18.2: Expresiones algebraicas
Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es un número, una letra o una colección de números y letras junto con signos significativos de operación.
Las expresiones algebraicas a menudo se denominan simplemente expresiones , como en los siguientes ejemplos:
\(x + 4\) es una expresión
\(7y\) es una expresión
\(\dfrac{x-3x^2y}{7+9x}\) es una expresión.
El número \(8\) es una expresión. \(8\) se puede escribir con signos explícitos de operación escribiéndolo como \(8 + 0\) o \(8 \cdot 1\) .
\(3x^2 + 6 = 4x - 1\) no es una expresión, es una ecuación . Estudiaremos ecuaciones en la siguiente sección.
Términos y Factores
En una expresión algebraica, las cantidades unidas por signos \(+\) "" se llaman términos.
En algunas expresiones aparecerá que los términos están unidos por " \(-\) " signos. Debemos tener en cuenta que la resta es suma de lo negativo, es decir \(a - b = a + (-b)\) .
Un concepto importante que todos los estudiantes de álgebra deben conocer es la diferencia entre términos y factores .
Factores
Cualquier número o símbolo que se multiplique entre sí son factores de su producto.
Los términos son partes de
sumas
y, por lo tanto, se unen por signos de suma (o resta).
Los factores son partes de los
productos
y por lo tanto se unen por signos de multiplicación.
Conjunto de Muestras A
Identificar los términos en las siguientes expresiones.
\(3x^4 + 6x^2 + 5x + 8\)
La expresión tiene cuatro términos: \(3x^4, 6x^2, 5x, 8\) .
\(15y^8\)
En esta expresión sólo hay un término. El término es \(15y^8\) .
\(14x^5y + (a+3)^2\) .
En esta expresión hay dos términos: los términos son \(14x^5y\) y \((a+3)^2\) . Observe que el término en sí \((a+3)^2\) está compuesto por dos factores similares, cada uno de los cuales está compuesto por los dos términos, \(a\) y \(3\) .
\(m^3 - 3\)
Usando nuestra definición de resta, esta expresión se puede escribir en la forma \(m^3+(−3)\) . Ahora podemos ver que los términos son \(m^3\) y \(−3\) .
En lugar de reescribir la expresión cuando ocurre una resta, podemos identificar términos más rápidamente asociando el \(−\) signo \(+\) o con la cantidad individual.
\(p^4-7p^3-2p-11\) .
Asociando el signo con las cantidades individuales vemos que los términos de esta expresión son \(p^4\) , \(−7p^3\) , \(−2p\) , y \(−11\) .
Conjunto de práctica A
Digámoslo otra vez. La diferencia entre términos y factores es que los términos se unen por signos y los factores se unen por signos.
- Responder
-
suma, multiplicación
\(4x^2 - 8x + 7\)
- Responder
-
\(4x^2, -8x, 7\)
\(2xy + 6x^2 + (x-y)^4\)
- Responder
-
\(2xy, 6x^2, (x-y)^4\)
\(5x^2 + 3x - 3xy^7 + (x-y)(x^3-6)\)
- Responder
-
\(5x^2, 3x, -3xy^7, (x-y)(x^3-6)\)
Conjunto de Muestras B
Identificar los factores en cada término.
\(9a^2 - 6a - 12\) contiene tres términos. Algunos de los factores en cada término son
primer término: \(9\) y \(a^2\) , o \(9\) y \(a\) y \(a\)
segundo término: \(-6\) y \(a\)
tercer término: \(−12\) y \(1\) , o, \(12\) y \(−1\)
\(14x^5y + (a+3)^2\) contiene dos términos. Algunos de los factores de estos términos son
primer término: \(14, x^5, y\)
segundo término: \((a+3)\) y \((a+3)\)
Set de práctica B
En la expresión \(8x^2 - 5x + 6\) , enumere los factores de:
primer término:
segundo término:
tercer término:
- Responder
-
\(8, x, x\)
\(-5, x\)
\(6 \text{ and } 1\) o \(3 \text { and } 2\)
En la expresión \(10 + 2(b + 6)(b-18)^2\) , enumere los factores de:
primer término:
segundo término:
tercer término:
- Responder
-
\(10 \text{ and } 1\) o \(5 \text{ and } 2\)
\(2, b+6, b−18, b−18\)
Factores Comunes
Factores Comunes
En ocasiones, cuando observamos cuidadosamente una expresión, notaremos que algún factor particular aparece en cada término. Cuando observamos esto, decimos que estamos observando factores comunes . Utilizamos la frase factores comunes ya que el factor particular que observamos es común a todos los términos de la expresión. El factor aparece en todos y cada uno de los términos en la expresión.
Conjunto de Muestras C
Nombrar los factores comunes en cada expresión.
\(5x^3 - 7x^3 + 14x^3\)
El factor x^3 aparece en todos y cada uno de los términos. La expresión x^3 es un factor común.
\(4x^2 + 7x\)
El factor \(x\) aparece en cada término. El término \(4x^2\) es en realidad \(4xx\) . Así, \(x\) es un factor común.
\(12xy^2 - 9xy + 15\)
El único factor común a los tres términos es el número 3. (Observe que \(12=3\cdot4, 9=3\cdot3, 15=3\cdot5\) .
\(3(x+5) - 8(x+5)\) .
El factor \((x+5)\) aparece en cada término. Entonces, \((x+5)\) es un factor común.
\(45x^3(x-7)^2 + 15x^2(x-7) - 20x^2(x-7)^5\) .
El número \(5\) , el \(x^2\) , y el \((x-7)\) aparecen en cada término. También, \(5x^2(x-7)\) es también un factor (ya que cada una de las cantidades individuales se une por un signo de multiplicación). Así, \(5x^2(x-7)\) es un factor común.
\(10x^2+9x-4\)
No hay factor que aparezca en todos y cada uno de los términos. De ahí que no existan factores comunes en esta expresión.
Set de práctica C
Enumere, si aparece alguno, los factores comunes en las siguientes expresiones.
\(x^2 + 5x^2 - 9x^2\)
- Responder
-
\(x^2\)
\(4x^2 - 8x^3 + 16x^4 - 24x^5\)
- Responder
-
\(4x^2\)
\(4(a+1)^3 + 10(a+1)\)
- Responder
-
\(2(a+1)\)
\(9ab(a-8) - 15a(a-8)^2\)
- Responder
-
\(3a(a-8)\)
\(14a^2b^2c(c-7)(2c+5) + 28c(2c+5)\)
- Responder
-
\(14c(2c+5)\)
\(6(x^2-y^2) + 19x(x^2+y^2)\)
- Responder
-
No hay factor común.
Coeficientes
Coeficiente
En álgebra, como ahora sabemos, a menudo se usa una letra para representar alguna cantidad. Supongamos que representamos alguna cantidad por la letra \(x\) . La notación \(5x\) significa \(x+x+x+x+x\) . Ahora podemos ver que tenemos cinco de estas cantidades. En la expresión \(5x\) , el número \(5\) se llama el coeficiente numérico de la cantidad \(x\) . A menudo, el coeficiente numérico se llama simplemente el coeficiente. El coeficiente de una cantidad registra cuántas de esa cantidad hay.
Conjunto de Muestras D
\(12x\) significa que hay \(12x\) 's.
\(4ab\) significa que \(ab\) hay cuatro.
\(10(x-3)\) significa que \(x-3)\) hay diez.
\(1y\) significa que hay uno \(y\) . Normalmente escribimos solo \(y\) en lugar de \(1y\) ya que está claro solo estar buscando que solo hay uno \(y\) .
\(7a^3\) significa que \(a^3\) hay siete.
\(5ax\) significa que \(ax\) hay cinco. También podría significar que \(5ax\) hay. Este ejemplo nos muestra que es importante para nosotros tener muy claro en qué cantidad estamos trabajando. Cuando veamos la expresión 5ax debemos preguntarnos “¿Estamos trabajando con la cantidad \(ax\) o la cantidad \(x\) ?”.
\(6x^2y^9\) significa que \(x^2y^9\) hay seis. También podría significar que \(6x^2y^9\) hay. Incluso podría significar que \(6y^9x^2\) hay.
\(5x^3(y-7)\) significa que \(x^3(y-7)\) hay cinco. También podría significar que \(5x^3(x-7)\) hay. También podría significar que \(5(x-7)x^3\) hay.
Set de Práctica D
¿Qué nos dice el coeficiente de una cantidad?
La Diferencia Entre Coeficientes y Exponentes Es importante tener en cuenta la diferencia entre coeficientes y exponentes.
Los coeficientes registran el número de términos similares en una expresión algebraica.
\(\underbrace{x+x+x+x}_{\text {4 terms }}=\underbrace{4 x}_{\text {coefficient is } 4}\)
Los exponentes registran el número de factores similares en un término.
\(\underbrace{x \cdot x \cdot x \cdot x}_{\text {4 factors }}=\underbrace{x^{4}}_{\text { exponent is } 4}\)
En un término, el coeficiente de un grupo particular de factores es el grupo restante de factores.
- Responder
-
Cuantas de esa cantidad hay.
Juego de Muestras E
\(3x\)
El coeficiente de \(x\) es \(3\) .
\(6a^3\)
El coeficiente de \(a^3\) es \(6\) .
\(9(4-a)\)
El coeficiente de \((4-a)\) es \(9\) .
\(\dfrac{3}{8}xy^4\) .
El coeficiente de \(xy^4\) es \(\dfrac{3}{8}\)
\(3x^2y\) .
El coeficiente de \(x^2y\) es \(3\) ; el coeficiente de \(y\) es \(3x^2\) ; y el coeficiente de \(3\) es \(x^2y\) .
\(4(x+y)^2\) .
El coeficiente de \((x+y)^2\) es \(4\) ; el coeficiente de \(4\) es \((x+y)^2\) ; y el coeficiente de \((x+y)\) es \(4(x+y)\) ya se \(4(x+y)^2\) puede escribir como \(4(x+y)(x+y)\) .
Set de práctica E
Determinar los coeficientes.
En el término
\(6x^3\)
, el coeficiente de:
(a) \(x^3\) es.
b) \(6\) es.
- Responder
-
(a) \(6\)
b) \(x^3\)
En el término \(3x(y-1)\) , el coeficiente de
(a) \(x(y-1)\) es.
b) \((y-1)\) es.
(c) \(3(y-1)\) es.
d) \(x\) es.
(e) \(3\) es.
f) El coeficiente numérico es.
- Responder
-
(a) \(3\)
b) \(3x\)
c) \(x\)
(d) \(3(y-1)\)
e) \(x(y-1)\)
f) \(3\)
En el término \(10ab^4\) , el coeficiente de
(a) \(ab^4\) es.
b) \(b^4\) es.
(c) \(a\) es.
d) \(10\) es.
(e) \(10ab^3\) es.
- Responder
-
a) \(10\)
b) \(10a\)
c) \(10b^4\)
d) \(ab^4\)
e) \(b\)
Ejercicios
Para las expresiones en los siguientes problemas, escriba el número de términos que aparecen y luego enumere los términos.
¿Qué es una expresión algebraica?
- Responder
-
Una expresión algebraica es un número, una letra o una colección de números y letras junto con signos significativos de operación.
¿Por qué se considera que el número 14 es una expresión?
¿Por qué se \(x\) considera que el número es una expresión?
- Responder
-
\(x\) es una expresión porque es una letra (ver la definición).
Para los siguientes problemas, enumere, en caso de que aparezca alguno, los factores comunes en las expresiones.
\(2x+1\)
\(6x-10\)
- Responder
-
dos
\(6x\) , \(-10\)
\(2x^3+x-15\)
\(5x^2+6x-2\)
- Responder
-
tres
\(5x^2, 6x, -2\)
\(3x\)
\(5cz\)
- Responder
-
uno
\(5cz\)
\(2\)
\(61\)
- Responder
-
uno
\(61\)
\(x\)
\(4y^3\)
- Responder
-
uno
\(4y^3\)
\(17ab^2\)
\(a+1\)
- Responder
-
dos
\(a, 1\)
\((a+1)\)
\(2x + x + 7\)
- Responder
-
tres
\(2x, x, 7\)
\(2x + (x+7)\)
\((a+1) + (a-1)\)
- Responder
-
dos
\((a+b), (a-1)\)
\(a + 1 + (a-1)\)
Para los siguientes problemas, enumere, en caso de que aparezca alguno, los factores comunes en las expresiones.
\(x^2 + 5x^2 - 2x^2\)
- Responder
-
\(x^2\)
\(11y^3 - 33y^3\)
\(45ab^2 + 9b^2\)
- Responder
-
\(9b^2\)
\(6x^2y^3 + 18x^2\)
\(2(a+b) - 3(a+b)\)
- Responder
-
\((a+b)\)
\(14ab^2c^2(c+8) + 12ab^2c^2\)
- Responder
-
\(2ab^2c^2\)
\(4x^2y + 5a^2b\)
\(9a(a-3)^2 + 10b(a-3)\)
- Responder
-
\((a-3)\)
\(15x^2 - 30xy^2\)
\(12a^3b^2c - 7(b+1)(c-a)\)
- Responder
-
no hay factores comunes
\(0.06ab^2 + 0.03a\)
\(5.2(a+7)^2+17.1(a+7)\)
- Responder
-
\((a+7)\)
\(\dfrac{3}{4}x^2y^2z^2 + \dfrac{3}{8}x^2z^2\)
\(\dfrac{9}{16}(a^2-b^2) + \dfrac{9}{32}(b^2-a^2)\)
- Responder
-
\(\dfrac{9}{32}\)
Para los siguientes problemas, tenga en cuenta cuántos:
\(a\) está en \(4a\) ?
\(z\) está en \(12z\) ?
- Responder
-
\(12\)
\(x^2\) está en \(5x^2\) ?
\(y^3\) está en \(6y^3\) ?
- Responder
-
\(6\)
\(xy\) está en \(9xy\) ?
\(a^2b\) está en \(10a^2b\) ?
- Responder
-
\(10\)
\((a+1)\) está en \(4(a+1)\) ?
\((9+y)\) está en \(8(9+y)\) ?
- Responder
-
\(8\)
\(y^2\) está en \(3x^3y^2\) ?
\(12x\) está en \(12x^2y^5\) ?
- Responder
-
\(xy^5\)
\((a+5)\) está en \(2(a+5)\) ?
\((x-y)\) está en \(5x(x-y)\) ?
- Responder
-
\(5x\)
\((x+1)\) está en \(8(x+1)\) ?
\(2\) está en \(2x^2(x-7)\) ?
- Contestar
-
\(x^2(x-7)\)
\(3(a+8)\) está en \(6x^2(a+8)^3(a-8)\) ?
Para los siguientes problemas, se dará un término seguido de un grupo de sus factores. Enumere el coeficiente del grupo de factores dado.
\(7y; y\)
- Contestar
-
\(7\)
\(10x; x\)
\(5a; 5\)
- Contestar
-
\(a\)
\(12a^2b^3c^2r^7; a^2c^2r^7\)
\(6x^2b^2(c-1); c-1\)
- Contestar
-
\(6x^2b^2\)
\(10x(x+7)^2; 10(x+7)\)
\(9a^2b^5; 3ab^3\)
- Contestar
-
\(3ab\)
\(15x^4y^4(z+9a)^3; (z+9a)\)
\((-4)a^6b^2; ab\)
- Contestar
-
\((-4)a^5b\)
\((-11a)(a+8)^3(a-1); (a+8)^2\)
Ejercicios para la revisión
Simplificar \([\dfrac{2x^8(x-1)^5}{x^4(x-1)^2}]^4\)
- Contestar
-
\(16x^{16}(x-1)^{12}\)
Suministrar la frase que falta. El valor absoluto habla de la cuestión de y no “de qué manera”.
Encuentra el valor de \(−[−6(−4−2)+7(−3+5)]\) .
- Contestar
-
\(-50\)
Encuentra el valor de \(\dfrac{2^5-4^2}{3^{-2}}\)
Expresar 0.0000152 utilizando notación científica.
- Contestar
-
\(1.52 \times 10^{-5}\)