18.7: Productos Binomiales Especiales
Tres productos binomiales ocurren con tanta frecuencia en álgebra que los designamos como productos binomiales especiales . Los hemos visto antes, pero los volveremos a estudiar por su importancia como dispositivos ahorradores de tiempo y en la resolución de ecuaciones (que estudiaremos en un capítulo posterior).
Estos productos especiales se pueden mostrar como los cuadrados de un binomio
\((a+b)^2\) y \(a-b)^2\)
y como la suma y diferencia de dos términos.
\((a+b)(a-b)\)
Hay dos reglas simples que nos permiten expandir (multiplicar) fácilmente estos binomios. Bien vale la pena memorizarlos, ya que ahorrarán mucho tiempo en el futuro.
Ampliando \((a+b)^2\) y \((a−b)^2\)
Para cuadrar un binomio:
1. Cuadrado el primer término.
2. Toma el producto de los dos términos y duplicalo.
3. Cuadrarse el último término.
4. Sumar los tres resultados juntos
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
Expansión (a+b) (a−b)
Para ampliar la suma y diferencia de dos términos: †
- Cuadrar el primer término y cuadrar el segundo término.
- Restar el cuadrado del segundo término del cuadrado del primer término.
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
Conjunto de Muestras A
\ (
(x+4) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:
\(x^{2}\)
.
El producto de ambos términos es
\(4x\)
. Doblarlo:
\(8x\)
.
Cuadrar el último término: 16.
Agréguelos juntos:
\(x^{2}+8x+16\)
\((x+4)^{2}=x^{2}+8 x+16\)
Tenga en cuenta que
\((x+4)^{2} \neq x^{2}+4^{2}\)
. ¡Falta el
\(8x\)
término!
\ (
(a-8) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:
\(a^{2}\)
.
El producto de ambos términos es
\(-8a\)
. Doblarlo:
\(-16a\)
.
Cuadrar el último término: 64.
Sumarlos juntos:
\(a^2 + (-16a) + 64\)
\((a-8)^2 = a^2 - 16a + 64\)
Observe que el signo del último término en esta expresión es “
\(+\)
.” Esto siempre sucederá ya que el último término resulta de que un número está
al cuadrado
. Cualquier número distinto de cero veces en sí mismo siempre es positivo.
\((+)(+) = +\) y \((-)(-) = +\)
El signo del segundo término en el trinomio siempre será el signo que ocurra dentro de los paréntesis.
\ (
(y-1) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:
\(y^{2}\)
.
El producto de ambos términos es
\(-y\)
. Doblarlo:
\(-2y\)
.
Cuadrar el último término: +1.
Agréguelos juntos: \(y^2 + (-2y) + 1\)
\ (
(5x+3) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:
\(25x^{2}\)
.
El producto de ambos términos es
\(15x\)
. Doblarlo:
\(30x\)
.
Cuadrar el último término: 9.
Agréguelos juntos: \(25x^2 + 30x + 9\)
\ (
(7b-2) ^ {2}
\)
Cuadrar el primer término:
\(49b^{2}\)
.
El producto de ambos términos es
\(-14b\)
. Doblarlo:
\(-28b\)
.
Cuadrar el último término: 4.
Agréguelos juntos: \(49b^2 + (-28b) + 4\)
\ (
(x+6) (x-6)
\)
Cuadrar el primer término:
\(x^2\)
.
Restar el cuadrado del segundo término (
\(36\)
) del cuadrado del primer término:
\(x^2 - 36\)
\((x+6)(x-6) = x^2 - 36\)
\ (
(4a−12) (4a+12)
\)
Cuadrar el primer término:
\(16a^2\)
.
Restar el cuadrado del segundo término (
\(144\)
) del cuadrado del primer término:
\(16a^2-144\)
\((4a-12)(4a+12) = 16a^2 - 144\)
\ (
(6x+8y) (6x−8y)
\)
Cuadrar el primer término:
\(36x^2\)
.
Restar el cuadrado del segundo término (
\(64y^2\)
) del cuadrado del primer término:
\(36x^2 - 64y^2\)
\((6x+8y)(6x-8y) = 36x^2 - 64y^2\)
Conjunto de práctica A
Encuentra los siguientes productos.
\((x+5)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 + 10x + 25\)
\((x+7)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 + 14x + 49\)
\((y-6)^2\)
- Contestar
-
\(y^2 - 12y + 36\)
\((3a+b)^2\)
- Contestar
-
\(9a^2 + 6ab + b^2\)
\((9m-n)^2\)
- Contestar
-
\(81m^2 - 18mn + n^2\)
\((10x - 2y)^2\)
- Contestar
-
\(100x^2 - 40xy + 4y^2\)
\((12a - 7b)^2\)
- Contestar
-
\(144a^2 - 168ab + 49b^2\)
\((5h - 15k)^2\)
- Contestar
-
\(25h^2 - 150hk + 225k^2\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, encuentra los productos.
\((x+3)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 + 6x + 9\)
\((x+5)^2\)
\((x+8)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 + 16x + 64\)
\((x+6)^2\)
\((y+9)^2\)
- Contestar
-
\(y^2 + 18y + 81\)
\((y+1)^2\)
\((a-4)^2\)
- Contestar
-
\(a^2 - 8a + 16\)
\((a-6)^2\)
\((a-7)^2\)
- Contestar
-
\(a^2 - 14a + 49\)
\((b+10)^2\)
\((b+15)^2\)
- Contestar
-
\(b^2 + 30b + 225\)
\((a-10)^2\)
\((x-12)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 - 24x + 144\)
\((x+20)^2\)
\((y-20)^2\)
- Contestar
-
\(y^2 - 40y + 400\)
\((3x + 5)^2\)
\((4x + 2)^2\)
- Contestar
-
\(16x^2 + 16x + 4\)
\((6x - 2)^2\)
\((7x - 2)^2\)
- Contestar
-
\(49x^2 - 28x + 4\)
\((5a - 6)^2\)
\((3a - 9)^2\)
- Contestar
-
\(9a^2 - 54a + 81\)
\((3w - 2z)^2\)
\((5a - 3b)^2\)
- Contestar
-
\(25a^2 - 30ab + 9b^2\)
\((6t - 7s)^2\)
\((2h - 8k)^2\)
- Contestar
-
\(4h^2 - 32hk + 64k^2\)
\((a + \dfrac{1}{2})^2\)
\((a + \dfrac{1}{3})^2\)
- Contestar
-
\(a^2 + \dfrac{2}{3}a + \dfrac{1}{9}\)
\((x + \dfrac{3}{4})^2\)
\((x + \dfrac{2}{5})^2\)
- Contestar
-
\(x^2 + \dfrac{4}{5}x + \dfrac{4}{25}\)
\((x - \dfrac{2}{3})^2\)
\((y-\dfrac{5}{6})^2\)
- Contestar
-
\(y^2 - \dfrac{5}{3}y + \dfrac{25}{36}\)
\((y + \dfrac{2}{3})^2\)
\((x + 1.3)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 + 2.6x + 1.69\)
\((x + 5.2)^2\)
\((a + 0.5)^2\)
- Contestar
-
\(a^2 + a + 0.25\)
\((a + 0.08)^2\)
\((x - 3.1)^2\)
- Contestar
-
\(x^2 - 6.2x + 9.61\)
\((y - 7.2)^2\)
\((b - 0.04)^2\)
- Contestar
-
\(b^2 - 0.08b + 0.0016\)
\((f - 1.006)^2\)
\((x + 5)(x - 5)\)
- Contestar
-
\(x^2 - 25\)
\((x+6)(x-6)\)
\((x+1)(x−1)\)
- Contestar
-
\(x^2 - 1\)
\((t−1)(t+1)\)
\((f+9)(f−9)\)
- Contestar
-
\(f^2 - 81\)
\((y−7)(y+7)\)
\((2y+3)(2y−3)\)
- Contestar
-
\(4y^2 - 9\)
\((5x+6)(5x−6)\)
\((2a−7b)(2a+7b)\)
- Contestar
-
\(4a^2 - 49b^2\)
\((7x+3t)(7x−3t)\)
\((5h−2k)(5h+2k)\)
- Contestar
-
\(25h^2 - 4k^2\)
\((x + \dfrac{1}{3})(x - \dfrac{1}{3})\)
\((a + \dfrac{2}{9})(a - \dfrac{2}{9})\)
- Contestar
-
\(a^2 - \dfrac{4}{81}\)
\((x + \dfrac{7}{3})(x - \dfrac{7}{3})\)
\((2b + \dfrac{6}{7})(2b - \dfrac{6}{7})\)
- Contestar
-
\(4b^2 - \dfrac{36}{49}\)
\((a+b)^2\) Ampliar para demostrar que es igual a \(a^2 + 2ab + b^2\) .
\((a-b)^2\) Ampliar para demostrar que es igual a \(a^2 - 2ab + b^2\) .
- Contestar
-
\((a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
\((a+b)(a-b)\) Ampliar para demostrar que es igual a \(a^2-b^2\) .
Rellena la etiqueta que falta en la siguiente ecuación.
- Contestar
-
Primer trimestre al cuadrado
Etiquete las partes de la ecuación a continuación.
Etiquete las partes de la ecuación a continuación.
- Contestar
-
a) Cuadrarse el primer término.
b) Cuadrar el segundo término y restarlo del primer término.
Ejercicios para la revisión
Simplificar \((x^3y^0z^4)^5\) .
Encuentra el valor de \(10^{-1} \cdot 2^{-3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{80}\)
Encuentra el producto.
\((x+6)(x-7)\) .
Encuentra el producto.
\((5m - 3)(2m + 3)\)
- Contestar
-
\(10m^2 + 9m - 9\)
Encuentra el producto.
\((a+4)(a^2 - 2a + 3)\)