16.7: Las reglas de poder para exponentes
Visión general
- La regla del poder para los poderes
- La regla de poder para los productos
- La regla del poder para los cocientes
La regla del poder para los poderes
Los siguientes ejemplos sugieren una regla para elevar un poder a un poder:
\((a^2)^3 = a^2 \cdot a^2 \cdot a^2\)
Usando la regla del producto obtenemos:
\((a^2)^3 = a^{2+2+2}\)
\((a^2)^3 = a^{3 \cdot 2}\)
\((a^2)^3 = a^6\)
\((x^9)^4 = x^9 \cdot x^9 \cdot x^9 \cdot x^9\)
\((x^9)^4 = x^{9+9+9+9}\)
\((x^9)^4 = x^{4 \cdot 9}\)
\((x^9)^4 = x^{36}\)
Si
\(x\)
es un número real y
\(n\)
y
\(m\)
son números naturales,
\((x^n)^m = x^{n \cdot m}\)
Para elevar una potencia a una potencia, multiplicar los exponentes.
Conjunto de Muestras A
Simplifica cada expresión usando la regla de poder para poderes. Todos los exponentes son números naturales.
\((x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}\)
\((y^5)^3 = y^{5 \cdot 3} = y^{15}\)
\((d^{20})^6 = d^{20 \cdot 6} = d^{120}\)
\((x^□)^△ = x^{□△}\)
Aunque no sabemos exactamente qué es el número, la notación, la notación, indica la multiplicación.
Conjunto de práctica A
Simplifica cada expresión usando la regla de poder para poderes.
Problema de práctica \(\PageIndex{1}\)
\((x^5)^4\)
- Contestar
-
\(x^{20}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{2}\)
\((y^7)^7\)
- Contestar
-
\(y^{49}\)
La regla de poder para los productos
Los siguientes ejemplos sugieren una regla para elevar un producto a una potencia:
\ (
\ begin {aligned}
& (a b) ^ {3} =a b\ cdot a b\ cdot a b\ text {Usa la propiedad conmutativa de la multiplicación.}\\
&\ begin {array} {l}
=a a a b b\\
=a^ {3} b^ {3}
\ end {array}
\ end {alineada}
\)
\ (
\ comenzar {alineado}
(x y) ^ {5} &=x y\ cdot x y\ cdot x y\ cdot x y\ cdot x y\\
&=x x x x\ cdot\ texto {yyyyy}\\
&=x^ {5} y^ {5}
\ end {alineado}
\)
\ (
\ begin {alineado}
(4 x y\ mathrm {z}) ^ {2} &=4 x y z\ cdot 4 x y z\
&=4\ cdot 4\ cdot x\ cdot x\ cdot y y\ cdot z z\\
&=16 x^ {2} y^ {2} z^ {2} z^ {2}
\ end {alineado}
\)
Si
\(x\)
y
\(y\)
son números reales son
\(n\)
es un número natural,
\((xy)^n = x^ny^n\)
Para elevar un producto a una potencia, aplique la regla del exponente a todos y cada uno de los factores
Conjunto de Muestras B
Hacer uso de cualquiera o ambas de la regla de poder para los productos y la regla de poder para los poderes para simplificar cada expresión.
\((ab)^7 = a^7b^7\)
\((axy)^4 = a^4x^4y^4\)
\((3ab)^2 = 3^2a^2b^2 = 9a^2b^2\)
¡No olvides aplicar el exponente a los 3!
\((2st)^5 = 2^5s^5t^5 = 32s^5t^5\)
\((ab^3)^2 = a^2(b^3)^2 = a^2b^6\)
Aquí usamos dos reglas. Primero, la regla de poder para los productos. Segundo, la regla del poder para los poderes.
\((7a^4b^2c^8)^2 = 7^2(a^4)^2(b^2)^2(c^8)^2 = 49a^8b^4c^{16}\)
Si \(6a^3c^7 \not = 0\) , entonces \((6a^3c^7)^0 = 1\) . Recordemos que \(x^0 = 1\) para \(x \not = 0\)
\([2(x+1)^4]^6 = 2^6(x+1)^{24} = 64(x+1)^{24}\)
Set de práctica B
Hacer uso de una o ambas reglas de poder para productos y la regla de poder para poderes para simplificar cada expresión.
Problema de práctica \(\PageIndex{3}\)
\((ax)^4\)
- Contestar
-
\(a^4x^4\)
Problema de práctica \(\PageIndex{4}\)
\((3bxy)^2\)
- Contestar
-
\(9b^2x^2y^2\)
Problema de práctica \(\PageIndex{5}\)
\([4t(s-5)]^3\)
- Contestar
-
\(64t^3(s-5)^3\)
Problema de práctica \(\PageIndex{6}\)
\((9x^3y^5)^2\)
- Contestar
-
\(81x^6y^{10}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{7}\)
\((1a^5b^8c^3d)^6\)
- Contestar
-
\(a^{30}b^{48}c^{18}d^6\)
Problema de práctica \(\PageIndex{8}\)
\([(a+8)(a+5)]^4\)
- Contestar
-
\((a+8)^4(a+5)^4\)
Problema de práctica \(\PageIndex{9}\)
\([(12c^4u^3(w-3)^2]^5\)
- Contestar
-
\(12^5c^{20}u^{15}(w-3)^{10}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{10}\)
\([10t^4y^7j^3d^2v^6n^4g^8(2-k)^{17}]^4\)
- Contestar
-
\(10^4t^{16}y^{28}j^{12}d^8v^{24}n^{16}g^{32}(2-k)^{68}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{11}\)
\((x^3x^5y^2y^6)^9\)
- Contestar
-
\((x^8y^8)^9 = x^{72}y^{72}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{12}\)
\((10^6 \cdot 10^{12} \cdot 10^5)^{10}\)
- Contestar
-
\(10^{230}\)
La regla del poder para los cocientes
El siguiente ejemplo sugiere una regla para elevar un cociente a un poder.
\((\dfrac{a}{b})^3 = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \cdot a \cdot a}{b \cdot b \cdot b} = \dfrac{a^3}{b^3}\)
Si \(x\) y \(y\) son números reales y \(n\) es un número natural,
\((\dfrac{x}{y})^n = \dfrac{x^n}{y^n}, y \not = 0\)
Para elevar un cociente a una potencia, distribuya el exponente tanto al numerador como al denominador.
Conjunto de Muestras C
Hacer uso de la regla de poder para cocientes, la regla de poder para productos, la regla de poder para poderes, o una combinación de estas reglas para simplificar cada expresión. Todos los exponentes son números naturales.
\((\dfrac{x}{y})^6 = \dfrac{x^6}{y^6}\)
\((\dfrac{a}{c})^2 = \dfrac{a^2}{c^2}\)
\((\dfrac{2x}{b})^4 = \dfrac{(2x)^4}{b^4} = \dfrac{2^4x^4}{b^4} = \dfrac{16x^4}{b^4}\)
\((\dfrac{a^3}{b^5})^7 = \dfrac{(a^3)^7}{(b^5)^7} = \dfrac{a^21}{b^35}\)
\((\dfrac{3c^4r^2}{2^3g^5})^3 = \dfrac{3^3c^12r^6}{2^9g^{15}} = \dfrac{27c^{12}r^6}{2^9g^{15}} \text {or} \dfrac{27c^{12}r^6}{512g^15}\)
\([\dfrac{(a-2)}{(a+7)}]^4 = \dfrac{(a-2)^4}{(a+7)^4}\)
\([\dfrac{6x(4-x)^4}{2a(y-4)^6}]^2 = \dfrac{6^2x^2(4-x)^8}{2^2a^2(y-4)^{12}} = \dfrac{36x^2(4-x)^8}{4a^2(y-4)^{12}} = \dfrac{9x^2(4-x)^8}{a^2(y-4)^{12}}\)
\ (
\ izquierda (\ dfrac {a^ {3} b^ {5}} {a^ {2} b}\ derecha) ^ {3} =\ izquierda (a^ {3-2} b^ {5-1}\ derecha) ^ {3}
\)
Podemos simplificar entre paréntesis. Tenemos una regla que nos dice que procedamos de esta manera
\ (
=\ izquierda (a b^ {4}\ derecha) ^ {3}
=a^ {3} b^ {12}
\ izquierda (\ dfrac {a^ {3} b^ {5}} {a^ {2} b}\ derecha) ^ {3} =\ dfrac {a^ {9} b^ {15}} {a^ {6} b^ {3} =a^ {9-6} b^ {15-3} =a^ {3} b^ {12}
\)
Podríamos haber usado primero la regla de poder para cocientes.
Distribuye el exponente, luego simplifica usando las otras reglas.
Probablemente sea mejor, en aras de la consistencia, trabajar primero dentro de los paréntesis.
\((\dfrac{a^rb^s}{s^t})^w = \dfrac{a^{rw}b^{sw}}{c^{tw}}\)
Set de práctica C
Hacer uso de la regla de poder para cocientes, la regla de poder para productos, la regla de poder para poderes, o una combinación de estas reglas para simplificar cada expresión.
Problema de práctica \(\PageIndex{13}\)
\((\dfrac{a}{c})^5\)
- Contestar
-
\(\dfrac{a^5}{c^5}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{14}\)
\((\dfrac{2x}{3y})^3\)
- Contestar
-
\(\dfrac{8x^3}{27y^3}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{15}\)
\((\dfrac{x^2y^4z^7}{a^5b})^9\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x^{18}y^{36}z^{63}}{a^{45}b^9}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{16}\)
\([\dfrac{2a^4(b-1)}{3b^3(c+6)}]^4\)
- Contestar
-
\(\dfrac{16a^{16}(b-1)^4}{81b^{12}(c+6)^4}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{17}\)
\((\dfrac{8a^3b^2c^6}{4a^2b})^3\)
- Contestar
-
\(8a^3b^3c^{18}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{18}\)
\([\dfrac{(9+w)^2}{(3+w)^5}]^{10}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(9+w)^{20}}{(3+w)^{50}}\)
Problema de práctica \(\PageIndex{19}\)
\([\dfrac{5x^4(y+1)}{5x^4(y+1)}]^6\)
- Contestar
-
\(1\) , si \(x^4(y+1) \not = 0\)
Problema de práctica \(\PageIndex{20}\)
\((\dfrac{16x^3v^4c^7}{12x^2vc^6})^0\)
- Contestar
-
\(1\) , si \(x^2vc^6 \not = 0\)
Ejercicios
Utilice las reglas de potencia para exponentes para simplificar los siguientes problemas. Supongamos que todas las bases son distintas de cero y que todos los exponentes variables son números naturales.
\((ac)^5\)
- Contestar
-
\(a^5c^5\)
\((nm)^7\)
\((2a)^3\)
- Contestar
-
\(8a^3\)
\((2a)^5\)
\((3xy)^4\)
- Contestar
-
\(81x^4y^4\)
\((2xy)^5\)
\((3ab)^4\)
- Contestar
-
\(81a^4b^4\)
\((6mn)^2\)
\((7y^3)^2\)
- Contestar
-
\(49y^6\)
\((3m^3)^4\)
\((5x^6)^3\)
\((10a^2b)^2\)
- Contestar
-
\(100a^4b^2\)
\((8x^2y^3)^2\)
\((x^2y^3z^5)^4\)
- Contestar
-
\(x^8y^{12}z^{20}\)
\((2a^5b^{11})^0\)
\((x^3y^2z^4)^5\)
- Contestar
-
\(x^{15}y^{10}z^{20}\)
\((m^6n^2p^5)^5\)
\((a^4b^7c^6d^8)^8\)
- Contestar
-
\(a^{32}b^{56}c^{48}d^{64}\)
\((x^2y^3z^9w^7)^3\)
\((9xy^3)^0\)
- Contestar
-
\(1\)
\((\dfrac{1}{2}f^2r^6s^5)^4\)
\((\dfrac{1}{8}c^{10}d^8e^4f^9)^2\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{64}c^{20}d^{16}e^{8}f^{18}\)
\((\dfrac{3}{5}a^3b^5c^{10})^3\)
\((xy)^4(x^2y^4)\)
- Contestar
-
\(x^6y^8\)
\((2a^2)^4(3a^5)^2\)
\((a^2b^3)^3(a^3b^3)^4\)
- Contestar
-
\(a^{18}b^{21}\)
\((h^3k^5)^2(h^2k^4)^3\)
\((x^4y^3z)^4(x^5yz^2)^2\)
- Contestar
-
\(x^{26}y^{14}z^8\)
\((ab^3c^2)^5(a^2b^2c)^2\)
\(\dfrac{(6a^2b^8)^2}{(3ab^5)^2}\)
- Contestar
-
\(4a^2b^6\)
\(\dfrac{(a^3b^4)^5}{(a^4b^4)^3}\)
\(\dfrac{(x^6y^5)^3}{(x^2y^3)^5}\)
- Contestar
-
\(x^8\)
\(\dfrac{(a^8b^{10})^3}{(a^7b^5)^3}\)
\(\dfrac{(m^5n^6p^4)^4}{(m^4n^5p)^4}\)
- Contestar
-
\(m^4n^4p^{12}\)
\(\dfrac{(x^8y^3z^2)^5}{(x^6yz)^6}\)
\(\dfrac{(10x^4y^5z^{11})^3}{(xy^2)^4}\)
- Contestar
-
\(100x^8y^7z^{33}\)
\(\dfrac{(9a^4b^5)(2b^2c)}{(3a^3b)(6bc)}\)
\(\dfrac{(2x^3y^3)^4(5x^6y^8)^2}{(4x^5y^3)^2}\)
- Contestar
-
\(25x^{14}y^{22}\)
\((\dfrac{3x}{5y})^2\)
\((\dfrac{3ab}{4xy})^3\)
- Contestar
-
\(\dfrac{27a^3b^3}{64x^3y^3}\)
\((\dfrac{x^2y^2}{2z^3})^5\)
\((\dfrac{3a^2b^3}{c^4})^3\)
- Contestar
-
\(\dfrac{27a^6b^9}{c^{12}}\)
\((\dfrac{4^2a^3b^7}{b^5c^4})^2\)
\([\dfrac{x^2(y-1)^3}{(x+6)}]^4\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x^8(y-1)^{12}}{(x+6)^4}\)
\((x^nt^{2m})^4\)
\(\dfrac{(x^{n+2})^3}{x^{2n}}\)
- Contestar
-
\(x^{n+6}\)
\((xy)^△\)
\(\dfrac{4^3a^Δa^□}{4a^∇}\)
\((\dfrac{4x^Δ}{2y^∇})^□\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2^□x^{Δ□}}{y^{∇□}}\)