18.6: Combinar polinomios usando multiplicación
Multiplicar un polinomio por un monomio
Multiplicar un polinomio por un monomio es una aplicación directa de la propiedad distributiva.
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva sugiere la siguiente regla.
Para multiplicar un polinomio por un monomio, multiplique cada término del polinomio por el monomio y luego sumar los productos resultantes juntos.
Conjunto de Muestras A
\ (\ comenzar {alineado}
3 (x+9) &=3\ cdot x+3\ cdot 9\\
&=3 x+27
\ final {alineado}\)
\ (\ comenzar {alineado}
6\ izquierda (x^ {3} -2 x\ derecha) =6\ izquierda (x^ {3} + (-2 x)\ derecha) &=6\ cdot x^ {3} +6 (-2 x)\\
&=6 x^ {3} -12 x
\ end {alineado}\)
\ (\ comenzar {alineado}
(x-7) x &=x\ cdot x+x (-7)\\
&=x^ {2} -7 x
\ final {alineado}\)
\ (\ begin {alineado}
8 a^ {2}\ izquierda (3 a^ {4} -5 a^ {3} +a\ derecha) &=8 a^ {2}\ cdot 3 a^ {4} +8 a^ {2}\ izquierda (-5 a^ {3}\ derecha) +8 a^ {2}\ cdot a\\
&=24 a^ {6} -40 a^ {5} +8 a^ {3}
\ final {alineado}\)
\ (\ begin {alineado}
4 x^ {2} y^ {7} z\ izquierda (x^ {6} y+8 y^ {2} z^ {2} z^ {2}\ derecha) &=4 x^ {2} y^ {7} z\ cdot x^ {5} y+4 x^ {2} y^ {7} z\ cdot 8 y^ {2} z^ {2}
&=4 x^ {7} y^ {8} z+32 x^ {2} y^ {9} z^ {3}
\ final {alineado}\)
\(10 a b^{2} c\left(125 a^{2}\right)=1250 a^{3} b^{2} c\)
\ (\ comenzar {alineado}
\ izquierda (9 x^ {2} z+4 w\ derecha)\ izquierda (5 z w^ {3}\ derecha) &=9 x^ {2} z\ cdot 5 z w^ {3} +4 w\ cdot 5 z w^ {3}\\
&=45 x^ {2} z^ {2} z^ {2} w^ {3} +20 z w^ {4}\\
&=45 x^ {2} w^ {3} z^ {2} +20 w^ {4} z
\ end {alineado}\)
Conjunto de práctica A
Determinar los siguientes productos.
\(3(x + 8)\)
- Contestar
-
\(3x+24\)
\((2+a)4\)
- Contestar
-
\(4a+8\)
\((a^2 - 2b + 6)2a\)
- Contestar
-
\(2a^3 - 4ab + 12a\)
\(8a^2b^3(2a + 7b + 3)\)
- Contestar
-
\(16a^3b^3 + 56a^2b^4 + 24a^2b^3\)
\(4x(2x^5 + 6x^4 - 8x^3 - x^2 + 9x - 11)\)
- Contestar
-
\(8x^6 + 24x^5 - 32x^4 - 4x^3 + 36x^2 - 44x\)
\((3a^2b)(2ab^2 + 4b^3)\)
- Contestar
-
\(6a^3b^3 + 12a^2b^4\)
\(5mn(m^2n^2 + m + n^0), n \not = 0\)
- Contestar
-
\(5m^3n^3 + 5m^2n + 5mn\)
\(6.03(2.11a^3 + 8.00a^2b)\)
- Contestar
-
\(12.7233a^3 + 48.24a^2b\)
Simplificando \(+(a+b)\) y \(−(a+b)\)
\(+(a+b)\) y \(−(a+b)\)
A menudo, encontraremos multiplicaciones de la forma
\(+1(a+b)\)
o
\(−1(a+b)\)
Estos términos aparecerán realmente como
\(+(a+b)\)
y
\(−(a+b)\)
Usando la propiedad distributiva, nosotros puede eliminar los paréntesis.
Se han eliminado los paréntesis y el signo de cada término se ha mantenido igual.
Se han eliminado los paréntesis y se ha cambiado el signo de cada término a su opuesto.
- Para eliminar un conjunto de paréntesis precedidos de un signo “+”, basta con quitar los paréntesis y dejar el signo de cada término igual.
- Para eliminar un conjunto de paréntesis precedidos de un signo “−”, elimine los paréntesis y cambie el signo de cada término a su signo opuesto.
Conjunto de Muestras B
Simplifica las expresiones.
\((6x−1)\)
.
Este conjunto de paréntesis va precedido de un signo “
\(+\)
” (implícito). Simplemente dejamos caer los paréntesis.
\((6x−1)=6x−1\)
\((14a^2 - 6a^3b^2 + ab^4) = 14a^2b^3 - 6a^3b^2 + ab^4\)
\(-(21a^2 + 7a - 18)\)
Este conjunto de paréntesis va precedido de un signo “ \(−\) ”. Podemos dejar los paréntesis siempre y cuando cambiemos el signo de cada término dentro de los paréntesis a su signo opuesto.
\(-(21a^2 + 7a - 18) = -21a^2 - 7a + 18\)
\(-(7y^3 - 2y^2 + 9y + 1) = -7y^3 + 2y^2 - 9y - 1\)
Set de práctica B
Simplifique quitando los paréntesis.
\((2a+3b)\)
- Contestar
-
\(2a + 3b\)
\((a^2 - 6a + 10)\)
- Contestar
-
\(a^2 - 6a + 10\)
\(−(x+2y)\)
- Contestar
-
\(−x−2y\)
\(−(5m−2n)\)
- Contestar
-
\(−5m+2n\)
\(-(-3s^2 - 7s + 9)\)
- Contestar
-
\(3s^2 + 7s - 9\)
Multiplicar un polinomio por un polinomio
Como podemos considerar una expresión encerrada entre paréntesis como una sola cantidad, tenemos, por la propiedad distributiva,
Para mayor comodidad, utilizaremos la propiedad conmutativa de suma para escribir esta expresión de manera que los dos primeros términos contengan a y los dos segundos contengan b.
\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)
Este método se llama comúnmente el método FOIL .
- F : Primeros Términos
- O : Términos externos
- I : Términos internos
- L : Ultimos Términos
\((a+b)(2+3)=\underbrace{(a+b)+(a+b)}_{2 \text { terms }}+\underbrace{(a+b)+(a+b)+(a+b)}_{3 \text { terms }}\)
Reorganizar,
\ (\ begin {array} {l}
=a+a+b+a+a+a+b+b+b\
= 2 a+2 b+3 a+3 b
\ end {array}\)
Combinando términos similares,
\ (\ begin {array} {l}
=5a + 5b
\ end {array}\)
Este uso de la propiedad distributiva sugiere la siguiente regla.
Para multiplicar dos polinomios juntos, multiplique cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio.
Conjunto de Muestras C
Realiza las siguientes multiplicaciones y simplifica.
Con algo de práctica, el segundo y tercer término se pueden combinar mentalmente.
\ (\ begin {alineado}
(m-3) ^ {2} &= (m-3) (m-3)\\
&=m\ cdot m+m (-3) -3\ cdot m-3 (-3)\\
&=m^ {2} -3 m-3 m+9\\
&=m^ {2} -6 m+9
\ final {alineado}\)
\ (\ begin {alineado}
(x+5) ^ {3} & =( x+5) (x+5) (x+5) (x+5) &\ text {Asociar los dos primeros factores.}\\
&= [(x+5) (x+5)] (x+5)\
&=\ left [x^ {2} +5 x+5 x+25\ right] (x+5)\
&=\ left [x^ {2} +10 x+25\ derecha] (x+5)\\
&=x^ {2}\ cdot x+x^ {2} \ cdot 5+10 x\ cdot x+10 x\ cdot 5+25\ cdot x+25\ cdot 5\\
&=x^ {3} +5 x^ {2} +10 x^ {2} +50 x+25 x+125\\
&=x^ {3} +15 x^ {2} +75 x+125
\ final {alineado}\)
Set de práctica C
Encuentra los siguientes productos y simplifica.
\((a+1)(a+4)\)
- Contestar
-
\(a^2 + 5a + 4\)
\((m−9)(m−2)\)
- Contestar
-
\(m^2 - 11m + 18\)
\((2x+4)(x+5)\)
- Contestar
-
\(2x^2 + 14x + 20\)
\((x+y)(2x−3y)\)
- Contestar
-
\(2x^2 - xy - 3y^2\)
\((3a^2 - 1)(5a^2 + a)\)
- Contestar
-
\(15a^4 + 3a^3 - 5a^2 - a\)
\((2x^2y^3 + xy^2)(5x^3y^2 + x^2y)\)
- Contestar
-
\(10x^5y^5 + 7x^4y^4 + x^3y^3\)
\((a+3)(a^2+3a+6)\)
- Contestar
-
\(a^3 + 6a^2 + 15a + 18\)
\((a+4)(a+4)\)
- Contestar
-
\(a^2 + 8a + 16\)
\((r−7)(r−7)\)
- Contestar
-
\(r^2 - 14r + 49\)
\((x+6)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 + 12x + 36\)
\((y-8)^2\)
- Contestar
-
\(y^2 - 16y + 64\)
Conjunto de Muestras D
Realizar las siguientes adiciones y restas.
\(3x+7+(x-3)\)
. Primero debemos quitar los paréntesis. Están precedidos de un signo
\(+\)
""”, así que los quitamos y dejamos el signo de cada término igual.
\(3x+7+x-3\)
Combina términos similares.
\(4x+4\)
\(5 y^{3}+11-\left(12 y^{3}-2\right)\)
. Primero eliminamos los paréntesis. Están precedidos por un signo "
\(-\)
"”, así que los quitamos y cambiamos el signo de cada término dentro de ellos.
\(5y^{3}+11-12 y^{3}+2\)
Combina términos similares.
\(-7y^{3}+13\)
Agregar \(4x^2 + 2x - 8\) a \(3x^2 - 7x - 10\)
\ (\ begin {array} {l}
\ izquierda (4 x^ {2} +2 x-8\ derecha) +\ izquierda (3 x^ {2} -7 x-10\ derecha)\\
4 x^ {2} +2 x-8+3 x^ {2} -7 x-10\\
7 x^ {2} -5 x-18
\ end {array}\)
Restar \(8x^2 - 5x + 2\) de \(3x^2 + x - 12\) .
\ (\ begin {array} {l}
\ izquierda (3 x^ {2} +x-12\ derecha) -\ izquierda (8 x^ {2} -5 x+2\ derecha)\\
3 x^ {2} +x-12-8 x^ {2} +5 x-2\
-5 x^ {2} +6 x-14
\ end {array}\)
Ten mucho cuidado de no escribir este problema como:
\(3x^2 + x - 12 - 8x^2 - 5x + 2\)
Esta forma nos hace restar sólo el primer término, \(8x^2\) , en lugar de toda la expresión. Use paréntesis.
Otra forma incorrecta es:
\(8x^2 - 5x + 2 - (3x^2 + x - 12)\)
Esta forma nos hace realizar la resta en el orden equivocado.
Set de Práctica D
Realizar las siguientes adiciones y restas.
\(6y^2 + 2y - 1 + (5y^2 - 18)\)
- Contestar
-
\(11y^2 + 2y - 19\)
\((9m−n)−(10m+12n)\)
- Contestar
-
\(−m−13n\)
Agregar \(2r^2 + 4r - 1\) a \(3r^2 - r - 7\)
- Contestar
-
\(5r^2 + 3r - 8\)
Restar \(4s−3\) de \(7s+8\) .
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No borre primero este texto.
Ejercicios
Para los siguientes problemas, realice la multiplicación y combine cualquier término similar.
\(7(x+6)\)
- Contestar
-
\(7x+42\)
\(4(y+3)\)
\(6(y+4)\)
- Contestar
-
\(6y+24\)
\(8(m+7)\)
\(5(a−6)\)
- Contestar
-
\(5a−30\)
\(2(x−10)\)
\(3(4x+2)\)
- Contestar
-
\(12x+6\)
\(6(3x+4)\)
\(9(4y−3)\)
- Contestar
-
\(36y−27\)
\(5(8m−6)\)
\(−9(a+7)\)
- Contestar
-
\(−9a−63\)
\(−3(b+8)\)
\(−4(x+2)\)
- Contestar
-
\(−4x−8\)
\(−6(y+7)\)
\(−3(a−6)\)
- Contestar
-
\(−3a+18\)
\(−9(k−7)\)
\(−5(2a+1)\)
- Contestar
-
\(−10a−5\)
\(−7(4x+2)\)
\(−3(10y−6)\)
- Contestar
-
\(−30y+18\)
\(−8(4y−11)\)
\(x(x+6)\)
- Contestar
-
\(x^2 + 6x\)
\(y(y+7)\)
\(m(m−4)\)
- Contestar
-
\(m^2 - 4m\)
\(k(k−11)\)
\(3x(x+2)\)
- Contestar
-
\(3x^2 + 6x\)
\(4y(y+7)\)
\(6a(a−5)\)
- Contestar
-
\(6a^2 - 30a\)
\(9x(x−3)\)
\(3x(5x+4)\)
- Contestar
-
\(15x^2 + 12x\)
\(4m(2m+7)\)
\(2b(b−1)\)
- Contestar
-
\(2b^2 - 2b\)
\(7a(a−4)\)
\(3x^2(5x^2 + 4)\)
- Contestar
-
\(15x^4 + 12x^2\)
\(9y^3(3y^2 + 2)\)
\(4a^4(5a^3 + 3a^2 + 2a)\)
- Contestar
-
\(20a^7 + 12a^6 + 8a^5\)
\(2x^4(6x^3 - 5x^2 - 2x + 3)\)
\(-5x^2(x + 2)\)
- Contestar
-
\(-5x^3 - 10x^2\)
\(-6y^3(y + 5)\)
\(2x^2y(3x^2y^2 - 6x)\)
- Contestar
-
\(6x^4y^3 - 12x^3y\)
\(8a^3b^2c(2ab^3 + 3b)\)
\(b^5x^2(2bx - 11)\)
- Contestar
-
\(2b^6x^3 - 11b^5x^2\)
\(4x(3x^2-6x+10)\)
\(9y^3(2y^4 - 3y^3 + 8y^2 + y - 6)\)
- Contestar
-
\(18y^7 - 27y^6 + 72y^5 + 9y^4 - 54y^3\)
\(-a^2b^3(6ab^4 + 5ab^3 - 8b^2 + 7b - 2)\)
\((a+4)(a+2)\)
- Contestar
-
\(a^2 + 6a + 8\)
\((x+1)(x+7)\)
\((y+6)(y−3)\)
- Contestar
-
\(y^2 + 3y - 18\)
\((t+8)(t−2)\)
\((i−3)(i+5)\)
- Contestar
-
\(i^2 + 2i - 15\)
\((x−y)(2x+y)\)
\((3a−1)(2a−6)\)
- Contestar
-
\(6a^2 - 20a + 6\)
\((5a−2)(6a−8)\)
\((6y+11)(3y+10)\)
- Contestar
-
\(18y^2 + 93y + 110\)
\((2t+6)(3t+4)\)
\((4+x)(3−x)\)
- Contestar
-
\(-x^2 - x + 12\)
\((6+a)(4+a)\)
\((x^2 + 2)(x + 1)\)
- Contestar
-
\(x^3 + x^2 + 2x + 2\)
\((x^2 + 5)(x + 4)\)
\((3x^2 - 5)(2x^2 + 1)\)
- Contestar
-
\(6x^4 - 7x^2 - 5\)
\((4a^2b^3 - 2a)(5a^2b - 3b)\)
\((6x^3y^4 + 6x)(2x^2y^3 + 5y)\)
- Contestar
-
\(12x^5y^7 + 30x^3y^5 + 12x^3y^3 + 30xy\)
\(5(x−7)(x−3)\)
\(4(a+1)(a−8)\)
- Contestar
-
\(4a^2 - 28a - 32\)
\(a(a−3)(a+5)\)
\(x(x+1)(x+4)\)
- Contestar
-
\(x^3 + 5x^2 + 4x\)
\(y^3(y-3)(y-2)\)
- Contestar
-
\(y^5 - 5y^4 + 6y^3\)
\(2a^2(a + 4)(a + 3)\)
\(5y^6(y + 7)(y + 1)\)
- Contestar
-
\(5y^8 + 40y^7 + 35y^6\)
\(ab^2(a^2 - 2b)(a + b^4)\)
\(x^3y^2(5x^2y^2 - 3)(2xy - 1)\)
- Contestar
-
\(10x^6y^5 - 5x^5y^4 - 6x^4y^3 + 3x^3y^2\)
\(6(a^2 + 5a + 3)\)
\(8(c^3 + 5c + 11)\)
- Contestar
-
\(8c^3 + 40c + 88\)
\(3a^2(2a^3 - 10a^2 - 4a + 9)\)
\(6a^3b^3(4a^2b^6 + 7ab^8 + 2b^{10} +14)\)
- Contestar
-
\(24a^5b^9 + 42a^4b^{11} + 12a^3b^{13}+18a^3b^3\)
\((a-4)(a^2 + a - 5)\)
\((x-7)(x^2 + x - 3)\)
- Contestar
-
\(x^3 - 6x^2 - 10x + 21\)
\((2x + 1)(5x^3 + 6x^2 + 8)\)
\((7a^2 + 2)(3a^5 - 4a^3 - a - 1)\)
- Contestar
-
\(21a^7 - 22a^5 - 15a^3 - 7a^2 - 2a - 2\)
\((x+y)(2x^2 + 3xy + 5y^2)\)
\((2a+b)(5a^2 + 4a^2b - b - 4)\)
- Contestar
-
\(10a^3 + 8a^3b + 4a^2b^2 + 5a^2b - b^2 - 8a - 4b - 2ab\)
\((x+3)^2\)
\((x+1)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 + 2x + 1\)
\((x-5)^2\)
\((a+2)^2\)
- Contestar
-
\(a^2 + 4a + 4\)
\((a-9)^2\)
\(-(3x-5)^2\)
- Contestar
-
\(-9x^2 + 30x - 25\)
\(-(8t+7)^2\)
Para los siguientes problemas, realice las operaciones indicadas y combine términos similares.
\(3x^2 + 5x - 2 + (4x^2 - 10x - 5)\)
- Contestar
-
\(7x^2 - 5x - 7\)
\(-2x^3 + 4x^2 + 5x - 8 + (x^3 - 3x^2 - 11x + 1)\)
\(-5x - 12xy + 4y^2 + (-7x + 7xy - 2y^2)\)
- Contestar
-
\(2y^2 - 5xy - 12x\)
\((6a^2 - 3a + 7) - 4a^2 + 2a - 8\)
\((5x^2 - 24x - 15) + x^2 - 9x + 14\)
- Contestar
-
\(6x^2 - 33x - 1\)
\((3x^3 - 7x^2 + 2) + (x^3 + 6)\)
\((9a^2b - 3ab + 12ab^2) + ab^2 + 2ab\)
- Contestar
-
\(9a^2b + 13ab^2 - ab\)
\(6x^2 - 12x + (4x^2 - 3x - 1) + 4x^2 - 10x - 4\)
\(5a^3 - 2a - 26 + (4a^3 - 11a^2 + 2a) - 7a + 8a^3 + 20\)
- Contestar
-
\(17a^3 - 11a^2 - 7a - 6\)
\(2xy - 15 - (5xy + 4)\)
Agregar \(4x + 6\) a \(8x - 15\) .
- Contestar
-
\(12x - 9\)
Agregar \(5y^2 - 5y + 1\) a \(-9y^2 + 4y - 2\)
Agregar \(3(x+6)\) a \(4(x-7)\)
- Contestar
-
\(7x - 10\)
Agregar \(-2(x^2 - 4)\) a \(5(x^2 + 3x - 1)\)
Agregar cuatro veces \(5x + 2\) a tres veces \(2x - 1\)
- Contestar
-
\(26x + 5\)
Agregar cinco veces \(-3x + 2\) a siete veces \(4x + 3\)
Agregar \(-4\) tiempos \(9x + 6\) a \(-2\) tiempos \(-8x - 3\) .
- Contestar
-
\(-20x - 18\)
Restar \(6x^2 - 10x + 4\) de \(3x^2 - 2x + 5\)
Restar \(a^2 - 16\) de \(a^2 - 16\)
- Contestar
-
\(0\)
Ejercicios para la revisión
Simplificar \((\dfrac{15x^2y^4}{5xy^2})^4\)
Exprese el número \(198,000\) usando notación científica.
- Contestar
-
\(1.98 \times 10^5\)
¿Cuántos \(4a^2x^3\) hay adentro \(-16a^4x^5\) ?
Indicar el grado del polinomio \(4xy^3 + 3x^5y - 5x^3y^3\) , y escribir el coeficiente numérico de cada término.
- Contestar
-
El grado es 6; 4, 3, -5
Simplificar \(3(4x-5) + 2(5x-2) - (x-3)\) .