19.3: Resolviendo Ecuaciones de la Forma ax = b y x/a = b
Igualdad Propiedad de División y Multiplicación
Recordando que el signo igual de una ecuación indica que el número representado por la expresión en el lado izquierdo es el mismo que el número representado por la expresión en el lado derecho sugiere la propiedad de igualdad de división y multiplicación, que establece:
- Podemos obtener una ecuación equivalente dividiendo ambos lados de la ecuación por el mismo número distinto de cero, es decir, si \(c \not = 0\) , entonces \(a = b\) es equivalente a \(\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}\) .
- Podemos obtener una ecuación equivalente multiplicando ambos lados de la ecuación por el mismo número distinto de cero, es decir, si \(c \not = 0\) , entonces \(a = b\) es equivalente a \(ac=bc\) .
Podemos usar estos resultados para aislar x, resolviendo así la ecuación para x.
Resolviendo \(ax = b\) para \(x\)
\ (\ begin {array} {vaciado izquierdo}
ax&=&b&a\ text {está asociado con} x\ text {por multiplicación.}\\
&&&\ text {Deshacer la asociación buceando ambos lados por} a\
\ dfrac {ax} {a} &=&\ dfrac {b} {a} {a}
\\ dfrac {\ not {a} x {a} =&\ dfrac {b} {a}\\\
1\ cdot x &=&\ dfrac {b} {a} &\ dfrac {a} {a} =1\ text {y} 1\ text {es la identidad multiplicativa.} 1\ cdot x = x
\ end {array}\)
Resolviendo \(\dfrac{x}{a} = b\) para \(x\)
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
x&=&\ dfrac {b} {a} &\ text {Esta ecuación es equivalente a la primera y es resuelta por} x
\\ dfrac {x} {a} &=&b&a\ text {se asocia con} x\ text {por división. Deshacer la asociación}\\
&&&\ text {multiplicando ambos lados por} a\\
a\ cdot\ dfrac {x} {a} &=&a\ cdot b\
\ no {a}\ cdot\ dfrac {x} {\ not {a}} &=&ab\\
1\ cdot x&=&ab&\ dfrac {a} =1\ text {y} 1\ text {es el identidad multiplicativa.} 1\ cdot x = x\\
x&=&ab&\ text {Esta ecuación es equivalente a la primera y se resuelve para} x
\ end {array}\)
Resolviendo \(ax=b\) y \(\dfrac{x}{a} = b\) para \(x\)
Para resolver \(ax = b\) por \(x\) , dividir ambos lados de la ecuación por \(a\) .
\(\dfrac{x}{a} = b\) Para resolver \(x\) , multiplique ambos lados de la ecuación por \(a\) .
Conjunto de Muestras A
Resolver \(5x = 35\) para \(x\) .
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
5x&=&35&5\ text {se asocia con} x\ text {por multiplicación. Deshacer la asociación}\\
&&&\ text {dividiendo ambos lados por} 5. \\
\ dfrac {5x} {5} &=&\ dfrac {35} {5}\\
\ dfrac {\ not {5} x} {\ not {5}} &=&7\\
1\ cdot x&=&7&\ dfrac {5} {5} =1\ text {y} 1\ text {es identidad multiplicativa.} 1\ cdot x = x.\\
x&=&7
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
5 (7) &=&35&\ text {¿Es esto correcto? }\\
35&=&35&\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
Resolver \(\dfrac{x}{4} = 5\) para \(x\) .
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {x} {4} &=&5&4\ text {está asociado con} x\ text {por división. Deshacer la asociación por}\\
&&&\ text {multiplicando ambos lados por} 4. \\
4\ cdot\ dfrac {x} {4} &=&4\ cdot 5\\
\ not {4}\ cdot\ dfrac {x} {\ not {4}} &=&4\ cdot 5\\
1\ cdot x&=&20&\ dfrac {4} {4} =1\ text {y} 1\ text {es la identidad multiplicativa.} 1\ cdot x = x.\\
x&=&20
\ fin { matriz}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {20} {4} &=&5&\ text {¿Es esto correcto? }\\
5&=&5&\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
Resolver \(\dfrac{2y}{9} = 3\) para \(y\) .
Método (1) (Uso de cancelación):
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {2y} {9} &=&3&9\ text {está asociado con} y\ text {por división. Deshacer la asociación por}\\
&&&\ text {multiplicando ambos lados por} 9. \\
(\ not {9}) (\ dfrac {2y} {not {9}}) &=& (9) (3)\\
2y&=&27&2\ text {está asociado con} y {por multiplicación. Deshacer la asociación}\\
&&&\ text {dividiendo ambos lados por} 2. \\
\ dfrac {not {2} y} {not {2}} &=&\ dfrac {27} {2}\\
y&=&\ dfrac {27} {2}
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {\ not {2} (\ dfrac {27} {\ not {2}})} {9} &=&3&\ text {¿Es esto correcto?} \\
\ dfrac {27} {9} &=&3&\ text {¿Es esto correcto?} \\
3&=&3&\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
Método (2) (Uso de reciprocales):
\ (\ begin {array} {vaciado}
\ dfrac {2y} {9} &=&3&\ text {Desde}\ dfrac {2y} {9} =\ dfrac {2} {9} y,\ dfrac {2} {9}\ text {se asocia con} y\ text {por multiplicación.}\\
&&&\ text {Entonces, Desde}\ dfrac {9} {2}\ cdot\ dfrac {2} { 9} =1\ text {, la identidad multiplicativa, podemos}\\
&&&\ text {deshacer lo asociativo multiplicando ambos lados por}\ dfrac {9} {2}\\
(\ dfrac {9} {2}) (\ dfrac {2y} {9}) &=& (\ dfrac {9} {2}) (3)\\
(\ dfrac {9} {2}\ cdot\ dfrac {2} {9}) y&=&\ dfrac {27} {2}\\
1\ cdot y&=&\ dfrac {27} {2}\\
y&=&\ dfrac {27} {2}
\ end {array}\)
Resolver la ecuación literal \(\dfrac{4ax}{m} = 3b\) para \(x\) .
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {4ax} {m} &=&3b&m\ text {está asociado con} x\ text {por división. Deshacer la asociación por}\\
&&&\ text {multiplicando ambos lados por} m.\\
\ not {m} (\ dfrac {4ax} {\ not {m}}) &=&m\ cdot 3b\\
4ax&=&3bm&4a\ text {está asociado con} x\ text {por multiplicación. Deshacer la}\\
&&&\ text {asociación multiplicando ambos lados por} 4a\\
\ dfrac {\ not {4a} x} {\ not {4a}} &=&\ dfrac {3bm} {4a}\
x&=&\ dfrac {3bm} {4a}
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {4a (\ dfrac {3bm} {4a})} {m} &=&3b&\ text {¿Es esto correcto? }\\
\ dfrac {\ not {4a} (\ dfrac {3bm} {\ not {4a}})} {m} &=&3b&\ text {¿Es esto correcto?} \\
\ dfrac {3b\ not {m}} {\ not {m}} &=&3b&\ text {¿Es esto correcto?} \\
3b&=&3b&\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
Conjunto de práctica A
Resolver \(6a=42\) para \(a\) .
- Responder
-
\(a = 7\)
Resolver \(−12m=16\) para \(m\) .
- Responder
-
\(m = -\dfrac{4}{3}\)
Resolver \(\dfrac{y}{8} = -2\) para \(y\)
- Responder
-
\(y = -16\)
Resolver \(6.42x = 1.09\) para \(x\)
- Responder
-
\(x = 0.17\) (redondeado a dos decimales)
Resolver \(\dfrac{5k}{12} = 2\) para \(k\) .
- Responder
-
\(k = \dfrac{24}{5}\)
Resolver \(\dfrac{-ab}{2c} = 4d\) para \(b\) .
- Responder
-
\(b = \dfrac{-8cd}{a}\)
Resolver \(\dfrac{3xy}{4} = 9xh\) para \(y\) .
- Responder
-
\(y = 12h\)
Resolver \(\dfrac{2k^2mn}{5pq} = -6n\) para \(m\) .
- Responder
-
\(m = \dfrac{-15pq}{k^2}\)
Ejercicios
En los siguientes problemas, resolver cada una de las ecuaciones condicionales.
\(3x = 42\)
- Responder
-
\(x = 14\)
\(5y = 75\)
\(6x = 48\)
- Responder
-
\(x=8\)
\(8x = 56\)
\(4x = 56\)
- Responder
-
\(x=14\)
\(3x = 93\)
\(5a = −80\)
- Responder
-
\(a=−16\)
\(9m = −108\)
\(6p = −108\)
- Responder
-
\(p=−18\)
\(12q = −180\)
\(−4a = 16\)
- Responder
-
\(a=−4\)
\(−20x = 100\)
\(−6x = −42\)
- Responder
-
\(x=7\)
\(−8m = −40\)
\(−3k = 126\)
- Responder
-
\(k=−42\)
\(−9y = 126\)
\(\dfrac{x}{6} = 1\)
- Responder
-
\(x=6\)
\(\dfrac{a}{5} = 6\)
\(\dfrac{k}{7} = 6\)
- Responder
-
\(k=42\)
\(\dfrac{x}{3} = 72\)
\(\dfrac{x}{8} = 96\)
- Responder
-
\(x = 768\)
\(\dfrac{y}{-3} = -4\)
\(\dfrac{m}{7} = -8\)
- Responder
-
\(m = -56\)
\(\dfrac{k}{18} = 47\)
\(\dfrac{f}{-62} = 103\)
- Responder
-
\(f = -6386\)
\(3.06m= 12.546\)
\(5.012k = 0.30072\)
- Responder
-
\(k=0.06\)
\(\dfrac{x}{2.19} = 5\)
\(\dfrac{y}{4.11} = 2.3\)
- Responder
-
\(y=9.453\)
\(\dfrac{4y}{7} = 2\)
\(\dfrac{3m}{10} = -1\)
- Responder
-
\(m = \dfrac{-10}{3}\)
\(\dfrac{5k}{6} = 8\)
\(\dfrac{8h}{-7} = -3\)
- Responder
-
\(h = \dfrac{21}{8}\)
\(\dfrac{-16z}{21} = -4\)
Resolver \(pq = 7r\) para \(p\)
- Responder
-
\(p = \dfrac{7r}{q}\)
Resolver \(m^2n = 2s\) para \(n\)
Resolver \(2.8ab = 5.6d\) para \(b\)
- Responder
-
\(b = \dfrac{2d}{a}\)
Resolver \(\dfrac{mnp}{2k} = 4k\) para \(p\)
Resolver \(\dfrac{-8a^2b}{3c} = -5a^2\) para \(b\) .
- Responder
-
\(b = \dfrac{15c}{8}\)
Resolver \(\dfrac{3pcb}{2m} = 2b\) para \(pc\)
Resolver \(\dfrac{8rst}{3p} = -2prs\) para \(t\) .
- Responder
-
\(t = -\dfrac{-3p^2}{4}\)
Ejercicios para revisión
Simplificar \((\dfrac{2x^0y^0z^3}{z^2})^5\)
Clasificar \(10x^3-7x\) como monomio, binomio o trinomio. Indicar su grado y escribir el coeficiente numérico de cada ítem.
- Responder
-
binomio; 3er grado; 10, −7
Simplificar \(3a^2-2a+4a(a+2)\)
Especifique el dominio de la ecuación \(y = \dfrac{3}{7+x}\) .
- Responder
-
todos los números reales excepto −7
Resolver la ecuación condicional \(x+6=−2\) .