}{16 + 24} + \dfrac{1 + 64}{100 - 95}} & {} \\ {\dfrac{40}{40} + \dfrac{65}{5}} & {} \\ {1 + 13} & {} \\{14} & {} \end{array}\)
Set de práctica C
Determinar el valor de cada uno de los siguientes.
\(8 + (32 - 7)\)
- Contestar
-
33
Set de práctica C
\((34 + 18 - 2 \cdot 3) + 11\)
- Contestar
-
57
Set de práctica C
\(8(10) + 4(2 + 3) - (20 + 3 \cdot 15 + 40 - 5)\)
- Contestar
-
0
Set de práctica C
\(5 \cdot 8 + 4^2 - 2^2\)
- Contestar
-
52
Set de práctica C
\(4(6^2 - 3^3) \div (4^2 - 4)\)
- Contestar
-
3
Set de práctica C
\((8 + 9 \cdot 3) \div 7 + 5 \cdot (8 \div 4 + 7 + 3 \cdot 5)\)
- Responder
-
125
Set de práctica C
\(\dfrac{3^3 - 2^3}{6^2 - 29} + 5 (\dfrac{8^2 + 2^4}{7^2 - 3^2}) \div \dfrac{8 \cdot 3 + 1^8}{2^3 - 3}\)
- Responder
-
7
Calculadoras
El uso de una calculadora es útil para simplificar los cálculos que involucran grandes números.
Conjunto de Muestras D
Usa una calculadora para determinar cada valor.
\(9,842 + 56 \cdot 85\)
Solución
| clave | Lee en pantalla | ||
| Realiza primero la multiplicación. | Tipo | 56 | 56 |
| Prensa | \(\times\) | 56 | |
| Tipo | 85 | 85 | |
| Ahora realiza la adición. | Prensa | + | 4760 |
| Tipo | 9842 | 9842 | |
| Prensa | = | 14602 |
La pantalla ahora lee 14,602.
Conjunto de Muestras D
\(42(27 + 18) + 105(810 \div 18)\)
Solución
| clave | Lee en pantalla | ||
| Operar dentro de los paréntesis | Tipo | 27 | 27 |
| Prensa | + | 27 | |
| Tipo | 18 | 18 | |
| Prensa | = | 45 | |
| Multiplicar por 42. | Prensa | \(\times\) | 45 |
| Tipo | 42 | 42 | |
| Prensa | = | 1890 |
Coloque este resultado en la memoria presionando la tecla de memoria.
| Clave | Lee en pantalla | ||
| Ahora opere en los otros paréntesis. | Tipo | 810 | 810 |
| Prensa | \(\div\) | 810 | |
| Tipo | 18 | 18 | |
| Prensa | = | 45 | |
| Ahora multiplica por 105. | Prensa | \(\times\) | 45 |
| Tipo | 105 | 105 | |
| Prensa | = | 4725 | |
| Ya estamos listos para sumar estas dos cantidades juntas. | Prensa | + | 4725 |
| Presione la tecla de recuperación de memoria. | 1890 | ||
| Prensa | = | 6615 |
Por lo tanto,
\(42(27 + 18) + 105 (810 \div 18) = 6,615\)
Conjunto de Muestras D
\(16^4 + 37^3\)
Solución
| Clave | Lee en pantalla | |
|---|---|---|
| Tipo | 16 | 16 |
| Prensa | \(\times\) | 16 |
| Tipo | 16 | 16 |
| Prensa | \(\times\) | 256 |
| Tipo | 16 | 16 |
| Prensa | \(\times\) | 4096 |
| Tipo | 16 | 16 |
| Prensa | = | 65536 |
| Presione la tecla de memoria | ||
| Tipo | 37 | 37 |
| Prensa | \(\times\) | 37 |
| Tipo | 37 | 37 |
| Prensa | \(\times\) | 1396 |
| Tipo | 37 | 37 |
| Prensa | \(\times\) | 50653 |
| Prensa | + | 50653 |
| Presione la tecla de recuperación de memoria | 65536 | |
| Prensa | = | 116189 |
| Clave | Lee en pantalla | |
|---|---|---|
| Tipo | 16 | 16 |
| Prensa | \(y^x\) | 16 |
| Tipo | 4 | 4 |
| Prensa | = | 4096 |
| Prensa | + | 4096 |
| Tipo | 37 | 37 |
| Prensa | \(y^x\) | 37 |
| Tipo | 3 | 3 |
| Prensa | = | 116189 |
Por lo tanto, \(16^4 + 37^3 = 116,189\)
Ciertamente podemos ver que la calculadora más potente simplifica los cómputos.
Conjunto de Muestras D
Las calculadoras no científicas son incapaces de manejar cálculos que involucran números muy grandes.
\(85612 \cdot 21065\)
Solución
| Clave | Lee en pantalla | |
|---|---|---|
| Tipo | 85612 | 85612 |
| Prensa | \(\times\) | 85612 |
| Tipo | 21065 | 21065 |
| Prensa | = |
Este número es demasiado grande para la visualización de algunas calculadoras y probablemente obtendremos algún tipo de mensaje de error. En algunas calculadoras científicas se hace frente a números tan grandes colocándolos en una forma llamada “notación científica”. Otros pueden hacer la multiplicación directamente. (1803416780)
Set de Práctica D
\(9,285 + 86(49)\)
- Responder
-
13,499
Set de Práctica D
\(55(84 - 26) + 120 (512 - 488)\)
- Responder
-
6,070
Set de Práctica D
\(106^3 - 17^4\)
- Responder
-
1,107,495
Set de Práctica D
\(6,053^3\)
- Responder
-
Este número es demasiado grande para una calculadora no científica. Una calculadora científica probablemente te dará \(2.217747109 \times 10^{11}\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, encuentra cada valor. Verifique cada resultado con una calculadora.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(2 + 3 \cdot (8)\)
- Responder
-
26
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(18 + 7 \cdot (4 - 1)\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(3 + 8 \cdot (6 - 2) + 11\)
- Responder
-
46
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(1 - 5 \cdot (8 - 8)\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(37 - 1 \cdot 6^2\)
- Responder
-
1
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(98 \div 2 \div 7^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\((4^2 - 2 \cdot 4) - 2^3\)
- Responder
-
0
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(\sqrt{9} + 14\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
\(\sqrt{100} + \sqrt{81} - 4^2\)
- Responder
-
3
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
\(\sqrt[3]{8} + 8 - 2\cdot 5\)
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(\sqrt[4]{16} - 1 + 5^2\)
- Responder
-
26
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(61 - 22 + 4[3 \cdot (10) + 11]\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(121 - 4 \cdot [(4) \cdot (5) - 12] + \dfrac{16}{2}\)
- Responder
-
97
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(\dfrac{(1 + 16) - 3}{7} + 5 \cdot (12)\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(\dfrac{8 \cdot (6 + 20)}{8} + \dfrac{3 \cdot (6 + 16)}{22}\)
- Responder
-
29
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(10 \cdot [8 + 2 \cdot (6 + 7)]\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(21 \div 7 \div 3\)
- Responder
-
1
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\(10^2 \cdot 3 \div 5^2 \cdot 3 - 2 \cdot 3\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\(85 \div 5 \cdot 5 - 85\)
- Responder
-
0
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\(\dfrac{51}{17} + 7 - 2 \cdot 5 \cdot (\dfrac{12}{3})\)
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(2^2 \cdot 3 + 2^3 \cdot (6 - 2) - (3 + 17) + 11(6)\)
- Responder
-
90
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(26 - 2 \cdot \{\dfrac{6 + 20}{13} \}\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(2 \cdot \{(7 + 7) + 6 \cdot [4 \cdot (8 + 2)]\}\)
- Responder
-
508
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(0 + 10(0) + 15 \cdot \{4 \cdot 3 + 1\}\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(18 + \dfrac{7 + 2}{9}\)
- Responder
-
19
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\((4 + 7) \cdot (8 - 3)\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\((6 + 8) \cdot (5 + 2 - 4)\)
- Responder
-
144
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\((21 - 3) \cdot (6 - 1) \cdot (7) + 4(6 + 3)\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\((10 + 5) \cdot (10 + 5) - 4 \cdot (60 - 4)\)
- Responder
-
1
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(6 \cdot \{2 \cdot 8 + 3\} - (5) \cdot (2) + \dfrac{8}{4} + (1 + 8) \cdot (1 + 11)\)
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
\(2^5 + 3 \cdot (8 + 1)\)
- Responder
-
52
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(3^4 + 2^4 \cdot (1 + 5)\)
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
\(1^6 + 0^8 + 5^2 \cdot (2 + 8)^3\)
- Responder
-
25,001
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
\((7) \cdot (16) - 3^4 + 2^2 \cdot (1^7 + 3^2)\)
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
\(\dfrac{2^3 - 7}{5^2}\)
- Responder
-
\(\dfrac{1}{25}\)
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
\(\dfrac{(1 + 6)^2 + 2}{3 \cdot 6 + 1}\)
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
\(\dfrac{6^2 - 1}{2^3 - 3} + \dfrac{4^3 + 2 \cdot 3}{2 \cdot 5}\)
- Responder
-
14
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
\(\dfrac{5(8^2 - 9 \cdot 6)}{2^5 - 7} + \dfrac{7^2 - 4^2}{5 \cdot 5^2}\)
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
\(\dfrac{(2 + 1)^3 + 2^3 + 1^{10}}{6^2} - \dfrac{15^2 - [2 \cdot 5]^2}{5 \cdot 5^2}\)
- Responder
-
0
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
\(\dfrac{6^3 - 2 \cdot 10^2}{2^2} + \dfrac{18(2^3 + 7^2)}{2(19) - 3^3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
\(2 \cdot \{6 + [10^2 - 6\sqrt{25}]\}\)
- Responder
-
152
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
\(181 - 3 \cdot (2\sqrt{36} + 3 \sqrt[3]{64})\)
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\(\dfrac{2 \cdot (\sqrt{81} - \sqrt[3] {125})}{4^2 - 10 + 2^2}\)
- Responder
-
\(\dfrac{4}{5}\)
Ejercicios para revisión
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
El hecho de que 0 + cualquier número entero = ese número entero en particular es un ejemplo de qué propiedad de suma?
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
Encuentra el producto \(4,271 \times 630\) .
- Responder
-
2,690,730
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
En el enunciado \(27 \div 3 = 9\) , ¿qué nombre se le da al resultado 9?
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
¿Qué número es la identidad multiplicativa?
- Responder
-
1
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
Encuentra el valor de \(2^4\) .