25.2: Soluciones por Grafiación
Sistemas de Ecuaciones
Sistemas de Ecuaciones
Una colección de dos ecuaciones lineales en dos variables se denomina sistema de ecuaciones lineales en dos variables , o más brevemente, un sistema de ecuaciones . El par de ecuaciones
\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
5 x-2 y=5\\
x+y=8
\ end {array}\ derecha.\)
es un sistema de ecuaciones. La llave {se usa para denotar que las dos ecuaciones ocurren juntas (simultáneamente).
Solución a un sistema de ecuaciones
Solución a un Sistema
Sabemos que una de las infinitamente muchas soluciones a una ecuación lineal en dos variables es un par ordenado. Un par ordenado que es una solución a ambas ecuaciones en un sistema se llama solución al sistema de ecuaciones . Por ejemplo, el par ordenado \((3, 5)\) es una solución al sistema
\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
5 x-2 y=5\\
x+y=8
\ end {array}\ derecha.\)
ya que \((3, 5)\) es una solución a ambas ecuaciones.
\ (\ begin {array} {surcos a la izquierda}
5x - 2y &= 5 & & x + y &= 8\\
5 (3) - 2 (5) &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? } & 3 + 5 &= 8 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
15 - 10 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? } & 8 &= 8 &\ text {Sí, esto es correcto.}\\
5 &= 5 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
Gráficas de Sistemas de Ecuaciones
Un método para resolver un sistema de ecuaciones es graficando. Sabemos que la gráfica de una ecuación lineal en dos variables es una línea recta. La gráfica de un sistema constará de dos líneas rectas. Cuando se grafican dos líneas rectas, puede resultar una de las tres posibilidades.
Las líneas se cruzan en el punto \(a, b\) . Este punto \((a, b)\) es la solución al sistema correspondiente.
Las líneas son paralelas. No se cruzan. El sistema no tiene solución.
Las líneas son coincidentes (una sobre la otra). Se cruzan en infinitamente muchos puntos. El sistema tiene infinitamente muchas soluciones.
Sistemas independientes, inconsistentes y dependientes
Sistemas Independientes
Los sistemas en los que las líneas se cruzan precisamente en un punto se denominan
sistemas independientes
. En las aplicaciones, los sistemas independientes pueden surgir cuando los datos recopilados son precisos y completos. Por ejemplo,
La suma de dos números es 10 y el producto de los dos números es 21. Encuentra los números.
En esta aplicación, los datos son exactos y completos. La solución es 7 y 3.
Sistemas inconsistentes
Los sistemas en los que las líneas son paralelas se denominan
sistemas inconsistentes
. En las aplicaciones, los sistemas inconsistentes pueden surgir cuando los datos recopilados son contradictorios. Por ejemplo,
La suma de dos números pares es 30 y la diferencia de los mismos dos números es 0. Encuentra los números.
Los datos son contradictorios. No hay solución a esta aplicación.
Sistemas Dependientes
Los sistemas en los que las líneas son coincidentes se denominan
sistemas dependientes
. En las aplicaciones, los sistemas dependientes pueden surgir cuando los datos recopilados están incompletos. Por ejemplo.
La diferencia de dos números es 9 y dos veces un número es 18 más que dos veces el otro.
Los datos están incompletos. Hay infinitamente muchas soluciones.
El Método de Resolver Un Sistema Gráficamente
Para resolver un sistema de ecuaciones gráficamente: Graficar ambas ecuaciones.
- Si las líneas se cruzan, la solución es el par ordenado que corresponde al punto de intersección. El sistema es independiente.
- Si las líneas son paralelas, no hay solución. El sistema es inconsistente.
- Si las líneas son coincidentes, hay infinitamente muchas soluciones. El sistema es dependiente.
Conjunto de Muestras A
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas graficando.
\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
2x + y = 5\\
x+y=2
\ end {array}\ derecha.\)
Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.
1) \(y = 2x + 5\)
2) \(y = -x + 2\)
Grafica cada una de estas ecuaciones:
Las líneas parecen cruzarse en el punto \((-1, 3)\) . La solución a este sistema es \((-1, 3)\) , o
\(x = -1, y = 3\) .
Comprobar: Sustituir \(x - 01, y = 3\) en cada ecuación.
1)
\ (\ begin {array} {surcos a la izquierda}
-2x + y &= 5\\
-2 (-1) + 3 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
2 + 3 &= 5 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
5 &= 5 &\ text {Sí, esto es correcto}
\ end {array}\)
2)
\ (\ begin {array} {flaqueado}
x + y &= 2\\
-1 + 3 &= 2 &\ text {¿Es correcto esto? }\\
2 &= 2 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-x + y = -1\\
-x + y = 2
\ end {array}\ right.\)
Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.
1) \(y = 2x + 5\)
2) \(y = -x + 2\)
Grafica cada una de estas ecuaciones.
Estas líneas son paralelas. Este sistema no tiene solución. Denotamos este hecho escribiendo
inconsistente
.
Estamos seguros de que estas líneas son paralelas porque notamos que tienen la misma pendiente,
\(m = 1\)
para ambas líneas. Las líneas no son coincidentes porque las intercepciones y son diferentes.
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-2x + 3y -2\\
-6x + 9y = -6
\ end {array}\ right.\)
Escribe cada ecuación en forma de pendiente-intersección.
1) \(y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}\)
2) \(y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}\)
Ambas ecuaciones son iguales. Este sistema tiene infinitamente muchas soluciones. Escribimos dependientes .
Conjunto de práctica A
Resuelve cada uno de los siguientes sistemas graficando. Escribe la solución de par ordenado o indica que el sistema es inconsistente, o dependiente.
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + y = 1\\
-x + y = -5
\ end {array}\ right.\)
- Responder
-
\(x=2,y=−3\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-2x + 3y = 6\\
6x - 9y = -18
\ end {array}\ right.\)
- Responder
-
dependiente
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
3x + 5y = 15\\
9x + 15y = 15
\ end {array}\ right.\)
- Contestar
-
inconsistente
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
y = -3\\
x + 2y = -4
\ end {array}\ right.\)
- Contestar
-
\(x=2,y=−3\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, resuelva los sistemas graficando. Escribe la solución de par ordenado, o indica que el sistema es inconsistente o dependiente.
\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
x + y = -5\\
-x + y = 1
\ end {array}\ derecha.\)
- Contestar
-
\((−3,−2)\)
\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
x + y = 4\\
x + y = 0
\ end {array}\ derecha.\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-3x + y = 5\\
-x + y = 3
\ end {array}\ right.\)
- Contestar
-
\((−1,2)\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x - y = -6\\
x + 2y = 0
\ end {array}\ right.\)
\ (\ izquierda\ {\ begin {array} {r}
3x + y = 0\\
4x - 3y = 12
\ end {array}\ derecha.\)
- Contestar
-
\((\dfrac{12}{13}, -\dfrac{36}{13})\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
-4x + y = 7\\
-3x + y = 2
\ end {array}\ right.\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + 3y = 6\\
3x + 4y = 6
\ end {array}\ right.\)
- Contestar
-
Estas coordenadas son difíciles de estimar. Este problema ilustra que el método gráfico no siempre es el más preciso.
\((−6,6)\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x + y = -3\\
4x + 4y = -12
\ end {array}\ right.\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x - 3y = 1\\
4x - 6y = 4
\ end {array}\ right.\)
- Contestar
-
inconsistente
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x + 2y = 3\\
-3x - 6y = -9
\ end {array}\ right.\)
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
x - 2y = 6\\
3x - 6y = 18
\ end {array}\ right.\)
- Contestar
-
dependiente
\ (\ left\ {\ begin {array} {r}
2x + 3y = 6\\
-10x - 15y = 30
\ end {array}\ right.\)
Ejercicios para revisión
Expreso \(0.000426\) en notación científica.
- Contestar
-
\(4.26 + 10^{-4}\)
Encuentra el producto \((7x - 3)^2\) .
Suministrar la palabra faltante. El _____ de una línea es una medida de la inclinación de la línea.
- Contestar
-
pendiente
Suministrar la palabra faltante. Una ecuación de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\) , a\ not = 0\), se llama ecuación.
Construir la gráfica de la ecuación cuadrática \(y = x^2 - 3\)
- Contestar
-