7.5: División de Fracciones
Objetivos de aprendizaje
- ser capaz de determinar el recíproco de un número
- ser capaz de dividir una fracción por otra
Reciprocales
Definición: Reciprocales
Dos números cuyo producto es 1 se denominan recíprocos entre sí.
Conjunto de Muestras A
Los siguientes pares de números son recíprocos.
\(\underbrace{\dfrac{3}{4} \text{and} \dfrac{4}{3}}_{\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3} = 1}\)
Conjunto de Muestras A
\(\underbrace{\dfrac{7}{16} \text{and} \dfrac{16}{7}}_{\dfrac{7}{16} \cdot \dfrac{16}{7} = 1}\)
Conjunto de Muestras A
\(\underbrace{\dfrac{1}{6} \text{and} \dfrac{6}{1}}_{\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{6}{1} = 1}\)
Observe que podemos encontrar el recíproco de un número distinto de cero en forma fraccionaria al invertirlo (intercambiando posiciones del numerador y denominador).
Conjunto de práctica A
Encuentra el recíproco de cada número.
\(\dfrac{3}{10}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{10}{3}\)
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{2}{3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{2}\)
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{7}{8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{8}{7}\)
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{1}{5}\)
- Contestar
-
5
Conjunto de práctica A
\(2 \dfrac{2}{7}\)
Pista
Escribe primero este número como una fracción impropia.
- Contestar
-
\(\dfrac{7}{16}\)
Conjunto de práctica A
\(5 \dfrac{1}{4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{21}\)
Conjunto de práctica A
\(10 \dfrac{3}{16}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{16}{163}\)
Dividiendo Fracciones
Nuestro concepto de división es que indica cuántas veces una cantidad está contenida en otra cantidad. Por ejemplo, usando el diagrama podemos ver que hay 6 un tercio en 2.
Hay 6 un tercio en 2.
Dado que 2 contiene seis \(\dfrac{1}{3}\) , expresamos esto como
Usando estas observaciones, podemos sugerir el siguiente método para dividir un número por una fracción.
Dividiendo Una Fracción por Otra
Fracción
Para dividir una primera fracción por una segunda fracción distinta de cero, multiplique la primera tracción por el recíproco de la segunda fracción.
Invertir y
Multiplicar
Este método se conoce comúnmente como
“invertir el divisor y
multiplicar”.
Conjunto de Muestras B
Realizar las siguientes divisiones.
\(\dfrac{1}{2} \div \dfrac{3}{4}\) . El divisor es \(\dfrac{3}{4}\) . Su recíproco es \(\dfrac{4}{3}\) . Multiplicar \(\dfrac{1}{3}\) por \(\dfrac{4}{3}\) .
\(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \dfrac{4}{9}\)
\(\dfrac{1}{2} \div \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{9}\)
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{3}{8} \div \dfrac{5}{4}\) . El divisor es \(\dfrac{5}{4}\) . Su recíproco es \(\dfrac{4}{5}\) . Multiplicar \(\dfrac{3}{8}\) por \(\dfrac{4}{5}\) .
\(\dfrac{3}{\begin{array} {c} {\cancel{8}} \\ {^2} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{4}} \end{array}}{5} = \dfrac{3 \cdot 1}{2 \cdot 5} = \dfrac{3}{10}\)
\(\dfrac{3}{8} \div \dfrac{5}{4} = \dfrac{3}{10}\)
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{12}\) . El divisor es \(\dfrac{5}{12}\) . Su recíproco es \(\dfrac{12}{5}\) . Multiplicar \(\dfrac{5}{6}\) por \(\dfrac{12}{5}\) .
\(\dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{5}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{6}} \\ {^1} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^2} \\ {\cancel{12}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{5}} \\ {^1} \end{array}} = \dfrac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \dfrac{2}{1} = 2\)
\(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{5}{12} = 2\)
Conjunto de Muestras B
\(2 \dfrac{2}{9} \div 3 \dfrac{1}{3}\) . Convierte cada número mixto en una fracción impropia.
\(2 \dfrac{2}{9} = \dfrac{9 \cdot 2 + 2}{9} = \dfrac{20}{9}\) .
\(3 \dfrac{1}{3} = \dfrac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \dfrac{10}{3}\) .
\(\dfrac{20}{9} \div \dfrac{10}{3}\) El divisor es \(\dfrac{10}{3}\) . Su recíproco es \(\dfrac{3}{10}\) . Multiplicar \(\dfrac{20}{9}\) por \(\dfrac{3}{10}\) .
\(\dfrac{\begin{array} {c} {^2} \\ {\cancel{20}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{9}} \\ {^3} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{3}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{10}} \\ {^1} \end{array}} = \dfrac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \dfrac{2}{3}\)
\(2 \dfrac{2}{9} \div 3 \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}\)
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{12}{11} \div 8\) . Primero convenientemente escriba 8 como \(\dfrac{8}{1}\) .
\(\dfrac{12}{11} \div \dfrac{8}{1}\) . El divisor es \(\dfrac{8}{1}\) . Su recíproco es \(\dfrac{1}{8}\) . Multiplicar \(\dfrac{12}{11}\) por \(\dfrac{1}{8}\) .
\(\dfrac{\begin{array} {c} {^3} \\ {\cancel{12}} \end{array}}{11} \cdot \dfrac{1}{\begin{array} {c} {\cancel{8}} \\ {^2} \end{array}} = \dfrac{3 \cdot 1}{11 \cdot 2} = \dfrac{3}{22}\)
\(\dfrac{12}{11} \div 8 = \dfrac{3}{22}\)
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{7}{8} \div \dfrac{21}{20} \cdot \dfrac{3}{35}\) . El divisor es \(\dfrac{21}{20}\) . Su recíproco es \(\dfrac{20}{21}\) .
\(\dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{7}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{8}} \\ {^2} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^{^1}} \\ {^{\cancel{5}}} \\ {\cancel{20}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{21}} \\ {^{\cancel{3}}} \\ {^{^1}} \end{array}} \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{3}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{35}} \\ {^7} \end{array}} = \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 7} = \dfrac{1}{14}\)
\(\dfrac{7}{8} \div \dfrac{21}{20} \cdot \dfrac{3}{25} = \dfrac{1}{14}\)
Conjunto de Muestras B
¿Cuántos paquetes de \(2 \dfrac{3}{8}\) pulgadas de ancho se pueden colocar en una caja de 19 pulgadas de ancho?
El problema es determinar cuántos dos y tres octavos están contenidos en 19, es decir, ¿qué es \(19 \div 2 \dfrac{3}{8}\) ?
\(2\dfrac{3}{8} = \dfrac{19}{8}\) Convierte el divisor \(2 \dfrac{3}{8}\) en una fracción impropia.
\(19 = \dfrac{19}{1}\) Escribe el dividendo 19 como \(\dfrac{19}{1}\) .
\(\dfrac{19}{1} \div \dfrac{19}{8}\) El divisor es \(\dfrac{19}{8}\) . Su recíproco es \(\dfrac{8}{19}\) .
\(\dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{19}} \end{array}}{1} \cdot \dfrac{8}{\begin{array} {c} {\cancel{19}} \\ {^1} \end{array}} = \dfrac{1 \cdot 8}{1 \cdot 1} = \dfrac{8}{1} = 8\)
De esta manera, cabrán 8 paquetes en la caja.
Set de práctica B
Realizar las siguientes divisiones.
\(\dfrac{1}{2} \div \dfrac{9}{8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{9}\)
Set de práctica B
\(\dfrac{3}{8} \div \dfrac{9}{24}\)
- Contestar
-
1
Set de práctica B
\(\dfrac{7}{15} \div \dfrac{14}{15}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{2}\)
Set de práctica B
\(8 \div \dfrac{8}{15}\)
- Contestar
-
15
Set de práctica B
\(6 \dfrac{1}{4} \div \dfrac{5}{12}\)
- Contestar
-
15
Set de práctica B
\(3 \dfrac{1}{3} \div 1 \dfrac{2}{3}\)
- Contestar
-
2
Set de práctica B
\(\dfrac{5}{6} \div \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{8}{25}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2}{5}\)
Set de práctica B
Un recipiente contendrá 106 onzas de jugo de uva. ¿Cuántos vasos de \(6 \dfrac{5}{8}\) -onza de jugo de uva se pueden servir de este recipiente?
- Contestar
-
16 vasos
Determine cada uno de los siguientes cocientes y luego escriba una regla para este tipo de división.
Set de práctica B
\(1 \div \dfrac{2}{3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{2}\)
Set de práctica B
\(1 \div \dfrac{3}{8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{8}{3}\)
Set de práctica B
\(1 \div \dfrac{3}{4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{3}\)
Set de práctica B
\(1 \div \dfrac{5}{2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2}{5}\)
Set de práctica B
Al dividir 1 por una fracción, el cociente es el.
- Contestar
-
es el recíproco de la fracción.
Ejercicios
Para los siguientes problemas, encuentra el recíproco de cada número.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(\dfrac{4}{5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{5}{4}\) o \(1 \dfrac{1}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(\dfrac{8}{11}\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(\dfrac{2}{9}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{9}{2}\) o \(4 \dfrac{1}{2}\)
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(\dfrac{1}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(3\dfrac{1}{4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{13}\)
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(8 \dfrac{1}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\(3\dfrac{2}{7}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{7}{23}\)
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(5 \dfrac{3}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
1
- Contestar
-
1
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
4
Para los siguientes problemas, encuentra cada valor.
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(\dfrac{3}{8} \div \dfrac{3}{5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{5}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(\dfrac{5}{9} \div \dfrac{5}{6}\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(\dfrac{9}{16} \div \dfrac{15}{8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{10}\)
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(\dfrac{4}{9} \div \dfrac{6}{15}\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(\dfrac{25}{49} \div \dfrac{4}{9}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{225}{196}\) o \(1 \dfrac{29}{196}\)
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(\dfrac{15}{4} \div \dfrac{27}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(\dfrac{24}{75} \div \dfrac{8}{15}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\(\dfrac{5}{7} \div 0\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\(\dfrac{7}{8} \div \dfrac{7}{8}\)
- Contestar
-
1
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\(0 \div \dfrac{3}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(\dfrac{4}{11} \div \dfrac{4}{11}\)
- Contestar
-
1
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(\dfrac{2}{3} \div \dfrac{2}{3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(\dfrac{7}{10} \div \dfrac{10}{7}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{49}{100}\)
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(\dfrac{3}{4} \div 6\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(\dfrac{9}{5} \div 3\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\(4 \dfrac{1}{6} \div 3 \dfrac{1}{3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\(7 \dfrac{1}{7} \div 8 \dfrac{1}{3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{6}{7}\)
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\(1 \dfrac{1}{2} \div 1 \dfrac{1}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\(3 \dfrac{2}{5} \div \dfrac{6}{25}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{85}{6}\) o \(14 \dfrac{1}{6}\)
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(5 \dfrac{1}{6} \div \dfrac{31}{6}\)
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
\(\dfrac{35}{6} \div 3 \dfrac{3}{4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{28}{18} = \dfrac{14}{9}\) o \(1 \dfrac{5}{9}\)
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(5 \dfrac{1}{9} \div \dfrac{1}{18}\)
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
\(8 \dfrac{3}{4} \div \dfrac{7}{8}\)
- Contestar
-
10
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
\(\dfrac{12}{8} \div 1 \dfrac{1}{2}\)
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
\(3 \dfrac{1}{8} \div \dfrac{15}{16}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{10}{3}\) o \(3 \dfrac{1}{3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
\(11 \dfrac{11}{12} \div 9 \dfrac{5}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
\(2 \dfrac{2}{9} \div 11 \dfrac{2}{3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{21}\)
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
\(\dfrac{16}{3} \div 6 \dfrac{2}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
\(4 \dfrac{3}{25} \div 2 \dfrac{56}{75}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{2}\) o \(1 \dfrac{1}{2}\)
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
\(\dfrac{1}{1000} \div \dfrac{1}{100}\)
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
\(\dfrac{3}{8} \div \dfrac{9}{16} \cdot \dfrac{6}{5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
\(\dfrac{3}{16} \cdot \dfrac{9}{8} \cdot \dfrac{6}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\(\dfrac{4}{15} \div \dfrac{2}{25} \cdot \dfrac{9}{10}\)
- Contestar
-
3
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
\(\dfrac{21}{30} \cdot 1 \dfrac{1}{4} \div \dfrac{9}{10}\)
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
\(8 \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{36}{75} \div 4\)
- Contestar
-
1
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
¿Cuál es el valor de 5 en el número 504,216?
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
Encuentra el producto de 2,010 y 160.
- Contestar
-
321,600
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
Utilice los números 8 y 5 para ilustrar la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Ejercicio \(\PageIndex{49}\)
Encuentra el múltiplo menos común de 6, 16 y 72.
- Contestar
-
144
Ejercicio \(\PageIndex{50}\)
Encuentra \(\dfrac{8}{9}\) de \(6 \dfrac{3}{4}\)