20.8: Factorización de Trinomios con Coeficiente Líder Diferente de 1
El método de factorización
En la última sección vimos que podríamos factorizar fácilmente trinomios de la forma \(x^2+bx+c\) al encontrar los factores de la constante \(c\) que se suman al coeficiente del término lineal \(b\) , como se muestra en el siguiente ejemplo:
Factor
\(x^2 - 4x - 21\)
El tercer término del trinomio es
\(-21\)
. Buscamos dos números cuyo:
(a) producto es
\(-21\)
(b) suma es
\(-4\)
Los números requeridos son \(-7\) y \(+3\)
\(x^2 - 4x - 21 = (x-7)(x+3)\)
El problema de factorizar el polinomio \(ax^2 + bx + c, a\not = 1\) , se involucra más. Estudiaremos dos métodos para factorizar dichos polinomios. Cada método produce el mismo resultado, y debe seleccionar el método con el que se sienta más cómodo. El primer método se llama método de ensayo y error y requiere algunas conjeturas educadas. Examinaremos dos ejemplos (Conjuntos de Muestras A y B). Después, estudiaremos un segundo método de factorización. El segundo método se llama método de recolección y descarte , y requiere menos adivinación que el método de prueba y error. El Conjunto de Muestras C ilustra el uso del método de recolección y descarte.
El método de prueba y error de factorización \(ax^2 + bx + c\)
Método de prueba y error
Considera el producto
Examinando el trinomio \(20x^2 + 23x + 6\) , podemos ver de inmediato algunos factores del primer y último término.
| \(20x^2\) | \(6\) |
| \(20x, x\) | \(6, 1\) |
| \(10x, 2x\) | \(3, 2\) |
| \(5x, 4x\) |
Nuestro objetivo es elegir la combinación adecuada de factores del primer y último término que arroje el término medio
\(23x\)
.
Observe que el término medio proviene de la
suma
de los productos
externos
e
internos
en la multiplicación de los dos binomios.
Este hecho nos proporciona una manera de encontrar la combinación adecuada.
Busca la combinación que cuando se multiplica y luego se agrega rinde el término medio.
La combinación adecuada que estamos buscando es
Conjunto de Muestras A
Factor \(6x^2 + x - 12\)
Factorial el primer y último término:
Así, \(3x\) y \(3\) se van a multiplicar, \(2x\) y \(-4\) se van a multiplicar.
\ (\ begin {array} {flaqueado a la izquierda}
6x^2 + x - 12&=& () () &\ text {Ponga los factores del término principal inmediatamente.} \\
&=& (3x) (2x) &\ text {Dado que} 3x\ text {y} 3\ text {se van a multiplicar, deben ubicarse en diferentes binomios.} \\
&=& (3x) (2x + 3) &\ text {Coloque el} -4\ text {en el conjunto restante de paréntesis.} \\
&=& (3x-4) (2x+3)\\
6x^2 + x - 12&=& (3x-4) (2x+3)
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(3x-4) (2x+3) &=&6x^2 + 9x - 8x - 12\\
&=&6x^2 + x - 12
\ end {array}\)
Factor \(8x^2 - 20x - 27\)
Encuentra los factores del primer y último término.
Así, los \(4x\) y \(-9\) se van a multiplicar, y \(2x\) y \(3\) se van a multiplicar.
\ (\ begin {array} {ruedado}
8x^2 - 30x - 27&=& (4x) (2x)\\
&=& (4x) (4x) (2x-9)\\
&=& (4x + 3) (2x-9)
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(4x+3) (2x-9) &=&8x^2 - 36x + 6x - 27\\
&=&8x^2-30x-27
\ end {array}\)
Factor \(15x^2 + 44x + 32\)
Antes de comenzar a encontrar los factores del primer y último término, observe que el término constante es
\(+32\)
. Dado que el producto es
positivo
, los dos factores que estamos buscando
deben
tener el mismo signo. Ambos deben ser positivos o ambos negativos. Ahora el término medio,
\(+44x\)
, va precedido de un signo positivo. Sabemos que el término medio viene de la
suma
de los productos externos e internos. Si estos dos números van a sumarse a un número positivo, ambos deben ser ellos mismos positivos. Si fueran negativos, su suma sería negativa. Así, podemos concluir que los dos factores de los
\(+32\)
que estamos buscando son ambos números positivos. Esto elimina varios factores
\(32\)
y disminuye nuestra cantidad de trabajo.
Factorizar el primer y último término.
Después de algunas pruebas vemos eso \(5x\) y \(4\) se van a multiplicar, y \(3x\) y \(8\) se van a multiplicar.
\(15x^2 + 44x + 32 = (5x + 8)(3x + 4)\)
Factor \(18x^2 - 56x + 6\)
Vemos que cada término es parejo, así podemos factorizar \(2\) .
\(2(9x^2 - 28x + 3)\)
Observe que el término constante es positivo. Así, sabemos que los factores de 3 que estamos buscando deben tener el mismo signo. Dado que el signo del término medio es negativo, ambos factores deben ser negativos.
Factorizar el primer y último término.
No hay muchas combinaciones que probar, y nos encontramos con eso \(9x\) y \(-3\) se van a multiplicar y \(x\) y \(-1\) se van a multiplicar.
\ (\ begin {array} {flaqueado a la izquierda}
18x^2 - 56x + 6 &=& 2 (9x^2 - 28x + 3)\\
&=&2 (9x-1) (x-3)
\ end {array}\)
Si no hubiéramos factorizado el \(2\) primero, habríamos conseguido la factorización
La factorización no está completa ya que uno de los factores puede ser factorizado más.
\ (\ begin {array} {flaqueado}
18x^2 - 56x + 6&=& (9x-1) (2x-6)\\
&=& (9x-1)\ cdot 2 (x-3)\\
&=&2 (9x-1) (x-3) &\ text {(Por la propiedad conmutativa de multiplicación)\)
\ end {array}\)
Los resultados son los mismos, pero es mucho más fácil factorizar un polinomio después de que todos los factores comunes se hayan factorizado primero.
Factor \(3x^2 + x - 14\)
No hay factores comunes. Vemos que el término constante es negativo. Así, los factores de \(-14\) deben tener diferentes signos. Factorial el primer y último término.
Después de algunos juicios, lo vemos \(3x\) y se \(-2\) van a multiplicar.
\(3x^2 + x - 14 = (3x + 7)(x - 2)\)
Factor \(8x^2 - 26xy + 15y^2\) .
Vemos que el término constante es positivo y que el término medio va precedido de un signo menos.
De ahí que los factores de lo
\(15y^2\)
que estamos buscando deben ser ambos negativos.
Factorizar el primer y último término.
Después de algunas pruebas, vemos eso \(4x\) y \(-5y\) se van a multiplicar y \(2x\) y \(-3y\) se van a multiplicar.
\(8x^2 - 26xy + 15y^2 = (4x - 3y)(2x - 5y)\)
Conjunto de práctica A
Factorial lo siguiente, si es posible.
\(2x^2+13x−7\)
- Responder
-
\((2x−1)(x+7)\)
\(3x^2+x−4\)
- Responder
-
\((3x+4)(x−1)\)
\(4a^2−25a−21\)
- Responder
-
\((4a+3)(a−7)\)
\(16b^2−22b−3\)
- Responder
-
\((8b+1)(2b−3)\)
\(10y^2−19y−15\)
- Responder
-
\((5y+3)(2y−5)\)
\(6m^3+40m^2−14m\)
- Responder
-
\(2m(3m−1)(m+7)\)
\(14p^2+31pq−10q^2\)
- Responder
-
\((7p−2q)(2p+5q)\)
\(−24w^2z^2+14wz^3−2z^4\)
- Responder
-
\(−2z^2(4w−z)(3w−z)\)
\(3x^2+6xy+2y^2\)
- Responder
-
no factorizable
A medida que obtienes más práctica factorizando este tipo de polinomios, te vuelves más rápido al elegir las combinaciones adecuadas. ¡Se necesita mucha práctica!
Hay un atajo que puede ayudar a elegir las combinaciones adecuadas. Este proceso no siempre funciona, pero parece ser cierto en muchos casos. Después de que hayas factorizado el primer y último término y estés empezando a buscar las combinaciones adecuadas, comienza con los factores
intermedios
y no los extremos.
Conjunto de Muestras B
Factor \(24x^2 - 41x + 12\)
Factorial el primer y último término.
| \(24x^2\) | \(12\) |
| \(24x, x\) | \(-12, -1\) |
| \(12x, 2x\) | \(-12, -1\) |
| \(8x, 3x\) | \(-6, -2\) |
| \(6x, 4x\) |
En lugar de comenzar con el \(24x, x\) y \(-12, -1\) , elija algunos valores intermedios, \(8x\) y, el y \(3x\) , o el \(6x\) y \(4x\) , o el \(-6\) y \(-2\) , o el \(-4\) y \(-3\) .
\(24x^2 - 41x + 12 = (8x-3)(3x-4)\)
Set de práctica B
Factor \(48x^2+22x−15\) .
- Responder
-
\((6x+5)(8x−3)\)
Factor \(54y^2+39yw−28w^2\) .
- Responder
-
\((9y−4w)(6y+7w)\)
El Método de Factorización de Recoger y Descartar \(ax^2+bx+c\)
Método de recolección y descarte
Considera el polinomio
\(6x^2+x−12\)
. Comenzamos por identificar
\(a\)
y
\(c\)
. En este caso,
\(a=6\)
y
\(c=−12\)
. Empezamos como lo haríamos con
\(a=1\)
.
\(6x^2+x−12: (6x)(6x)\)
Ahora, cómpule
\(a \cdot c\)
.
\(a \cdot c=(6)(−12)=−72\)
Encuentra los factores de
\(−72\)
que se suman a
\(1\)
, el coeficiente de
\(x\)
, el término lineal. Los factores son
\(9\)
y
\(−8\)
. Incluya estos factores entre paréntesis.
\(6x^2+x−12: (6x+9)(6x−8)\)
Pero hemos incluido demasiado. Debemos eliminar el excedente. Factorizar cada paréntesis.
\(6x^2+x−12: 3(2x+3) \cdot 2(3x−4)\)
Desechar los factores que se multiplican a
\(a=6\)
. En este caso,
\(3\)
y
\(2\)
. Nos queda la factorización adecuada.
\(6x^2+x−12=(2x+3)(3x−4)\)
Conjunto de Muestras C
Factor \(10x^2+23x−5\) .
Identificar \(a=10\) y \(b=−5\) .
\(10x^2+23x−5; (10x)(10x)\)
Compute
\(a \cdot c=(10)(−5)=−50\)
Encuentra los factores de
\(−50\)
que se suman a
\(+23\)
, el coeficiente de
\(x\)
, el término lineal. Los factores son
\(25\)
y
\(−2\)
. Coloca estos números entre paréntesis.
\(10x^2+23x−5: (10x+25)(10x−2)\)
Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.
\(10x^2+23x−5: (5)(2x+5)⋅(2)(5x−1)\)
Desechar los factores que se multiplican a
\(a=10\)
. En este caso,
\(5\)
y
\(2\)
.
\(10x^2+23x−5=(2x+5)(5x−1)\)
Factor \(8x^2−30x−27\) .
Identificar \(a=8\) y \(c=−27\) .
\(8x^2−30x−27: (8x)(8x)\)
Compute
\(a \cdot c=(8)(−27)=−216\)
Encuentra los factores de
\(−216\)
que se suman a
\(−30\)
, el coeficiente de
\(x\)
, el término lineal. Esto requiere un poco de reflexión. Los factores son
\(−36\)
y
\(6\)
. Coloca estos números entre paréntesis.
\(8x^2−30x−27: (8x−36)(8x+6)\)
Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.
\(8x^2−30x−27: (4)(2x−9)⋅(2)(4x+3)\)
Desechar los factores que se multiplican a
\(a=8\)
. En este caso,
\(4\)
y
\(2\)
.
\(8x^2−30x−27=(2x−9)(4x+3)\)
Factor \(18x^2−5xy−2y^2\) .
Identificar \(a=18\) y \(c=−2\) .
\(18x^2−5xy−2y^2: (18x)(18x)\)
Compute
\(a \cdot c=(18)(−2)=−36\)
Encuentra los factores de
\(−36\)
que se suman a
\(−5\)
, el coeficiente de
\(xy\)
. En este caso,
\(−9\)
y
\(4\)
. Coloca estos números entre paréntesis, fijando
\(y\)
a cada uno.
\(18x^2−5xy−2y^2: (18x−9y)(18x+4y)\)
Hemos recogido demasiado. Factorizar cada conjunto de paréntesis y eliminar el excedente.
\(18x^2−5xy−2y^2: (9)(2x−y) \cdot (2)(9x+2y)\)
Desechar los factores que se multiplican a
\(a=18\)
. En este caso,
\(9\)
y
\(4\)
.
\(18x^2−5xy−2y^2=(2x−y)(9x+2y)\)
Set de práctica C
Factor \(6x^2+7x−3\) .
- Responder
-
\((3x−1)(2x+3)\)
Factor \(14x^2−31x−10\) .
- Responder
-
\((7x+2)(2x−5)\)
Factor \(48x^2+22x−15\) .
- Responder
-
\((6x+5)(8x−3)\)
Factor \(10x^2−23xw+12w^2\) .
- Responder
-
\((5x−4w)(2x−3w)\)
Ejercicios
Factorizar los siguientes problemas, si es posible.
\(x^2+3x+2\)
- Responder
-
\((x+2)(x+1)\)
\(x^2+7x+12\)
\(2x^2+7x+5\)
- Responder
-
\((2x+5)(x+1)\)
\(3x^2+4x+1\)
\(2x^2+11x+12\)
- Responder
-
\((2x+3)(x+4)\)
\(10x^2+33x+20\)
\(3x^2−x−4\)
- Responder
-
\((3x−4)(x+1)\)
\(3x^2+x−4\)
\(4x^2+8x−21\)
- Responder
-
\((2x−3)(2x+7)\)
\(2a^2−a−3\)
\(9a^2−7a+2\)
- Responder
-
no factorizable
\(16a^2+16a+3\)
\(16y^2−26y+3\)
- Responder
-
\((8y−1)(2y−3)\)
\(3y^2+14y−5\)
\(10x^2+29x+10\)
- Responder
-
\((5x+2)(2x+5)\)
\(14y^2+29y−15\)
\(81a^2+19a+2\)
- Responder
-
no factorizable
\(24x^2+34x+5\)
\(24x^2−34x+5\)
- Responder
-
\((6x−1)(4x−5)\)
\(24x^2−26x−5\)
\(24x^2+26x−5\)
- Responder
-
\((6x−1)(4x+5)\)
\(6a^2+13a+6\)
\(6x^2+5xy+y2\)
- Responder
-
\((3x+y)(2x+y)\)
\(6a^2−ay−y^2\)
Para los siguientes problemas, el trinomio dado ocurre al resolver el problema aplicado correspondiente. Factorizar cada trinomio. No es necesario resolver el problema.
\(5r^2−24r−5\)
Se necesitan 5 horas para remar un bote 12 millas río abajo y luego de regreso. La corriente fluye a razón de 1 milla por hora. ¿A qué ritmo se remó el bote?
- Responder
-
\((5r+1)(r−5)\)
\(x^2+5x−84\)
La longitud de un rectángulo es 5 pulgadas más que el ancho del rectángulo. Si el área del rectángulo es de 84 pulgadas cuadradas, ¿cuál es la longitud y el ancho del rectángulo?
\(x^2+24x−145\)
Un cuadrado mide 12 pulgadas en cada lado. Otro cuadrado se va a dibujar alrededor de esta plaza de tal manera que el área total sea de 289 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es la distancia desde el borde del cuadrado más pequeño hasta el borde del cuadrado más grande? (Las dos plazas tienen el mismo centro.)
- Responder
-
\((x+29)(x−5)\)
\(x^2+8x−20\)
Una mujer desea construir una caja rectangular que esté abierta en la parte superior. Ella desea que tenga 4 pulgadas de alto y tenga una base rectangular cuya longitud sea tres veces la anchura. El material utilizado para la base cuesta $2 por pulgada cuadrada, y el material utilizado para los lados cuesta $1.50 por pulgada cuadrada. La mujer gastará exactamente 120 dólares en materiales. Encuentra la dimensión de la caja (longitud de la base, ancho de la base y altura).
Para los siguientes problemas, factorizar los trinomios si es posible.
\(16x^2−8xy−3y^2\)
- Responder
-
\((4x+y)(4x−3y)\)
\(6a^2+7ab+2b^2\)
\(12a^2+7ab+12b^2\)
- Responder
-
no factorizable
\(9x^2+18xy+8y^2\)
\(8a^2+10ab−6b^2\)
- Responder
-
\(2(4a^2+5ab−3b^2)\)
\(12a^2+54a−90\)
\(12b^4+30b^2a+12a^2\)
- Responder
-
\(6(2b^2+a)(b^2+2a)\)
\(30a^4b^4−3a^2b^2−6c^2\)
\(3a^6−3a^3b^2−18b^4\)
- Responder
-
\(3(a^3+2b^2)(a^3−3b^2)\)
\(20a^2b^2+2abc^2−6a^2c^4\)
\(14a^2z^2−40a^3z^2−46a^4z^2r\)
- Responder
-
\(2a^2z^2(7−20a−23a^2) \text{ or} −2a^2z^2(23a^2+20a−7)\)
Ejercicios para revisión
Simplificar \((a^3b^6)^4\)
Encuentra el producto \(x^2(x-3)(x+4)\)
- Responder
-
\(x^4+x^3−12x^2\)
Encuentra el producto \((5m-3n)^2\)
Resuelve la ecuación \(5(2x−1)−4(x+7)=0\) .
- Responder
-
\(x = \dfrac{11}{2}\)
Factor \(x^5 - 8x^4 + 7x^3\)