16.6: Reglas de Exponentes
Descripción general
- La regla del producto para exponentes
- La regla del cociente para los exponentes
- Cero como exponente
Comenzaremos nuestro estudio de las reglas de los exponentes recordando la definición de exponentes.
Si
\(x\)
es algún número real y
\(n\)
es un número natural, entonces
\(x^{n}=\underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot \ldots \cdot x}_{n \text { factors of } x}\)
Un exponente registra el número de factores idénticos en una multiplicación.
En \(x^n\) ,
\(x\)
es la
base
\(n\)
es el
exponente
El número representado por
\(x^n\)
se llama una
potencia
El término \(x^n\) se lee como " \(x\) a la \(n\) th.”
La regla del producto para exponentes
La primera regla que deseamos desarrollar es la regla para multiplicar dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales. Los siguientes ejemplos sugieren esta regla:
\ (
\ begin {alineado}
&\ begin {array} {c}
x^ {2}\ cdot x^ {4} =\ underbrackets {x x} _ {2}\ cdot\ underbrackets {x x x} _ {4} =\ underbrackets {x x x x x x} _ {6} =x^ {6}\\
2+4=6
\ end {array}\\ end
\ {alineado}
\)
\ (
a\ cdot a^ {2} =\ underbrackets {a} _ {1}\ cdot\ underbrackets {aa} _ {2} =\ underbrackets {a a a} _ {3} =a^ {3}\\
1 + 2 = 3
\)
Si \(x\) es un número real y \(n\) y \(m\) son números naturales,
\(x^nx^m = x^{n+m}\)
Para multiplicar dos cantidades exponenciales que tengan la misma base, sumar los exponentes. Tenga en cuenta que las cantidades exponenciales que se multiplican deben tener la misma base para que se aplique esta regla.
Conjunto de Muestras A
Encuentra los siguientes productos. Todos los exponentes son números naturales.
\(x^3 \cdot x^5 = x^{3+5} = x^8\)
\(a^6 \cdot a^14 = a^{6+14} = a^20\)
\(y^5 \cdot y = y^5 \cdot y^1 = y^{5+1} = y^6\)
\((x-2y)^8(x-2y)^5 = (x-2y)^{8+5} = (x-2y)^{13}\)
\(x^3y^4 \not = (xy)^{3+4}\)
Dado que las bases no son las mismas, no se aplica la regla del producto.
Conjunto de práctica A
Encuentra cada producto.
Problema de práctica \(\PageIndex{1}\)
\(x^2 \cdot x^5\)
- Contestar
-
\(x^{2+5} = x^7\)
Problema de práctica \(\PageIndex{2}\)
\(x^9 \cdot x^4\)
- Contestar
-
\(x^{9+4} = x^{13}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{3}\)
\(y^6 \cdot y^4\)
- Contestar
-
\(y^{6+4} = y^{10}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{4}\)
\(c^12 \cdot c^8\)
- Contestar
-
\(c^{12+8} = c^{20}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{5}\)
\((x+2)^3 \cdot (x+2)^5\)
- Contestar
-
\((x+2)^{3+5} = (x+2)^8\)
Conjunto de Muestras B
Podemos usar la primera regla de exponentes (y las otras que desarrollaremos) junto con las propiedades de los números reales.
\(2x^3 \cdot 7x^5 = 2 \cdot 7 \cdot x^{3+5} = 14x^8\)
Se utilizaron las propiedades conmutativas y asociativas de la mulitplicación. En la práctica, utilizamos estas propiedades “mentalmente” (como se indica en el dibujo de la caja). En realidad no escribimos el segundo paso.
\(4y^3 \cdot 6y^2 = 4 \cdot 6 \cdot y^{3+2} = 24y^5\)
\(9a^2b^6(8ab^42b^3) = 9 \cdot 8 \cdot 2a^{2+1}b^{6+4+3} = 144a^3b^{13}\)
\(5(a+6)^2 \cdot 3(a+6)^8 = 5 \cdot 3(a+6)^{2+8} = 15(a+6)^{10}\)
\(4x^3 \cdot 12 \cdot y^2 = 48x^3y^2\)
Set de práctica B
Realiza cada multiplicación en un solo paso.
Problema de práctica \(\PageIndex{6}\)
\(3x^5 \cdot 2x^2\)
- Contestar
-
\(6x^7\)
Problema de práctica \(\PageIndex{7}\)
\(6y^3 \cdot 3y^4\)
- Contestar
-
\(18y^7\)
Problema de práctica \(\PageIndex{8}\)
\(4a^3b^2 \cdot 9a^2b\)
- Contestar
-
\(36a^5b^3\)
Problema de práctica \(\PageIndex{9}\)
\(x^4 \cdot 4y^2 \cdot 2x^2 \cdot 7y^6\)
- Contestar
-
\(56x^6y^8\)
Problema de práctica \(\PageIndex{10}\)
\((x-y)^3 \cdot 4(x-y)^2\)
- Contestar
-
\(4(x-y)^5\)
Problema de práctica \(\PageIndex{11}\)
\(8x^4y^2xx^3y^5\)
- Contestar
-
\(8x^8y^7\)
Problema de práctica \(\PageIndex{12}\)
\(2aaa^3(ab^2a^3)b6ab^2\)
- Contestar
-
\(12a^{10}b^5\)
Problema de práctica \(\PageIndex{13}\)
\(a^n \cdot a^m \cdot a^r\)
- Contestar
-
\(a^{n+m+r}\)
La regla del cociente para los exponentes
La segunda regla que deseamos desarrollar es la regla para dividir dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales.
Los siguientes ejemplos sugieren una regla para dividir dos cantidades exponenciales que tengan la misma base y exponentes numéricos naturales.
\ (
\ dfrac {x^ {5}} {x^ {2}} =\ dfrac {x x x x} {x x} =\ dfrac {\ cancel {(x x)} x x x} {\ cancelar {(x x)}} =x x x=x^ {3}. \ text {Observe que} 5-2=3
\)
\ (
\ dfrac {a^8} {a^3} =\ dfrac {aaaaaaaa} {aaa} =\ dfrac {(\ cancel {aaa}) aaaaa} {(\ cancel {aaa})} = aaaaa = a^5. \ text {Observe que} 8-3=5
\)
Si \(x\) es un número real y \(n\) y \(m\) son números naturales,
\(\dfrac{x^n}{x^m} = x^{n-m}, x \not = 0.\)
Conjunto de Muestras C
Encuentra los siguientes cocientes. Todos los exponentes son números naturales.
\(\dfrac{x^5}{x^2} = x^{5-2} = x^3\)
\(\dfrac{27a^3b^6c^2}{3a^2bc} = 9a^{3-2}b^{6-1}c^{2-1} = 9ab^5c\)
\(\dfrac{15x^{□}}{3x^{△}} = 5x^{□-△}\)
Las bases son las mismas, por lo que restamos los exponentes. Aunque no sabemos exactamente qué es, la notación, indica la resta.
Set de práctica C
Encuentra cada cociente
Problema de práctica \(\PageIndex{14}\)
\(\dfrac{y^9}{y^5}\)
- Contestar
-
\(y^4\)
Problema de práctica \(\PageIndex{15}\)
\(\dfrac{a^7}{a}\)
- Contestar
-
\(a^6\)
Problema de práctica \(\PageIndex{16}\)
\(\dfrac{(x+6)^5}{(x+6)^3}\)
- Contestar
-
\((x+6)^2\)
Problema de práctica \(\PageIndex{17}\)
\(\dfrac{26x^4y^6z^2}{13x^2y^2z}\)
- Contestar
-
\(2x^2y^4z\)
Cuando hacemos la resta \(n-m\) , en la división \(\dfrac{x^n}{x^m}\) , hay tres posibilidades para los valores de los exponentes:
El exponente del numerador es mayor que el exponente del denominador, es decir, \(n > m\) . Así, el exponente, \(n-m\) , es un número natural.
Los exponentes son los mismos, es decir, \(n = m\) . Así, el exponente, \(n - m\) , es cero, un número entero.
El exponente del denominador es mayor que el exponente del numerador, es decir, \(n < m\) . Así, el exponente, \(n - m\) , es un entero.
Cero como exponente
En el Conjunto de Muestras C, los exponentes de los numeradores fueron mayores que los exponentes de los denominadores. Estudiemos el caso cuando los exponentes son los mismos.
Cuando los exponentes son iguales, digamos \(n\) , la resta \(n-n\) produce \(0\) .
Así, por la segunda regla de exponentes, \(\dfrac{x^n}{x^n} = x^{n-n} = x^0\)
Pero, ¿qué número real, si lo hay, \(x^0\) representa? Pensemos por un momento en nuestra experiencia con la división en aritmética. Sabemos que cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo es uno.
\(\dfrac{8}{8} = 1\) , \(\dfrac{43}{43} = 1\) , \(\dfrac{258}{258} = 1\)
Ya que la letra \(x\) representa algún número real distinto de cero dividido por sí misma. Entonces \(\dfrac{x^n}{x^n} = 1\) .
Pero también hemos establecido que si \(x \not = 0\) , \(\dfrac{x^n}{x^n} = x^0\) . Ahora tenemos eso \(\dfrac{x^n}{x^n} = x^0\) y \(\dfrac{x^n}{x^n} = 1\) . Esto implica que \(x^0 = 1\) , \(x \not = 0\) .
Los exponentes ahora pueden ser números naturales y cero. Hemos ampliado nuestra colección de números que pueden ser utilizados como exponentes desde la colección de números naturales hasta la colección de números enteros.
Cero como exponente
Si \(x \not = 0\) , \(x^0 = 1\)
Cualquier número, que no sea \(0\) , elevado al poder de \(0\) , es \(1\) . \(0^0\) no tiene sentido (no representa un número).
Conjunto de Muestras D
Encuentra cada valor. Supongamos que la base no es cero.
\(6^0 = 1\)
\(246^0 = 1\)
\((2a+5)^0 = 1\)
\(4y^0 = 4 \cdot 1 = 4\)
\(\dfrac{y^6}{y^6} = y^0 = 1\)
\(\dfrac{2x^2}{x^2} = 2x^0 = 2 \cdot 1 = 2\)
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {5 (x+4) ^ {8} (x-1) ^ {5}} {5} {5 (x+4) ^ {3} (x-1) ^ {5}} & =( x+4) ^ {8-3} (x-1) ^ {5-5}\
& =( x+4) ^ {5} (x-1) ^ {0}\\
& =( x+4) ^ {5}
\ final {alineado}
\)
Set de Práctica D
Encuentra cada valor. Supongamos que la base no es cero.
Problema de práctica \(\PageIndex{18}\)
\(\dfrac{y^7}{y^3}\)
- Contestar
-
\(y^{7-3} = y^4\)
Problema de práctica \(\PageIndex{19}\)
\(\dfrac{6x^4}{2x^3}\)
- Contestar
-
\(3x^{4-3} = 3x\)
Problema de práctica \(\PageIndex{20}\)
\(\dfrac{14a^7}{7a^2}\)
- Contestar
-
\(2a^{7-2} = 2a^5\)
Problema de práctica \(\PageIndex{21}\)
\(\dfrac{26x^2y^5}{4xy^2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{13}{2}xy^3\)
Problema de práctica \(\PageIndex{22}\)
\(\dfrac{36a^4b^3c^8}{8ab^3c^6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{9}{2}a^3c^2\)
Problema de práctica \(\PageIndex{23}\)
\(\dfrac{51(a-4)^3}{17(a-4)}\)
- Contestar
-
\(3(a-4)^2\)
Problema de práctica \(\PageIndex{24}\)
\(\dfrac{52a^7b^3(a+b)^8}{26a^2b(a+b)^8}\)
- Contestar
-
\(2a^5b^2\)
Problema de práctica \(\PageIndex{25}\)
\(\dfrac{a^n}{a^3}\)
- Contestar
-
\(a^{n-3}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{26}\)
\(\dfrac{14x^ry^pz^q}{2x^ry^hz^5}\)
- Contestar
-
\(7y^{p-h}z^{q-5}\)
Ejercicios
Utilice la regla de producto y la regla de cociente de exponentes para simplificar los siguientes problemas. Supongamos que todas las bases son diferentes de cero y que todos los exponentes son números enteros.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(3^2 \cdot 3^3\)
- Contestar
-
\(3^5 = 243\)
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(5^2 \cdot 5^4\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(9^0 \cdot 9^2\)
- Contestar
-
\(9^2 = 81\)
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(7^3 \cdot 7^0\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(2^4 \cdot 2^5\)
- Contestar
-
\(2^9 = 512\)
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(x^5x^4\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\(x^2x^3\)
- Contestar
-
\(x^5\)
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(a^9a^7\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
\(y^5y^7\)
- Contestar
-
\(y^12\)
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
\(m^{10}m^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(k^8k^3\)
- Contestar
-
\(k^{11}\)
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(y^3y^4y^6\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(3x^2 \cdot 2x^5\)
- Contestar
-
\(6x^7\)
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(a^2a^3a^8\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(4y^4 \cdot 5y^6\)
- Contestar
-
\(20y^{10}\)
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(2a^3b^2 \cdot 3ab\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(12xy^3z^2 \cdot 4x^2y^2z \cdot 3x\)
- Contestar
-
\(144x^4y^5z^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\((3ab)(2a^2b)\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\((4x^2)(8xy^3)\)
- Contestar
-
\(32x^3y^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\((2xy)(3y)(4x^2y^5)\)
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\((\dfrac{1}{4}a^2b^4)(\dfrac{1}{2}b^4)\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{8}a^2b^8\)
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\((\dfrac{3}{8})(\dfrac{16}{21}x^2y^3)(x^3y^2)\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(\dfrac{8^5}{8^3}\)
- Contestar
-
\(8^2 = 64\)
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(\dfrac{6^4}{6^3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(\dfrac{2^9}{2^4}\)
- Contestar
-
\(2^5 = 32\)
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\(\dfrac{4^{16}}{4^{13}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\(\dfrac{x^5}{x^3}\)
- Contestar
-
\(x^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\(\dfrac{y^4}{y^3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\(\dfrac{y^9}{y^4}\)
- Contestar
-
\(y^5\)
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(\dfrac{k^{16}}{k^{13}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
\(\dfrac{x^4}{x^2}\)
- Contestar
-
\(x^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(\dfrac{y^5}{y^2}\)
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
\(\dfrac{m^{16}}{m^9}\)
- Contestar
-
\(m^7\)
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
\(\dfrac{a^9b^6}{a^5b^2}\)
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
\(\dfrac{y^3w^{10}}{yw^5}\)
- Contestar
-
\(y^2w^5\)
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
\(\dfrac{m^{17}n^{12}}{m^{16}n^{10}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
\(\dfrac{x^5y^7}{x^3y^4}\)
- Contestar
-
\(x^2y^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
\(\dfrac{15x^{20}y^{24}z^4}{5x^{19}yz}\)
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
\(\dfrac{e^{11}}{e^{11}}\)
- Contestar
-
\(e^0 = 1\)
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
\(\dfrac{6r^4}{6r^4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
\(\dfrac{x^0}{x^0}\)
- Contestar
-
\(x^0 = 1\)
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
\(\dfrac{a^0b^0}{c^0}\)
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\(\dfrac{8a^4b^0}{4a^3}\)
- Contestar
-
\(2a\)
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
\(\dfrac{24x^4y^4z^0w^8}{9xyw^7}\)
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
\(t^2(y^4)\)
- Contestar
-
\(t^2y^4\)
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
\(x^3(\dfrac{x^6}{x^3})\)
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
\(a^4b^6(\dfrac{a^{10}b^{16}}{a^5b^7})\)
- Contestar
-
\(a^9b^{15}\)
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
\(3a^2b^3(\dfrac{14a^2b^5}{2b})\)
Ejercicio \(\PageIndex{49}\)
\(\dfrac{(x+3y)^{11}(2x-1)^4}{(x+3y)^3(2x-1)}\)
- Contestar
-
\((x+3y)^8(2x-1)^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{50}\)
\(\dfrac{40 x^{5} z^{10}\left(z-x^{4}\right)^{12}(x+z)^{2}}{10 z^{7}\left(z-x^{4}\right)^{5}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{51}\)
\(x^nx^r\)
- Contestar
-
\(x^{n+r}\)
Ejercicio \(\PageIndex{52}\)
\(a^xb^yz^{5z}\)
Ejercicio \(\PageIndex{53}\)
\(x^n \cdot x^{n+3}\)
- Contestar
-
\(x^{2n+3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{54}\)
\(\dfrac{x^{n+3}}{x^n}\)
Ejercicio \(\PageIndex{55}\)
\(\dfrac{x^{n+2}x^3}{x^4x^n}\)
- Contestar
-
\(x\)
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{56}\)
¿Qué números naturales pueden reemplazar \(x\) para que la afirmación \(-5 < x \le 3\) sea verdadera?
Ejercicio \(\PageIndex{57}\)
Utilice la propiedad distributiva para expandir \(4x(2a + 3b)\)
- Contestar
-
\(8ax + 12bx\)
Ejercicio \(\PageIndex{58}\)
\(xxxyyyy(a+b)(a+b)\) Exprese usando exponentes.
Ejercicio \(\PageIndex{59}\)
Encuentra el valor de \(4^2 + 3^2 \cdot 2^3 - 10 \cdot 8\)
- Contestar
-
\(8\)
Ejercicio \(\PageIndex{60}\)
Encuentra el valor de \(\dfrac{4^2+(3+2)^2-1}{2^3 \cdot 5} + \dfrac{2^4(3^2-2^3+}{4^2}\) .