20.7: Factorización de Trinomios con Coeficiente Líder 1
Método
Consideremos el producto de los dos binomios \((x+4)\) y \((x+7)\) .
Observe que el primer término en el trinomio resultante proviene del producto de los primeros términos en los binomios: \(x \cdot x=x^2\) . El último término en el trinomio proviene del producto de los últimos términos en los binomios: \(4 \cdot 7=28\) . El término medio proviene de la adición de los productos externos e internos: \(7x+4x=11x\) . También, observe que el coeficiente del término medio es exactamente la suma de los últimos términos en los binomios: \(4+7=11\) .
El problema que nos interesa es que dado un trinomio, ¿cómo podemos encontrar los factores? Cuando el coeficiente principal (el coeficiente del término cuadrático) es 1, las observaciones que hicimos anteriormente nos llevan al siguiente método de factorización.
- Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().
- Coloque un binomio en cada conjunto de paréntesis. El primer término de cada binomio es un factor del primer término del trinomio.
- Determinar los segundos términos de los binomios determinando los factores del tercer término que al sumarse juntos producen el coeficiente del término medio.
Conjunto de Muestras A
Factorizar los siguientes trinomios.
\(x^2 + 5x + 6\)
1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().
2. Coloque los factores de
\(x^2\)
en la primera posición de cada conjunto de paréntesis:
(
\(x\)
) (
\(x\)
)
3. El tercer término del trinomio es
\(6\)
. Buscamos dos números cuyo
(a) producto es
\(6\)
(b) suma es
\(5\)
Los números requeridos son
\(3\)
y
\(2\)
.
\(+2\)
Colocar
\(+3\)
y entre paréntesis.
\(x^2 + 5x + 6 = (x+3)(x+2)\)
La factorización está completa. Verificaremos para estar seguros:
\ (\ begin {array} {ruedado}
(x+3) (x+2) &=&x^2 + 2x + 3x + 6\\
&=&x^2 + 5x + 6
\ end {array}\)
\(y^2 - 2y - 24\)
1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().
2. Coloque los factores de
\(y^2\)
en la primera posición de cada conjunto de paréntesis:
(
\(y\)
) (
\(y\)
)
3. El tercer término del trinomio es
\(-24\)
. Buscamos dos números cuyo
(a) producto es
\(-24\)
y
(b) suma es
\(-2\)
Los números requeridos son
\(-6\)
y
\(4\)
.
\(+4\)
Colocar
\(-6\)
y entre paréntesis.
\(y^2 - 2y - 24 = (y-6)(y+4)\)
La factorización está completa. Lo comprobaremos para estar seguros.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(y-6) (y+4) &=&y^2+4y-6y-24\\
&=&y^2-2y-24
\ end {array}\)
Observe que las otras combinaciones de \(-24\) (algunas de las cuales son \(-2, 12; 3, -8; -4,6\) ), no funcionan. Por ejemplo,
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(y-2) (y+12) &=&y^2+10y-24\\
(y+3) (y-8) &=&y^2-5y-24\\
(y-4) (y+6) &=&y^2+2y-24
\ end {array}\)
En todas estas ecuaciones, los términos medios son incorrectos.
\(a^2 - 11a + 30\)
1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().
2. Coloque los factores de
\(a^2\)
en la primera posición de cada conjunto de paréntesis:
(
\(a\)
) (
\(a\)
)
3. El tercer término del trinomio es
\(+30\)
. Buscamos dos números cuyo:
(a) producto es
\(30\)
y
(b) suma es
\(-11\)
.
Los números requeridos son
\(-5\)
y
\(-6\)
.
\(-6\)
Colocar
\(-5\)
y entre paréntesis.
\(a^2 - 11a + 30 = (a-5)(a-6)\)
La factorización está completa. Verificaremos para estar seguros
\ (\ begin {array} {ruedado}
(a-5) (a-6) &=&a^2 - 6a - 5a + 30\\
&=&a^2 - 11a + 30
\ end {array}\)
\(3x^2 - 15x - 42\)
Antes de comenzar, recordemos la regla más básica de factorización: factorizar primero los factores monomiales comunes. Observe que \(3\) es el mayor factor monomio común de cada término. Factorizar hacia fuera \(3\) .
\(3x^2 - 15x - 42 = 3(x^2 - 5x - 14)\)
Ahora podemos continuar.
1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: \(3\) () ().
2. Coloque los factores de
\(x^2\)
en la primera posición de cada conjunto de paréntesis:
\(3\)
(
\(x\)
) (
\(x\)
)
3. El tercer término del trinomio es
\(-14\)
. Buscamos dos números cuyo
(a) producto es
\(-14\)
y
(b) suma es
\(-5\)
.
Los números requeridos son
\(-7\)
y
\(2\)
.
\(+2\)
Colocar
\(-7\)
y entre paréntesis.
\(3x^2 - 15x - 42 = 3(x-7)(x+2)\)
La factorización está completa. Lo comprobaremos para estar seguros.
\ (\ begin {array} {arrojar a la izquierda}
3 (x-7) (x+2) &=&3 (x^2+2x-7x-14)\\
&=&3 (x^2-5x-14)\\
&=&3x^2 - 15x - 42
\ end {array}\)
Conjunto de práctica A
Factorizar, si es posible, los siguientes trinomios.
\(k^2+8k+15\)
- Contestar
-
\((k+3) (k+5)\)
\(y^2+7y−30\)
- Contestar
-
\((y+10) (y−3)\)
\(m^2+10m+24\)
- Contestar
-
\((m+6) (m+4)\)
\(m^2−10m+16\)
- Contestar
-
\((m−8) (m−2)\)
Consejos de factorización
Factorizar trinomios puede requerir algo de práctica, pero con el tiempo y la experiencia, podrás factorizar mucho más rápidamente.
Hay algunas pistas que son útiles para determinar los factores del tercer término que al agregarse arrojan el coeficiente del término medio.
Mira el signo del último término :
- Si el signo es positivo, sabemos que los dos factores deben tener el mismo signo, ya que \((+) (+)=(+)\) y \((−) (−) = (+)\) . Los dos factores tendrán el mismo signo que el signo del mediano plazo.
- Si el signo es negativo, sabemos que dos factores deben tener signos opuestos , ya que \((+) (−)=(−)\) y \((−) (+) = (−)\) .
Conjunto de Muestras B
Factor \(x^2 - 7x + 12\)
1. Escribe dos conjuntos de paréntesis: () ().
2. El tercer término del trinomio es \(+12\) . El signo es potitivo, por lo que los dos factores de \(12\) que estamos buscando deben tener el mismo signo. Tendrán el signo del término medio. El signo del término medio es negativo, por lo que ambos factores de \(12\) son negativos. Ellos son \(-12\) y \(-1\) , \(-6\) y \(-2\) , o \(-4\) y \(-3\) . Sólo los factores \(-4\) y se \(-3\) suman a \(-7\) , así \(-4\) y \(-3\) son los factores adecuados de \(12\) para ser utilizados.
\(x^2 - 7x + 12 = (x-4)(x-3)\)
Set de práctica B
Factorizar, si es posible, los siguientes trinomios.
\(4k^2+32k+28\)
- Contestar
-
\(4(k+7) (k+1)\)
\(3y^4+24y^3+36y^2\)
- Contestar
-
\(3y^2(y+2) (y+6)\)
\(x^2−xy−6y^2\)
- Contestar
-
\((x+2y) (x−3y)\)
\(−5a^5b−10a^4b^2+15a^3b^3\)
- Contestar
-
\(−5a^3b(a+3b) (a−b)\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, factorizar los trinomios cuando sea posible.
\(x^2+4x+3\)
- Contestar
-
\((x+3)(x+1)\)
\(x^2+6x+8\)
\(x^2+7x+12\)
- Contestar
-
\((x+3)(x+4)\)
\(x^2+6x+5\)
\(y^2+8y+12\)
- Contestar
-
\((y+6)(y+2)\)
\(y^2−5y+6\)
\(y^2−5y+4\)
- Contestar
-
\((y−4)(y−1)\)
\(a^2+a−6\)
\(a^2+3a−4\)
- Contestar
-
\((a+4)(a−1)\)
\(x^2+4x−21\)
\(x^2−4x−21\)
- Contestar
-
\((x−7)(x+3)\)
\(x^2+7x+12\)
\(y^2+10y+16\)
- Contestar
-
\((y+8)(y+2)\)
\(x^2+6x−16\)
\(y^2−8y+7\)
- Contestar
-
\((y−7)(y−1)\)
\(y^2−5y−24\)
\(a^2+a−30\)
- Contestar
-
\((a+6)(a−5)\)
\(a^2−3a+2\)
\(a^2−12a+20\)
- Contestar
-
\((a−10)(a−2)\)
\(y^2−4y−32\)
\(x^2+13x+42\)
- Contestar
-
\((x+6)(x+7)\)
\(x^2+2x−35\)
\(x^2+13x+40\)
- Contestar
-
\((x+5)(x+8)\)
\(y^2+6y−27\)
\(b^2+15b+56\)
- Contestar
-
\((b+8)(b+7)\)
\(3a^2+24a+36\)
( Pista: Siempre busque un factor común.)
\(4x^2+12x+8\)
- Contestar
-
\(4(x+2)(x+1)\)
\(2a^2−18a+40\)
\(5y^2−70y+440\)
- Contestar
-
\(5(y^2−14y+88)\)
\(6x^2−54x+48\)
\(x^3+6x^2+8x\)
- Contestar
-
\(x(x+4)(x+2)\)
\(x^3−8x^2+15x\)
\(x^4+9x^3+14x^2\)
- Contestar
-
\(x^2(x+7)(x+2)\)
\(2a^3+12a^2+10a\)
\(4a^3−40a^2+84a\)
- Contestar
-
\(4a(a−7)(a−3)\)
\(3xm^2+33xm+54x\)
\(2y^2n^2−10y^2n−48y^2\)
- Contestar
-
\(2y^2(n−8)(n+3)\)
\(4x^4−42x^3+144x^2\)
\(y^5+13y^4+42y^3\)
- Contestar
-
\(y^3(y+6)(y+7)\)
\(4x^2a^6−48x^2a^5+252x^2a^4\)
Ejercicios para la revisión
Factor \(6xy+2ax−3ay−a^2\) .
- Contestar
-
\((2x−a)(3y+a)\)
Factor \(8a^2−50\) .
Factor \(4x^2+17x−15.\)
- Contestar
-
\((4x−3)(x+5)\)