20.2: Encontrar los factores de un monomio
Productos de Polinomios
Anteriormente, se estudió la multiplicación de polinomios. Nos dieron factores y se nos pidió encontrar su producto , como se muestra a continuación.
Dados los factores 4 y 8, encuentra el producto. \(4 \cdot 8=32\) . El producto es 32.
Dados los factores \(6x^2\) y \(2x−7\) , encontrar el producto.
\(6x^2(2x−7)=12x^3−42x^2\)
El producto es
\(12x^3−42x^2\)
.
Dados los factores \(x - 2y\) y \(3x + y\) , encontrar el producto.
\ (\ begin {array}
(x-2y) (3x+y) &=&3x^2+xy-6xy-2y^2\\
&=&3x^3-5xy-2y^2
\ end {array}\)
El producto es \(3x^2-5xy-2y^2\) .
Dados los factores \(a+8\) y \(a+8\) , encontrar el producto.
\((a+8)^2=a^2+16a+64\)
El producto es
\(a^2+16a+64\)
.
Factoring
Ahora, vamos a revertir la situación. Se nos dará el producto, e intentaremos encontrar los factores. Este proceso, que es el reverso de la multiplicación, se llama factorización .
Factoring
La factorización es el proceso de determinar los factores de un producto determinado.
Conjunto de Muestras A
El número 24 es el producto, y un factor es 6. ¿Cuál es el otro factor?
Buscamos un número
\(( )\)
tal que
\(6 \cdot ( )=24\)
. Sabemos por experiencia que
\(( )=4\)
. A medida que los problemas se vuelven cada vez más complejos, es posible que nuestra experiencia no nos dé la solución directamente. Necesitamos un método para encontrar factores. Para desarrollar este método podemos usar el problema relativamente simple
\(6 \cdot ( )=24\)
como guía.
Para encontrar el número
\(( )\)
, nos
dividiríamos
\(24\)
por
\(6\)
.
\(\dfrac{24}{6} = 4\)
El otro factor es \(4\) .
El producto es \(18x^3y^4z^2\) y un factor es \(9xy^2z\) . ¿Cuál es el otro factor?
Sabemos que como
\(9xy^2z\)
es un factor de
\(18x^3y^4z^2\)
, debe haber alguna cantidad
\( )\)
tal que
\(9xy^2z \cdot ( ) = 18x^3y^4z^2\)
.
\(18x^3y^4z^2\)
Dividiendo por
\(9xy^2z\)
, obtenemos:
\(\dfrac{18x^3y^4z^2}{9xy^2z} = 2x^2y^2z\)
Así, el otro factor es \(2x^2y^2z\) .
La comprobación nos convencerá de que efectivamente \(2x^2y^2z\) es el factor adecuado.
\ (\ begin {array}
(2x^2y^2z) (9xy^2z) &=&18x^ {2+1} y^ {2+2} z^ {1+1}\\
&=&18x^3y^4z^2
\ end {array}\)
Deberíamos tratar de encontrar el cociente mentalmente y evitar realmente escribir el problema de la división.
El producto de \(-21a^5b^n\) y \(3ab^4\) es un factor. Encuentra el otro factor.
Mentalmente \(-21a^5b^n\) dividiendo por \(3ab^4\) , obtenemos
\(\dfrac{-21a^5b^n}{3ab^4} = -7a^{5-1}b^{n-4} = -7a^4b^{n-4}\)
Así, el otro factor es \(-7a^4b^{n-4}\) .
Conjunto de práctica A
El producto es 84 y un factor es 6. ¿Cuál es el otro factor?
- Contestar
-
14
El producto es \(14x^3y^2z^5\) y un factor es \(7xyz\) . ¿Cuál es el otro factor?
- Contestar
-
\(2x^2yz^4\)
Ejercicios
En los siguientes problemas, la primera cantidad representa el producto y la segunda cantidad representa un factor de ese producto. Encuentra el otro factor.
\(30, 6\)
- Contestar
-
5
\(45, 9\)
\(10a, 5\)
- Contestar
-
\(2a\)
\(16a, 8\)
\(21b, 7b\)
- Contestar
-
\(3\)
\(15a, 5a\)
\(20x^3, 4\)
- Contestar
-
\(5x^3\)
\(30y^4, 6\)
\(8x^4, 4x\)
- Contestar
-
\(2x^3\)
\(16y^5, 2y\)
\(6x^2y, 3x\)
- Contestar
-
\(2xy\)
\(9a^4b^5, 9a^4\)
\(15x^2b^4c^7, 5x^2bc^6\)
- Contestar
-
\(3b^3c\)
\(25a^3b^2c, 5ac\)
\(18x^2b^5, -2xb^4\)
- Contestar
-
\(−9xb\)
\(22b^8c^6d^3, -11b^8c^4\)
\(-60x^5b^3f^9, -15x^2b^2f^2\)
- Contestar
-
\(4x^3bf^7\)
\(39x^4y^5z^{11}, 3xy^3z^{10}\)
\(147a^{20}b^6c^{18}d^2, 21a^3bd\)
- Contestar
-
\(7a^{17}b^5c^{18}d\)
\(-121a^6b^8c^{10}, 11b^2c^5\)
\(\dfrac{1}{8}x^4y^3, \dfrac{1}{2}xy^3\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{4}x^3\)
\(7x^2y^3z^2, 7x^2y^3z\)
\(5a^4b^7c^3d^2, 5a^4b^7c^3d\)
- Contestar
-
\(d\)
\(14x^4y^3z^7, 14x^4y^3z^7\)
\(12a^3b^2c^8, 12a^3b^2c^8\)
- Contestar
-
\(1\)
\(6(a+1)^2(a+5), 3(a+1)^2\)
\(8(x+y)^3(x-2y), 2(x-2y)\)
- Contestar
-
\(4(x+y)^3\)
\(14(a-3)^6(a+4)^2, 2(a-3)^2(a+4)\)
\(26(x-5y)^{10}(x-3y)^{12}, -2(x-5y)^7(x-3y)^7\)
- Contestar
-
\(-13(x-5y)^3(x-3y)^5\)
\(34(1-a)^4(1+a)^8, -17(1-a)^4(1+a)^2\)
\((x+y)(x−y), x−y\)
- Contestar
-
\((x+y)\)
\((a+3)(a−3), a−3\)
\(48x^{n+3}y^{2n-1}, 8x^3y^{n+5}\)
- Contestar
-
\(6x^ny^{n-6}\)
\(0.0024x^{4n}y^{3n+5}z^2, 0.03x^{3n}y^5\)
Ejercicios para la revisión
Simplificar \((x^4y^0z^2)^3\)
- Contestar
-
\(x^{12}z^6\)
Simplificar \(−{−[−(−|6|)]}\)
Encuentra el producto \((2x-4)^2\)
- Contestar
-
\(4x^2-16x+16\)