10.3: Aplicaciones de Proporciones
Objetivos de aprendizaje
- resolver problemas de proporción usando el método de cinco pasos
El método de cinco pasos
En [link] señalamos que muchos problemas prácticos pueden resolverse escribiendo la información dada como proporciones. Dichas proporciones estarán compuestas por tres números especificados y un número desconocido representado por una letra.
La primera y más importante parte de resolver un problema de proporción es determinar, mediante una lectura cuidadosa, cuál es la cantidad desconocida y representarla con alguna letra.
El método de cinco pasos
El
método
de cinco pasos para resolver problemas de proporción:
- Mediante una lectura cuidadosa, determinar cuál es la cantidad desconocida y representarla con alguna letra. Solo habrá una desconocida en un problema.
- Identificar los tres números especificados.
- Determinar qué comparaciones se van a hacer y establecer la proporción.
- Resolver la proporción (utilizando los métodos de [link] ).
- Interpretar y escribir una conclusión en una oración con las unidades de medida correspondientes.
El paso 1 es sumamente importante. Muchos problemas quedan sin resolver porque no se toma tiempo para establecer qué cantidad hay que encontrar.
Al resolver un problema aplicado, siempre comience por determinar la cantidad desconocida y representarla con una letra.
Resolución de problemas
Conjunto de Muestras A
En un mapa, 2 pulgadas representa 25 millas. ¿Cuántas millas están representadas por 8 pulgadas?
Solución
Paso 1: La cantidad desconocida son millas.
Let
\(x =\)
número de millas representado por 8 pulgadas
Paso 2: Los tres números especificados son
2 pulgadas
25 millas
8 pulgadas
Paso 3: Las comparaciones son de
2 pulgadas a 25 millas
\(\to \dfrac{\text{2 inches}}{\text{25 miles}}\)
8 pulgadas a
\(x\)
millas
\(\to \dfrac{\text{8 inches}}{\text{x miles}}\)
Las proporciones que involucran proporciones y tarifas se resuelven más fácilmente suspendiendo las unidades mientras se realizan los cálculos.
\(\dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{x}\)
Paso 4:
\(\dfrac{2}{25} = \dfrac{8}{x}\)
Realizar la multiplicación cruzada.
\(\begin{array} {rcl} {2 \cdot x} & = & {8 \cdot 25} \\ {2 \cdot x} & = & {200 \ \ \ \ \ \ \ \text{Divide 200 by 2.}} \\ {x} & = & {\dfrac{200}{2}} \\ {x} & = & {100} \end{array}\)
En el paso 1, dejamos
\(x\)
representar el número de millas. Entonces,
\(x\)
representa 100 millas.
Paso 5: Si 2 pulgadas representan 25 millas, entonces 8 pulgadas representan 100 millas.
Conjunto de Muestras A
Una solución ácida se compone de 7 partes de agua por 2 partes de ácido. ¿Cuántas partes de agua hay en una solución compuesta por 20 partes de ácido?
Solución
Paso 1: La cantidad desconocida es el número de partes de agua.
Dejar
\(x =\)
número de partes de agua.
Paso 2: Los tres números especificados son
7 partes agua
2 partes ácido
20 partes ácido
Paso 3: Las comparaciones son de
7 partes de agua a 2 partes de ácido
\(\to \dfrac{7}{2}\)
\(n\)
partes de agua a 20 partes de ácido
\(\to \dfrac{n}{20}\)
\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{n}{20}\)
Paso 4:
\(\dfrac{7}{2} = \dfrac{n}{20}\)
Realizar la multiplicación cruzada.
\(\begin{array} {rcl} {7 \cdot 20} & = & {2 \cdot n} \\ {140} & = & {2 \cdot n \ \ \ \text{Divide 140 by 2.}} \\ {\dfrac{140}{2}} & = & {n} \\ {70} & = & {n} \end{array}\)
En el paso 1, dejamos
\(n\)
representar el número de partes de agua. Entonces,
\(n\)
representa 70 partes de agua.
Paso 5:7 partes de agua por 2 partes de ácido indica 70 partes de agua por 20 partes de ácido.
Conjunto de Muestras A
Una niña de 5 pies proyecta una sombra de \(3 \dfrac{1}{3}\) pies en un momento particular del día. ¿Qué altura tiene una persona que proyecta una sombra de 3 pies a la misma hora del día?
Solución
Paso 1: La cantidad desconocida es la altura de la persona.
Let
\(h = \text{ height of the preson.}\)
Paso 2: Los tres números especificados son
5 pies (altura de niña)
3
\(\dfrac{1}{3}\)
pies (longitud de la sombra)
3 pies (longitud de la sombra)
Paso 3: Las comparaciones son chica de
5 pies es a sombra de
\(3 \dfrac{1}{3}\)
pies
\(\to \dfrac{5}{3 \dfrac{1}{3}}\)
\(h\)
-persona de pie es a sombra de 3 pies
\(\to \dfrac{h}{3}\)
\(\dfrac{5}{3\dfrac{1}{3}} = \dfrac{h}{3}\)
Paso 4:
\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{5}{3\dfrac{1}{3}}} & = & {\dfrac{h}{3}} \\ {5 \cdot 3} & = & {3 \dfrac{1}{3} \cdot h} \\ {15} & = & {\dfrac{10}{3} \cdot h \ \ \ \ \text{Divide 15 by } \dfrac{10}{3}} \\ {\dfrac{15}{\dfrac{10}{3}}} & = & {h} \\ {\dfrac{\begin{array} {c} {^3} \\ {\cancel{15}} \end{array}}{1} \cdot \dfrac{3}{\begin{array} {c} {\cancel{10}} \\ {^2} \end{array}}} & = & {h} \\ {\dfrac{9}{2}} & = & {h} \\ {h} & = & {4 \dfrac{1}{2}} \end{array}\)
Paso 5: Una persona que proyecta una sombra de 3 pies en este momento particular del día mide \(4 \dfrac{1}{2}\) pies de altura.
Conjunto de Muestras A
La proporción de hombres a mujeres en un pueblo en particular es de 3 a 5. ¿Cuántas mujeres hay en la localidad si hay 19,200 hombres en la localidad?
Solución
Paso 1: La cantidad desconocida es el número de mujeres en la ciudad.
Dejar
\(x =\)
número de mujeres en la ciudad.
Paso 2: Los tres números especificados son
3
5
19,200
Paso 3: Las comparaciones son de 3 hombres a 5 mujeres
\(\to \dfrac{3}{5}\)
19,200 hombres a
\(x\)
mujeres
\(\to \dfrac{19,200}{x}\)
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{19,200}{x}\)
Paso 4:
\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{3}{5}} & = & {\dfrac{19,200}{x}} \\ {3 \cdot x} & = & {19,200 \cdot 5} \\ {3 \cdot x} & = & {96,000} \\ {x} & = & {\dfrac{96,000}{3}} \\ {x} & = & {32,000} \end{array}\)
Paso 5: Hay 32 mil mujeres en la ciudad.
Conjunto de Muestras A
El índice de victorias a derrotas de un determinado equipo de béisbol es \(\dfrac{9}{2}\) . ¿Cuántos juegos perdió este equipo si ganaban 63 juegos?
Solución
Paso 1: La cantidad desconocida es el número de juegos perdidos.
Vamos
\(n =\)
número de juegos perdidos.
Paso 2: Dado que
\(\dfrac{9}{2} \to\)
significa 9 victorias a 2 derrotas, los tres números especificados son
9 (victorias)
2 (derrotas)
63 (victorias)
Paso 3: Las comparaciones son
9 victorias con 2 derrotas
\(\to \dfrac{9}{2}\)
63 victorias a
\(n\)
derrotas
\(\to \dfrac{63}{n}\)
\(\dfrac{9}{2} = \dfrac{63}{n}\)
Paso 4:
\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{9}{2}} & = & {\dfrac{63}{n}} \\ {9 \cdot n} & = & {2 \cdot 63} \\ {9 \cdot n} & = & {126} \\ {n} & = & {\dfrac{126}{9}} \\ {n} & = & {14} \end{array}\)
Paso 5: Este equipo tuvo 14 derrotas.
Conjunto de práctica A
Resuelve cada problema.
En un mapa, 3 pulgadas representa 100 millas. ¿Cuántas millas están representadas por 15 pulgadas?
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
- Responder
-
500 millas
Conjunto de práctica A
Una solución de alcohol se compone de 14 partes de agua por 3 partes de alcohol. ¿Cuántas partes de alcohol hay en una solución que se compone de 112 partes de agua?
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
- Responder
-
24 partes de alcohol
Conjunto de práctica A
Una mujer \(5 \dfrac{1}{2}\) de pies proyecta una sombra de 7 pies en un momento particular del día. ¿Cuánto tiempo de sombra proyecta un niño de 3 pies a esa misma hora del día?
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
- Responder
-
\(3 \dfrac{9}{11}\) pies
Conjunto de práctica A
La tasa de plantas de interior a plantas externas en un vivero es de 4 a 9. Si hay 384 plantas de interior en el vivero, ¿cuántas plantas externas hay?
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
- Responder
-
864 plantas exteriores
Conjunto de práctica A
Las probabilidades de que ocurra un evento en particular son de 11 a 2. (Por cada 11 veces que ocurra el evento, no ocurrirá 2 veces). ¿Cuántas veces ocurre el evento si no ocurre 18 veces?
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
- Responder
-
El evento ocurre 99 veces.
Conjunto de práctica A
La tasa de aprobación de calificaciones a calificaciones rebajadas en una clase de química en particular es 7272. Si hay 21 calificaciones aprobatorias, ¿cuántas calificaciones reprobables hay?
Paso 1:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
- Contestar
-
6 calificaciones reprobando
Ejercicios
Para los siguientes 20 problemas, utilice el método de cinco pasos para resolver cada problema.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
En un mapa, 4 pulgadas representa 50 millas. ¿Cuántas pulgadas representan 300 millas?
- Contestar
-
24
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
En un plano para una casa, 2 pulgadas representa 3 pies. ¿Cuántas pulgadas representan 10 pies?
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
Se construye un modelo a \(\dfrac{2}{15}\) escala. Si una parte particular del modelo mide 6 pulgadas, ¿cuánto dura la estructura real?
- Contestar
-
45 pulgadas
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
Una solución ácida se compone de 5 partes de ácido por 9 partes de agua. ¿Cuántas partes de ácido hay en una solución que contiene 108 partes de agua?
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
Una aleación contiene 3 partes de níquel a 4 partes de plata. ¿Cuánto níquel hay en una aleación que contiene 44 partes de plata?
- Contestar
-
33 partes
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
La proporción de agua a sal en un tubo de ensayo es de 5 a 2. ¿Cuánta sal hay en un tubo de ensayo que contiene 35 ml de agua?
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
La relación de azufre a aire en un contenedor es \(\dfrac{4}{45}\) . ¿Cuántos ml de aire hay en un recipiente que contiene 207 ml de azufre?
- Contestar
-
2328.75
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
Un hombre de 6 pies proyecta una sombra de 4 pies en un momento particular del día. ¿Qué altura tiene una persona que proyecta una sombra de 3 pies a esa misma hora del día?
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
Una mujer \(5\dfrac{1}{2}\) de pie proyecta una sombra \(1\dfrac{1}{2}\) de pie en un momento determinado del día. ¿Cuánto tiempo proyecta una sombra a su sobrina de \(3\dfrac{1}{2}\) pie a la misma hora del día?
- Contestar
-
\(\dfrac{21}{22}\) pies
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
Un hombre, que mide 6 pies de altura, proyecta una sombra de 7 pies a una hora determinada del día. ¿Qué tan alto es un árbol que proyecta una sombra de 84 pies a esa misma hora del día?
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
La proporción de libros a estantes en una librería es de 350 a 3. ¿Cuántos libros hay en una tienda que tiene 105 estantes?
- Contestar
-
12,250
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
La proporción de clases de álgebra a clases de geometría en un colegio comunitario en particular es de 13 a 2. ¿Cuántas clases de geometría ofrece esta universidad si ofrece 13 clases de álgebra?
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
Las probabilidades para que ocurra un evento en particular son de 16 a 3. Si este evento ocurre 64 veces, ¿cuántas veces predecirías que no ocurre?
- Contestar
-
12
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
Las probabilidades de que ocurra un evento en particular son de 8 a 3. Si este evento ocurre 64 veces, ¿cuántas veces predecirías que no ocurre?
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
El dueño de una papelería sabe que una pila de papel de 1 pulgada contiene 300 hojas. El propietario desea apilar el papel en unidades de 550 hojas. ¿Cuántas pulgadas de alto debe tener cada pila?
- Contestar
-
\(1\dfrac{5}{6}\)
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
Una receta que requiere 6 tazas de azúcar para 15 porciones es para ser utilizada para hacer 45 porciones. ¿Cuánto azúcar se necesitará?
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
Un estanque pierde \(7\dfrac{1}{2}\) galones de agua cada 2 días debido a la evaporación. ¿Cuántos galones de agua se pierden, debido a la evaporación, en el \(\dfrac{1}{2}\) día?
- Contestar
-
\(1\dfrac{7}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
Una fotografía que mide 3 pulgadas de ancho y \(4\dfrac{1}{2}\) pulgadas de alto se debe ampliar para que sea de 5 pulgadas de ancho. ¿Qué tan alto será?
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
Si 25 libras de fertilizante cubren 400 pies cuadrados de pasto, ¿cuántas libras se necesitan para cubrir 500 pies cuadrados de pasto?
- Contestar
-
\(31 \dfrac{1}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
Cada \(\dfrac{1}{2}\) cucharaditas de una vitamina múltiple particular, en forma granular, contiene 0.65 el requerimiento mínimo diario de vitamina C. ¿Cuántas cucharaditas de esta vitamina se requieren para suministrar 1.25 el requerimiento mínimo diario?
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
Encuentra el producto, \(818 \cdot 0\) .
- Contestar
-
0
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
Determinar el numerador faltante: \(\dfrac{8}{15} = \dfrac{N}{90}\) .
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
Encuentra el valor de \(\dfrac{\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{12}}{\dfrac{19}{20}}\) .
- Contestar
-
\(\dfrac{2}{3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
Restar 0.249 de la suma de 0.344 y 0.612.
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
Resolver la proporción: \(\dfrac{6}{x} = \dfrac{36}{30}\) .
- Contestar
-
5