20.6: Factorización de Dos Productos Especiales
La diferencia de dos cuadrados
Recordemos que cuando multiplicamos juntos los dos binomios \((a+b)\) y \((a−b)\) , obtuvimos el producto \(a^2-b^2\) .
\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)
Plaza Perfecta
Observe que los términos
\(a^2\)
y
\(b^2\)
en el producto se pueden producir por cuadratura
\(a\)
y
\(b\)
, respectivamente. Un término que es el cuadrado de otro término se llama
cuadrado perfecto
. Así, ambos
\(a^2\)
y
\(b^2\)
son cuadrados perfectos. El signo menos entre
\(a^2\)
y
\(b^2\)
significa que estamos tomando la
diferencia
de los dos cuadrados.
Como sabemos eso
\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)
, solo necesitamos darle la vuelta a la ecuación para encontrar la forma de factorización.
\(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)
La forma de factorización dice que podemos factorizar
\(a^2−b^2\)
, la diferencia de dos cuadrados, encontrando los términos que producen los cuadrados perfectos y sustituyendo estas cantidades en la forma de factorización.
Al usar números reales (tal como somos), no hay forma factorizada para la suma de dos cuadrados. Es decir, usando números reales,
\(a^2 + b^2\) no puede ser factorizado
Conjunto de Muestras A
Factor \(x^2 - 16\) . Ambos \(x^2\) y \(16\) son cuadrados perfectos. Los términos que, al cuadrar, producen \(x^2\) y \(16\) son \(x\) y \(4\) , respectivamente.
Por lo tanto,
\(x^2 - 16 = (x+4)(x-4)\)
Podemos comprobar nuestra factorización simplemente multiplicando.
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
(x+4) (x-4) &=&x^2 - 4x + 4x - 16\\
&=&x^2 - 16
\ end {array}\)
\(49a^2b^4 - 121\) . Ambos \(49a^2b^4\) y \(121\) son cuadrados perfectos. Los términos que, al cuadrar, producen \(49a^2b^4\) y \(121\) son \(7ab^2\) y \(11\) , respectivamente. Sustituyendo estos términos en la forma de factorización obtenemos
\(49a^2b^4 - 121 = (7ab^2 + 121)(7ab^2 - 11)\)
Podemos verificar nuestra facorización multiplicando
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
(7ab^2 + 121) (7ab^2 - 11) &=&49a^2b^4 - 11ab^2 + 11ab^2 - 121\\
&=&49a^2b^4 - 121
\ end {array}\)
\(3x^2 - 27\) . Esto no parece la diferencia de dos cuadrados ya que no conocemos fácilmente los términos que producen \(3x^2\) y \(27\) (. No obstante, fíjese que \(3\) es común a ambos términos. Factor de salida 3.
\(3(x^2-9)\) .
Ahora vemos que \(x^2 - 9\) es la diferencia de dos cuadrados. Facotring el \(x^2 - 9\) que obtenemos
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
3x^2 - 27&=&3 (x^2-9)\\
&=&3 (x+3) (x-3)
\ end {array}\)
Conjunto de práctica A
Si es posible, factorizar completamente los siguientes binomios.
\(m^2 - 25\)
- Responder
-
\((m+5)(m−5)\)
\(36p^2 - 81q^2\)
- Responder
-
\(9(2p−3q)(2p+3q)\)
\(49a^2 = b^2c^2\)
- Responder
-
\((7a^2 + bc)(7a^2 - bc)\)
\(x^8y^4 - 100x^{12}\)
- Responder
-
\((x^4y^2+10w^6)(x^4y^2−10w^6)\)
\(3x^2−75\)
- Responder
-
\(3(x+5)(x−5)\)
\(a^3b^4m−am^3n^2\)
- Responder
-
\(am(ab^2+mn)(ab^2−mn)\)
Reglas Fundamentales de Factoraje
Hay dos reglas fundamentales que seguimos a la hora de factorizar:
Reglas Fundamentales de Factoraje
- Primero factorizar todos los monomios comunes.
- Factor completamente.
Conjunto de Muestras B
Factorar cada binomio completamente.
\(4a^8b - 36b^5\) . Factorizar el factor común \(4b\) .
\(4b(a^8 - 9b^4)\) .
Ahora podemos ver una diferencia de dos cuadrados, mientras que en el polinomio original no pudimos. Completaremos nuestra factorización factorizando la diferencia de dos cuadrados.
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
4a^8-36b^5&=&4b (a^8-9b^4)\\
&=&4b (a^4+3b^2) (a^4-3b^2)
\ end {array}\)
\(x^{16}-y^8\) . Factorizar esta diferencia de dos cuadrados.
\(x^{16} - y^8 = (x^8 + y^4) (x^8 - y^4)\)
Vemos una suma de dos cuadrados, y luego una diferencia de dos cuadrados.
\(= (x^8+y^4)(x^4+y^2)(x^4-y^2)\)
¡Factor otra vez!
\(= (x^8+y^4)(x^4+y^2)(x^2+y)(x^2-y)\)
Finalmente, la factorización está completa.
Este tipo de productos aparecen de vez en cuando, así que ten en cuenta que es posible que tengas que factorizar más de una vez.
Set de práctica B
Factorar cada binomio completamente.
\(m^4-n^4\)
- Responder
-
\((m^2+n^2)(m−n)(m+n)\)
\(16y^8−1\)
- Responder
-
\((4y^4+1)(2y^2+1)(2y^2−1)\)
Trinomios Cuadrados Perfectos
Recordemos el proceso de cuadratura de un binomio.
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
| Nuestro método es | Notamos |
| Cuadrado el primer término | El primer término del producto debe ser un cuadrado perfecto. |
| Toma el producto de los dos términos y duplicalo. | El término medio del producto debe ser divisible por 2 (ya que se multiplica por 2). |
| Cuadrarse el último término. | El último término del producto debe ser un cuadrado perfecto. |
Trinomios cuadrados perfectos siempre factorizan como el cuadrado de un binomio.
Para reconocer un trinomio cuadrado perfecto, busca las siguientes características:
- El primer y último término son cuadrados perfectos.
- El término medio es divisible por 2, y si dividimos el término medio por la mitad (lo contrario de doblarlo), obtendremos el producto de los términos que al cuadrar producen el primer y último término.
En otras palabras, factorizar un trinomio cuadrado perfecto equivale a encontrar los términos que, al cuadrar, producen el primer y último término del trinomio, y sustituirlo en uno de la fórmula
\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a^2−2ab+b^2=(a−b)^2\)
Conjunto de Muestras C
Factorizar cada trinomio cuadrado perfecto.
\(x^2 + 6x + 9\) . Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Los \(x^2\) y \(9\) son cuadrados perfectos.
Los términos que al cuadrar producen \(x^2\) y \(9\) son \(x\) y \(3\) , respectivamente.
El término medio es divisible por \(2\) , y \(\dfrac{6x}{2} = 3x\) . El \(3x\) es el producto de \(x\) y \(3\) , que son los términos que producen los cuadrados perfectos.
\(x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2\)
\(x^4 - 10x^2y^3 + 25y^6\) . Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto. Los \(x^4\) y \(25y^6\) son ambos cuadrados perfectos. Los términos que al cuadrar producen \(x^4\) y \(25y^6\) son \(x^2\) y \(5y^3\) , respectivamente.
El término medio \(-10x^2y^3\) es divisible por \(2\) . De hecho, \(\dfrac{-10x^2y^3}{2} = -5x^2y^3\) . Por lo tanto,
\(x^4-10x^2y^3 + 25y^6 = (x^2-5y^3)^2\)
\(x^2 + 10x + 16\) . Esta expresión no es un trinomio cuadrado perfecto. Si bien el término medio es divisible por \(2\) \(\dfrac{10x}{2} = 5x\) ,, el \(5\) y no \(x\) son los términos que al cuadrar producen los términos primero y último. (Esta expresión sería un trinomio cuadrado perfecto si el término medio lo fuera \(8x\) .)
\(4a^4 + 32a^2b - 64b^2\) . Esta expresión no es un trinomio cuadrado perfecto ya que el último término no \(-64b^2\) es un cuadrado perfecto (ya que cualquier cantidad al cuadrado es siempre positiva o cero y nunca negativa).
Por lo tanto, \(4a^4 + 32a^2b - 64b^2\) no se puede factorizar usando este método.
Set de práctica C
Factorizar, si es posible, los siguientes trinomios.
\(m^2−8m+16\)
- Responder
-
\((m−4)^2\)
\(k^2+10k+25\)
- Responder
-
\((k+5)^2\)
\(4a^2+12a+9\)
- Responder
-
\((2a+3)^2\)
\(9x^2−24xy+16y^2\)
- Responder
-
\((3x−4y)^2\)
\(2w^3z+16w^2z^2+32wz^3\)
- Responder
-
\(2wz(w+4z)^2\)
\(x^2+12x+49\)
- Responder
-
no es posible
Ejercicios
Para los siguientes problemas, factorizar los binomios.
\(a^2−9\)
- Contestar
-
\((a+3)(a−3)\)
\(a^2−25\)
\(x^2−16\)
- Contestar
-
\((x+4)(x−4)\)
\(y^2−49\)
\(a^2−100\)
- Contestar
-
\((a+10)(a−10)\)
\(b^2−36\)
\(4a^2−64\)
- Contestar
-
\(4(a+4)(a−4)\)
\(2b^2−32\)
\(3x^2−27\)
- Contestar
-
\(3(x+3)(x−3)\)
\(5x^2−125\)
\(4a^2−25\)
- Contestar
-
\((2a+5)(2a−5)\)
\(9x^2−100\)
\(36y^2−25\)
- Contestar
-
\((6y+5)(6y−5)\)
\(121a^2−9\)
\(12a^2−75\)
- Contestar
-
\(3(2a+5)(2a−5)\)
\(10y^2−320\)
\(8y^2−50\)
- Contestar
-
\(2(2y+5)(2y−5)\)
\(a^2b^2−9\)
\(x^2y^2−25\)
- Contestar
-
\((xy+5)(xy−5)\)
\(x^4y^4−36\)
\(x^4y^4−9a^2\)
- Contestar
-
\((x^2y^2+3a)(x^2y^2−3a)\)
\(a^2b^4−16y^4\)
\(4a^2b^2−9b^2\)
- Contestar
-
\(b^2(2a+3)(2a−3)\)
\(16x^2−25y^2\)
\(a^2−b^2\)
- Contestar
-
\((a+b)(a−b)\)
\(a^4−b^4\)
\(x^4−y^4\)
- Contestar
-
\((x^2+y^2)(x+y)(x−y)\)
\(x^8−y^2\)
\(a^8−y^2\)
- Contestar
-
\((a^4+y)(a^4−y)\)
\(b^6−y^2\)
\(b^6−x^4\)
- Contestar
-
\((b^3+x^2)(b^3−x^2)\)
\(9−x^2\)
\(25−a^2\)
- Contestar
-
\((5+a)(5−a)\)
\(49−16a^2\)
\(100−36b^4\)
- Contestar
-
\(4(5+3b^2)(5−3b^2)\)
\(128−32x^2\)
\(x^4−16\)
- Contestar
-
\((x^2+4)(x+2)(x−2)\)
\(2ab^3−a^3b\)
\(a^4−b^4\)
- Contestar
-
\((a^2+b^2)(a+b)(a−b)\)
\(a^{16}−b^4\)
\(x^{12} - y^{12}\)
- Contestar
-
\((x^6+x^6)(x^3+y^3)(x^3−y^3)\)
\(a^2c−9c\)
\(a^3c^2−25ac^2\)
- Contestar
-
\(ac^2(a+5)(a−5)\)
\(a^4b^4c^2d^2−36x^2y^2\)
\(49x^2y^4z^6−64a^4b^2c^8d^{10}\)
- Contestar
-
\((7xy^2z^3+8a^2bc^4d^5)(7xy^2z^3−8a^2bc^4d^5)\)
Para los siguientes problemas, factorizar, si es posible, los trinomios.
\(x^2+8x+16\)
\(x2+10x+25\)
- Contestar
-
\((x+5)^2\)
\(a^2+4a+4\)
\(a^2+12a+36\)
- Contestar
-
\((a+6)^2\)
\(b^2+18b+81\)
\(y^2+20y+100\)
- Contestar
-
\((y+10)^2\)
\(c^2+6c+9\)
\(a^2−4a+4\)
- Contestar
-
\((a−2)^2\)
\(b^2−6b+9\)
\(x^2−10x+25\)
- Contestar
-
\((x−5)^2\)
\(b^2−22b+121\)
\(a^2−24a+144\)
- Contestar
-
\((a−12)^2\)
\(a^2+2a+1\)
\(x^2+2x+1\)
- Contestar
-
\((x+1)^2\)
\(x^2−2x+1\)
\(b^2−2b+1\)
- Contestar
-
\((b−1)^2\)
\(4a^2+12a+9\)
\(9x^2+6x+1\)
- Contestar
-
\((3x+1)^2\)
\(4x^2+28x+49\)
\(16a^2−24a+9\)
- Contestar
-
\((4a−3)^2\)
\(25a^2−20a+4\)
\(9x^2+6xy+y^2\)
- Contestar
-
\((3x+y)^2\)
\(16x^2+24xy+9y^2\)
\(36a^2+60ab+25b^2\)
- Contestar
-
\((6a+5b)^2\)
\(4x^2−12xy+9y^2\)
\(12a^2−60a+75\)
- Contestar
-
\(3(2a−5)^2\)
\(16x^2+8x+1\)
\(32x^2+16x+2\)
- Contestar
-
\(2(4x+1)^2\)
\(x^2+x+1\)
\(4a^2+a+9\)
- Contestar
-
no factorizable
\(9a^2−21a+49\)
\(x^5+8x^4+16x^3\)
- Contestar
-
\(x^3(x+4)^2\)
\(12a^3b−48a^2b^2+48ab^3\)
EJERCICIOS PARA REVISIÓN
Factor \((m−3)x−(m−3)y\) .
- Contestar
-
\((m−3)(x−y)\)
Factorizar \(8xm+16xn+3ym+6yn\) por agrupación.