16.4: Propiedades de los números reales
Visión general
- Las propiedades de cierre
- Las propiedades conmutativas
- Las propiedades asociativas
- Las propiedades distributivas
- Las propiedades de identidad
- Las propiedades inversas
Una propiedad de una colección de objetos es una característica que describe la colección. A continuación examinaremos algunas de las propiedades de la colección de números reales. Las propiedades que examinaremos se expresan en términos de suma y multiplicación.
Las propiedades de cierre
Si \(a\) y \(b\) son números reales, entonces \(a + b\) es un número real único, y \(a \cdot b\) es un número real único.
Por ejemplo, 3 y 11 son números reales; \(3 + 11 = 14\) y \(3 \cdot 11 = 33\) , y tanto 14 como 33 son números reales. Si bien esta propiedad parece obvia, algunas cobranzas no se cierran bajo ciertas operaciones. Por ejemplo,
- Los números reales no se cierran bajo división ya que, aunque 5 y 0 son números reales, \(5/0\) y no \(0/0\) son números reales.
- Los números naturales no se cierran bajo resta ya que, aunque 8 es un número natural, no lo \(8 - 8\) es. ( \(8 - 8 = 0\) y 0 no es un número natural).
Las propiedades conmutativas
Dejar \(a\) y \(b\) representar números reales.
Propiedad Conmutativa de Adición:
\(a + b = b + a\)
Propiedad conmutativa de la multiplicación:
\(a \cdot b = b \cdot a\)
Las propiedades conmutativas nos indican que se pueden sumar o multiplicar dos números en cualquier orden sin afectar el resultado.
Conjunto de Muestras A
Los siguientes son ejemplos de las propiedades conmutativas.
\(3 + 4 = 4 + 3\) Ambos iguales 7
\(5 + x = x + 5\) Ambos representan la misma suma.
\(4 \cdot 8 = 8 \cdot 4\) Ambos iguales 32
\(y7 = 7y\) Ambos representan el mismo producto
\(5(a + 1) = (a + 1)5\) Ambos representan el mismo producto
\((x+4)(y+2) = (y+2)(x+4)\) Ambos representan el mismo producto
Conjunto de práctica A
Rellene el () con el número o letra correspondiente para que la declaración sea verdadera. Utilice las propiedades conmutativas.
Problema de práctica \(\PageIndex{1}\)
\(6 + 5 + ( ) + 6\)
- Contestar
-
5
Problema de práctica \(\PageIndex{2}\)
\(m + 12 = 12 + ( )\)
- Contestar
-
\(m\)
Problema de práctica \(\PageIndex{3}\)
\(9 \cdot 7 = ( ) \cdot 9\)
- Contestar
-
7
Problema de práctica \(\PageIndex{4}\)
\(6a = a( )\)
- Contestar
-
6
Problema de práctica \(\PageIndex{5}\)
\(4(k - 5) = ( )4\)
- Contestar
-
\(k - 5\)
Problema de práctica \(\PageIndex{6}\)
\((9a - 1)( ) = (2b + 7)(9a - 1)\)
- Contestar
-
\(2b + 7\)
Las propiedades asociativas
Dejar \(a\) , \(b\) , y \(c\) representar números reales.
Propiedad Asociativa de Adición:
\((a + b) + c = a + (b + c)\)
Propiedad asociativa de la multiplicación:
\((ab)c = a(bc)\)
Las propiedades asociativas nos dicen que podemos agrupar las cantidades como nos plazca sin afectar el resultado.
Conjunto de Muestras B
Los siguientes ejemplos muestran cómo se pueden usar las propiedades asociativas.
Ejemplo \(\PageIndex{7}\)
\((2 + 6) + 1 = 2 + (6 + 1)\)
\(8 + 1 = 2 + 7\)
\(9 = 9\)
Ambos iguales 9
\((3 + x) + 17 = 3 + (x + 17)\)
Ambos representan la misma suma.
\((2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5)\)
\(6 \cdot 5 = 2 \cdot 15\)
\(30 = 30\)
Ambos equivalen a 30
\((y)4 = 9(y4)\)
Ambos representan el mismo producto.
Set de práctica B
Rellena el () para que cada enunciado sea verdadero. Utilice las propiedades asociativas.
\((9 + 2) + 5 = 9 + ( )\)
Solución
\(2 + 5\)
\(x + (5 + y) = ( ) + y\)
Solución
\(x + 5\)
\((11a)6 = 11( )\)
Solución
\(a \cdot 6\)
\([(7m - 2)(m + 3)](m + 4) = (7m - 2)[( ) ( )]\)
Solución
\((m + 3)(m + 4)\)
Conjunto de Muestras C
Simplificar (reorganizar en una forma más simple): \(5x6b8ac4\) .
De acuerdo con la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos hacer una serie de interruptores consecutivos y juntar todos los números y todas las letras juntas.
\(5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 4 \cdot x \cdot b \cdot a \cdot c\)
\(960xbac\) Multiplique los números.
\(960abcx\) Por convención, cuando sea posible, escribiremos todas las letras en orden alfabético.
Set de práctica C
Simplifica cada una de las siguientes cantidades.
\(3a7y9d\)
Solución
\(189ady\)
\(6b8acz4\cdot5\)
Solución
\(960abcz\)
\(4p6qr3(a + b)\)
Solución
\(72pqr(a + b)\)
Las propiedades distributivas
Cuando nos introdujeron por primera vez a la multiplicación vimos que se desarrolló como una descripción para la adición repetida.
\(4 + 4 + 4 = 3 \cdot 4\)
Observe que hay tres 4's, es decir, 4 aparece 3 veces. De ahí, 3 veces 4.
Sabemos que el álgebra es aritmética generalizada. Ahora podemos hacer una generalización importante.
Cuando \(a\) se agrega un número varias \(n\) veces, tenemos:
\(\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{a \text { appears } n \text { times }}\)
Luego, usando la multiplicación como descripción para la adición repetida, podemos reemplazar:
\(\underbrace{a+a+a+\cdots+a}_{n \text { times }}\) con \(na\)
Por ejemplo:
\(x + x + x + x\) se puede escribir como \(4x\) ya que \(x\) se repite \(4\) tiempos añadidos.
\(x + x + x + x = 4x\)
\(r + r\) se puede escribir como \(2r\) ya que \(r\) se agrega repetidamente \(2\) veces.
\(r + r = 2r\)
La propiedad distributiva implicó tanto la multiplicación como la suma. Vamos a reescribir \(4(a + b)\) . Se procede leyendo \(4(a + b)\) como multiplicación: 4 veces la cantidad \((a + b)\) . Esto nos dirige a escribir:
$
\ comenzar {alineado}
4 (a+b) & =( a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b)\\
&=a+b+a+b+a+b+a+b
\ final {alineado}
\]
Ahora usamos la propiedad conmutativa de adición para recolectar todos los \(a\) 's juntos y todos los \(b\) ' s juntos.
$
4 (a+b) =\ underbrackets {a+a+a+a} _ {4 a^ {\ prime} s} +\ underbrackets {b+b+b+b} _ {4 b^ {\ prime} s}
$
Ahora, usando la multiplicación como descripción para la adición repetida, tenemos
$
4 (a+b) =4 a+4 b
$
Hemos distribuido los 4 sobre la suma a ambos
\(a\)
y
\(b\)
\(4(a+b)=4a+4b\)
\(a(b + c) = a\cdot b + a \cdot c\)
\((b + c)a = a \cdot b + a \cdot c\)
La propiedad distributiva es útil cuando no podemos o no deseamos realizar operaciones entre paréntesis.
Conjunto de Muestras D
Utilice la propiedad distributiva para reescribir cada una de las siguientes cantidades.
Ejemplo \(\PageIndex{12}\)
\(2(5+7)=2 \cdot 5+2 \cdot 7 \quad \text { Both equal } 24\)
Ejemplo \(\PageIndex{13}\)
\(6(x + 3) = 6 \cdot x + 6 \cdot 3\) Ambos representan el mismo número.
= \(6x + 18\)
Ejemplo \(\PageIndex{14}\)
\((z + 5)y = zy + 5y = yz + 5y\)
Set de Práctica D
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
Qué propiedad de números reales justifica:
\(a(b + c) = (b + c)a\) ?
- Contestar
-
la propiedad conmutativa de la multiplicación
Utilice la propiedad distributiva para reescribir cada una de las siguientes cantidades.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(3(2 + 1)\)
- Contestar
-
6 + 3
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((x+6)7\)
- Contestar
-
\(7x + 42\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(4(a + y)\)
- Contestar
-
\(4a + 4y\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\((9 + 2)a\)
- Contestar
-
\(9a + 2a\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(a(x + 5)\)
- Contestar
-
\(ax + 5a\)
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(1(x + y)\)
- Contestar
-
\(x + y\)
Las propiedades de identidad
Identidad Aditiva
Al número 0 se le llama
identidad aditiva
ya que cuando se agrega a cualquier número real, conserva la identidad de ese número. El cero es la única identidad aditiva.
Por ejemplo,
\(6 + 0 = 6\)
Identidad Multiplicativa
Al número 1 se le llama la
identidad multiplicativa
ya que cuando multiplica cualquier número real, conserva la identidad de ese número. Una es la única identidad multiplicativa.
Por ejemplo
\(6 \cdot 1 = 6\)
.
Resumimos las propiedades de identidad de la siguiente manera:
Si \(a\) es un número real, entonces:
\(a + 0 = a\) y \(0 + a = a\)
Si \(a\) es un número real, entonces:
\(a \cdot 1 = a\) y \(1 \cdot a = a\)
Las propiedades inversas
Inversos Aditivos
Cuando se suman dos números y el resultado es la identidad aditiva, 0, los números se denominan inversos aditivos entre sí. Por ejemplo, cuando se agrega 3 a −3 el resultado es 0, es decir, \(3+(−3)=0\) . Los números 3 y −3 son inversos aditivos entre sí.
Inversaciones multiplicativas
Cuando dos números se multiplican juntos y el resultado es la identidad multiplicativa, 1, los números se denominan inversos multiplicativos entre sí. Por ejemplo, cuando \(6\) y \(\dfrac{1}{6}\) se multiplican juntos, el resultado es 1, es decir, \(6 \cdot 16 = 1\) . Los números 6 y \(\dfrac{1}{6}\) son inversos multiplicativos entre sí.
Resumimos las propiedades inversas de la siguiente manera:
Las propiedades inversas:
1. Si
\(a\)
hay algún número real, entonces hay un número real único
\(-a\)
, tal que
\(a + (-a) = 0\)
y
\(-a + a = 0\)
Los números
\(a\)
y
\(-a\)
se llaman
inversos aditivos
entre sí.
2. Si
\(a\)
hay algún número real distinto de cero, entonces hay un número real único
\(\dfrac{1}{a}\)
tal que
\(a \cdot \dfrac{1}{a} = 1\)
y
\(\dfrac{1}{a} \cdot a = 1\)
.
Los números
\(a\)
y
\(\dfrac{1}{a}\)
se llaman
inversos multiplicativos
entre sí.
Cantidades en expansión:
Cuando realizamos operaciones como \(6(a + 3) = 6a + 18\) , decimos que estamos ampliando la cantidad \(6(a + 3)\) .
Ejercicios
Utilice la propiedad conmutativa de suma y multiplicación para escribir expresiones para un número igual para los siguientes problemas. No es necesario realizar ningún cálculo.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(x + 3\)
- Contestar
-
\(3+x\)
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(5 + y\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(10x\)
- Contestar
-
\(x10\)
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(18z\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(r6\)
- Contestar
-
\(6r\)
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(ax\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\(xc\)
- Contestar
-
\(cx\)
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(7(2 + b)\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
\(6(s + 1)\)
- Contestar
-
\((s + 1)6\)
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
\((8 + a)(x + 6)\)
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\((x + 16)(a + 7)\)
- Contestar
-
\((a + 7)(x + 16)\)
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\((x + y)(x - y)\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(0.06m\)
- Contestar
-
\(m(0.06)\)
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(x + 3\)
- Contestar
-
\(3+x\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(5(6h + 1)\)
- Contestar
-
\((6h + 1)5\)
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(m(a + 2b)\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(k(10a - b)\)
- Contestar
-
\((10a - b)k\)
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\((21c)(0.008)\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\((-16)(4)\)
- Contestar
-
\((4)(-16)\)
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\((5)(b - 6)\)
Simplificar el uso de la propiedad conmutativa de la multiplicación para los siguientes problemas. No es necesario utilizar la propiedad distributiva.
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(9x2y\)
- Contestar
-
\(18xy\)
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(5a6b\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(2a3b4c\)
- Contestar
-
\(24abc\)
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(5x10y5z\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(1u3r2z5m1n\)
- Contestar
-
\(30mnruz\)
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\(6d4e1f2(g + 2h)\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\((\dfrac{1}{2})d(\dfrac{1}{4})e(\dfrac{1}{2})a\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{16}ade\)
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\(3(a + 6)2(a - 9)6b\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\(1(x + 2y)(6 + z)9(3x + 5y)\)
- Contestar
-
\(9(x + 2y)(6 + z)(3x + 5y)\)
Para los siguientes problemas, utilice la propiedad distributiva para ampliar las cantidades.
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(2(y + 9)\)
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
\(b(r + 5)\)
- Contestar
-
\(br + 5b\)
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(m(u + a)\)
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
\(k(j + 1)\)
- Contestar
-
\(jk + k\)
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
\(x(2y + 5)\)
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
\(z(x + 9w)\)
- Contestar
-
\(xz + 9wz\)
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
\((1 + d)e\)
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
\((8 + 2f)g\)
- Contestar
-
\(8g + 2fg\)
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
\(c(2a + 10b)\)
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
\(15x(2y + 3z)\)
- Contestar
-
\(30xy + 45xz\)
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
\(8y(12a + b)\)
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
\(z(x + y + m)\)
- Contestar
-
\(xz + yz + mz\)
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
\((a + 6)(x + y)\)
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\((x + 10)(a + b + c)\)
- Contestar
-
\(zx + bx + cx + 10a + 10b + 10c\)
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
\(1(x + y)\)
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
\(1(a + 16)\)
- Contestar
-
\(a + 16\)
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
\(0.48(0.34a + 0.61)\)
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
\(21.5(16.2a + 3.8b + 0.7c)\)
- Contestar
-
\(348.3a + 81.7b + 15.05c\)
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
Encuentra el valor de \(4 \cdot 2 + 5(2 \cdot 4 - 6 \div 3) - 2 \cdot 5\) .
Ejercicio \(\PageIndex{49}\)
¿La afirmación es \(3(5 \cdot 3 - 3 \cdot 5) + 6 \cdot 2 - 3 \cdot 4 < 0\) verdadera o falsa?
- Responder
-
false
Ejercicio \(\PageIndex{50}\)
Dibuja una línea numérica que se extienda desde \(-2\) \(2\) y coloque puntos en todos los números enteros entre e incluyendo \(-2\) y \(3\) .
Ejercicio \(\PageIndex{51}\)
Reemplazar el \(*\) por el símbolo de relación apropiado \((<,>)\) . \(-7 * -3\) .
- Responder
-
\(<\)
Ejercicio \(\PageIndex{52}\)
¿Qué números enteros pueden reemplazar \(x\) para que la afirmación \(-2 \le x < 2\) sea verdadera?