16.2: Símbolos y Notaciones
Variables y Constantes
Una característica básica del álgebra es el uso de símbolos (generalmente letras) para representar números.
Una letra o símbolo que representa a cualquier miembro de una colección de dos o más números se denomina variable .
Definición: Constante
Una letra o símbolo que representa un número específico, conocido o desconocido se denomina constante .
En los siguientes ejemplos, la letra \(x\) es una variable ya que puede ser cualquier miembro de la colección de números {35, 25, 10}. La letra \(h\) es una constante ya que sólo puede asumir el valor 5890.
Supongamos que las calles de camino de casa a la escuela tienen límites de velocidad de 35 mph, 25 mph y 10 mph. En álgebra podemos dejar que la letra \(x\) represente nuestra velocidad mientras viajamos de casa a la escuela. El valor máximo de \(x\) depende de en qué tramo de calle nos encontremos. La letra \(x\) puede asumir cualquiera de los diversos valores 35,25,10.
Supongamos que al escribir un trabajo de término para una clase de geografía necesitamos especificar la altura del monte Kilimanjaro. Si por casualidad no conocemos la altura de la montaña, podemos representarla (al menos temporalmente) en nuestro papel con la carta \(h\) . Posteriormente, buscamos la altura en un libro de referencia y encontramos que es de 5890 metros. La letra sólo \(h\) puede asumir el valor único, 5890, y ningún otro. El valor de \(h\) es constante .
Símbolos de Operación, Igualdad y Desigualdad
Operación binaria
Una operación binaria en una colección de números es un proceso que asigna un número a dos números dados en la colección. Las operaciones binarias utilizadas en álgebra son suma, resta, multiplicación y división.
Si dejamos \(x\) y \(y\) cada uno representa un número, tenemos las siguientes anotaciones:
- Adición: \(x + y\)
- Resta: \(x - y\)
- Multiplicación: \(x \cdot y\)
- División: \(\dfrac{x}{y}\) \(x/y\) \(x \div y\) \(\sqrt[y]{x}\)
Conjunto de Muestras A
\(a+b\) representa la suma de \(a\) y \(b\) .
\(4+y\) representa la suma de \(4\) y \(y\) .
\(8−x\) representa la diferencia de \(8\) y \(x\) .
\(6x\) representa el producto de \(6\) y \(x\) .
\(ab\) representa el producto de \(a\) y \(b\) .
\(h3\) representa el producto de \(h\) y \(3\) .
\((14.2)a\) representa el producto de \(14.2\) y \(a\) .
\((8) (24)\) representa el producto de \(8\) y \(24\) .
\(5\cdot6(b)\) representa el producto de 5,6, y \(b\) .
\(6x\) representa el cociente de \(6\) y \(x\) .
Conjunto de práctica A
Problema de práctica \(\PageIndex{1}\)
Representar el producto de 29 y \(x\) cinco formas diferentes.
- Contestar
-
\(29 \cdot x\) , \(29x\) , \((29)(x)\) , \(29(x)\) , \((29)x\)
Si dejamos \(a\) y \(b\) representamos dos números, entonces \(a\) y \(b\) se relacionan exactamente de una de tres maneras:
Símbolos de Igualdad y Desigualdad:
\(a = b\)
\(a\)
y
\(b\)
son iguales
\(a > b\)
\(a\)
es estrictamente mayor que
\(b\)
\(a < b\)
\(a\)
es estrictamente menor que
\(b\)
Algunas variaciones de estos símbolos incluyen
\(a \not= b\)
\(a\)
no es igual a
\(b\)
\(a \ge b\)
\(a\)
es mayor que o igual a
\(b\)
\(a \le b\)
\(a\)
es menor que o igual a
\(b\)
Los últimos cinco de los símbolos anteriores son símbolos de desigualdad. Podemos negar (cambiar al contrario) cualquiera de las declaraciones anteriores dibujando una línea a través del símbolo de relación (como en \(a \not= b\) ), como se muestra a continuación:
\(a\)
no es mayor de lo que se
\(b\)
puede expresar como cualquiera
\(a \not > b\)
o
\(a \le b\)
\(a\)
no es
\(b\)
menor de lo que puede expresarse como:
\(a \not < b\)
o
\(a \ge b\)
\(a < b\) y \(a \not \ge b\) ambos indican que \(a\) es menor que \(b\)
Agrupación de símbolos
Los símbolos de agrupación se utilizan para indicar que una colección particular de números y operaciones significativas deben agruparse y considerarse como un número. Los símbolos de agrupación utilizados comúnmente en álgebra son
Paréntesis: ()
Corchetes: []
Tirantes: {}
Barra: __
En un cómputo en el que está involucrada más de una operación, los símbolos de agrupación nos ayudan a decirnos qué operaciones realizar primero. Si es posible, primero realizamos operaciones dentro de los símbolos de agrupación.
Conjunto de Muestras B
(4 + 17) - 6 = 21 - 6 = 15
8 (3 + 6) = 8 (9) = 72
5 [8 + (10 - 4)] = 5 [8 + 6] = 5 [14] = 70
2 {3 [4 (17 - 11)]} = 2 {3 [4 (6)]} = 2 {3 [24]} = 2 {72} = 144
\(\dfrac{9(5+1)}{24+3}\)
La barra de fracción separa los dos grupos de números 9 (5 + 1) y 24 + 3. Realizar las operaciones en el numerador y denominador por separado.
\(\dfrac{9(5+1)}{24+3}=\dfrac{9(6)}{24+3}=\dfrac{54}{24+3}=\dfrac{54}{27}=2\)
Set de práctica B
Utilice los símbolos de agrupación para ayudar a realizar las siguientes operaciones.
Problema de práctica \(\PageIndex{2}\)
\(3(1 + 8)\)
- Contestar
-
27
Problema de práctica \(\PageIndex{3}\)
\(4[2(11 - 5)]\)
- Contestar
-
48
Problema de práctica \(\PageIndex{4}\)
\(6{2[2(10 - 9)]}\)
- Contestar
-
24
Problema de práctica \(\PageIndex{5}\)
\(\dfrac{1+19}{2+3}\)
- Contestar
-
4
Los siguientes ejemplos muestran cómo usar la notación algebraica para escribir cada expresión.
9 menos \(y\) se convierte \(9 - y\)
46 veces \(x\) se convierte \(46x\)
7 veces \((x + y)\) se convierte \(7(x + y)\)
4 dividido por 3, los tiempos \(z\) se convierten \((\dfrac{4}{3})z\)
\((a - b)\) tiempos \((b-a)\) divididos por (2 veces \(a\) ) se convierte \(\dfrac{(a-b)(b-a)}{2a}\)
Introducir una variable ( cualquier letra servirá pero aquí vamos a dejar \(x\) representar el número) y utilizar símbolos algebraicos apropiados para escribir la declaración: Un número más 4 es estrictamente mayor que 6. La respuesta es \(x + 4 > 6\) .
El orden de operaciones
Supongamos que deseamos encontrar el valor de
\(16 + 4 \cdot 9\)
. Podríamos
sumar 16 y 4, luego multiplicar esta suma por 9.
\(16 + 4 \cdot 9 = 20 \cdot = 180\)
multiplica 4 y 9, luego agrega 16 a este producto.
\(16 + 4 \cdot 9 = 16 + 36 = 52\)
Ahora tenemos dos valores para un número. Para determinar el valor correcto debemos usar el orden estándar de operaciones.
- Realizar todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación, comenzando por el conjunto más interno.
- Realiza todas las multiplicaciones y divisiones, a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
- Realiza todas las adiciones y restas, a medida que llegas a ellas, moviéndote de izquierda a derecha.
A medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra, nos toparemos con otra operación, la exponenciación, que habrá que insertar antes de la multiplicación y división.
Conjunto de Muestras C
Utilice el orden de las operaciones para encontrar el valor de cada número.
\(16 + 4 \cdot 9\) . Multiplicar primero.
= \(16 + 36\) Ahora agrega.
= \(52\)
\((27 - 8) + 7(6 + 12)\) . Combinar entre paréntesis.
= \(19 + 7(18)\) Multiplicar.
= \(19 + 126\) Ahora agrega.
= 145
\(8 + 2[4 + 3(6-1)]\) . Comience con el conjunto más interno de símbolos de agrupación, ().
= \(8 + 2[4 + 3(5)]\) Ahora trabajar dentro del siguiente conjunto de símbolos de agrupación, [].
= \(8 + 2[4 + 15]\)
= \(8 + 2[19]\)
= \(8 + 38\)
= \(46\)
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {6+4 [2+3 (19-17)]} {18-2 [2 (3) +2]} &=\ dfrac {6+4 [2+3 (2)]} {18-2 [6+2]}\\
&=\ dfrac {6+4 [2+6]} {18-2 [8]}\\
&=\ dfrac {6+4 [8]} {18-16}\\
&=\ dfrac {6+32} {2}\\
&=\ dfrac {38} {2}\\
&=19
\ end {alineado}
\)
Set de práctica C
Utilice el orden de las operaciones para encontrar cada valor.
Problema de práctica \(\PageIndex{6}\)
\(25 + 8(3)\)
- Contestar
-
49
Problema de práctica \(\PageIndex{7}\)
\(2 + 3(18 - 5 \cdot 2)\)
- Contestar
-
26
Problema de práctica \(\PageIndex{8}\)
\(4 + 3[2 + 3(1 + 8 \div 4\)
- Contestar
-
37
Problema de práctica \(\PageIndex{9}\)
\(\dfrac{19+2\{5+2[18+6(4+1)]\}}{5 \cdot 6-3(5)-2}\)
- Contestar
-
17
Ejercicios
Para los siguientes problemas, utilice el orden de las operaciones para encontrar cada valor.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(2 + 3(6)\)
- Contestar
-
\(20\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(18 - 7(8 - 3)\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(8 \cdot \div 16 + 5\)
- Contestar
-
\(7\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((21 + 4) \div 5 \cdot 2\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(3(8 + 2) \div 6 + 3\)
- Contestar
-
\(8\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(6(4 + 1) \div (16 \div 8) - 15\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(6(4 - 1) + 8(3 + 7) - 20\)
- Contestar
-
\(78\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((8)(5) + 2(14) + (1)(10)\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(61 - 22 + 4[3(10) + 11]\)
- Contestar
-
\(203\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(\dfrac{(1+16-3)}{7} + 5(12)\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(\dfrac{8(6+20)}{8} + \dfrac{3(6+16)}{22}\)
- Contestar
-
\(29\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(18 \div 2 + 55\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(21 \div 7 \div 3\)
- Contestar
-
\(1\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(85 \div 5 \cdot 5 - 85\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((300 - 25) \div (6 - 3)\)
- Contestar
-
\(91\dfrac{2}{3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(4 \cdot 3 + 8 \cdot 28 - (3 + 17) + 11(6)\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(2{(7 + 7) + 6[4(8 + 2)]}\)
- Contestar
-
\(508\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(0 + 10(0) + 15[4(3) + 1]\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(6.1(2.2 + 1.8)\)
- Contestar
-
\(22.4\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(\dfrac{5.9}{2} + 0.6\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((4 + 7)(8 - 3)\)
- Contestar
-
\(55\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((10 + 5)(10 + 5) - 4(60 - 4)\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((\dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4}) + (\dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3})\)
- Contestar
-
\(1\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(4(\dfrac{3}{5} - \dfrac{8}{15}) + 9(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4})\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(\dfrac{0}{5} + \dfrac{0}{1} + 0[2 + 4(0)]\)
- Contestar
-
\(0\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(0 \cdot 9 + 4 \cdot 0 \div 7 + 0[2(2-2)]\)
Para los siguientes problemas, indíquense si las declaraciones dadas son iguales o diferentes.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(x \ge y\) y \(x > y\)
- Contestar
-
Diferente
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(x < y\) y \(x \not \ge y\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(x = y\) y \(y = x\)
- Contestar
-
Mismo
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Representar el producto de 3 y \(x\) cinco formas diferentes.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Representar la suma de \(a\) y \(b\) dos formas diferentes.
- Contestar
-
\(a + b\) , \(b + a\)
Para los siguientes problemas, reescriba cada frase usando notación algebraica.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Diez menos tres
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(x\) más dieciséis
- Contestar
-
\(x + 16\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
51 dividido por \(a\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
81 veces \(x\)
- Contestar
-
\(81x\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
3 veces \(x + y\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((x + b)\) tiempos \((x + 7)\)
- Contestar
-
\((x + b)(x+7)\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
3 \(x\) veces \(y\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(x\) dividido por (7 veces \(b\) )
- Contestar
-
\(\dfrac{x}{7b}\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((a + b)\) dividido por \((a + 4)\)
Para los siguientes problemas, introduzca una variable (cualquier letra servirá) y use símbolos algebraicos apropiados para escribir la declaración dada.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Un número menos ocho es igual a diecisiete
- Responder
-
\(x - 8 = 17\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Cinco veces un número, menos uno, es igual a cero.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Un número dividido por seis es mayor o igual a cuarenta y cuatro.
- Responder
-
\(\dfrac{x}{6} \ge 44\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Dieciséis menos dos veces un número equivale a cinco.
Determinar si las afirmaciones para los siguientes problemas son verdaderas o falsas.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(6 - 4(4)(1) \le 10\)
- Responder
-
true
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(5(4 + 2 \cdot 10) \ge 110\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(8 \cdot 6 - 48 \le 0\)
- Responder
-
true
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(\dfrac{20+4.3}{16} < 5\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(2[6(1 + 4) - 8] > 2(11 + 6)\)
- Responder
-
false
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(6[4 + 8 + 3(26 - 15) \not \le 3[7(10 - 4)]\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
El número de diferentes formas en las que se pueden organizar 5 personas seguidas es \(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\) . ¿De cuántas maneras es esto?
- Responder
-
120
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Una caja contiene 10 chips de computadora. Se van a elegir tres fichas al azar. La cantidad de formas en que esto se puede hacer es
\(\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\)
¿De cuántas maneras es esto?
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
La probabilidad de obtener cuatro de un tipo en una mano de póquer de cinco cartas es
\(\dfrac{13 \cdot 48}{(52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48) \div(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}\)
¿Cuál es esta probabilidad?
- Responder
-
\(0.00024\) , o \(\dfrac{1}{4165}\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Tres personas están en un elevador en un edificio de cinco pisos. Si cada persona selecciona aleatoriamente un piso en el que bajar, la probabilidad de que al menos dos personas bajen en el mismo piso es
\(1 - \dfrac{1 \cdot 4 \cdot 3}{5 \cdot 5 \cdot 5}\)
¿Cuál es esta probabilidad?