19.2: Resolver ecuaciones
Tipos de ecuaciones
Identidad
Algunas ecuaciones son siempre ciertas. Estas ecuaciones se llaman identidades. Las
identidades
son ecuaciones que son verdaderas para todos los valores aceptables de la variable, es decir, para todos los valores en el dominio de la ecuación.
\(5x=5x\)
es cierto para todos los valores aceptables de
\(x\)
.
\(y+1=y+1\)
es cierto para todos los valores aceptables de
\(y\)
.
\(2+5=7\)
es cierto, y no son necesarias sustituciones.
Contradicción
Algunas ecuaciones nunca son ciertas. Estas ecuaciones se llaman contradicciones.
Las contradicciones
son ecuaciones que nunca son verdaderas independientemente del valor sustituido por la variable.
\(x=x+1\)
nunca es cierto para ningún valor aceptable de
\(x\)
.
\(0 ⋅ k=14\)
nunca es cierto para ningún valor aceptable de
\(k\)
.
\(2=1\)
nunca es cierto.
Ecuación Condicional
La verdad de algunas ecuaciones está condicionada al valor elegido para la variable. Tales ecuaciones se llaman ecuaciones condicionales.
Las ecuaciones condicionales
son ecuaciones que son verdaderas para al menos una sustitución de la variable y falsas para al menos una sustitución de la variable.
\(x+6=11\)
es cierto sólo con la condición de que
\(x=5\)
.
\(y−7=−1\)
es cierto sólo con la condición de que\ y=6\).
Soluciones y Ecuaciones Equivalentes
La colección de valores que hacen verdadera una ecuación se denominan soluciones de la ecuación. Una ecuación se resuelve cuando se han encontrado todas sus soluciones.
Ecuaciones Equivalentes
Algunas ecuaciones tienen precisamente la misma colección de soluciones. Tales ecuaciones se denominan
ecuaciones equivalentes
. Las ecuaciones
\(2x+1=7, 2x=6\)
y
\(x=3\)
son ecuaciones equivalentes porque el único valor que hace que cada una sea verdadera es 3.
Conjunto de Muestras A
Dígale por qué cada ecuación es una identidad, una contradicción o condicional.
La ecuación \(x-4 = 6\) es una ecuación condicional ya que será cierta sólo con la condición de que \(x = 10\)
La ecuación \(x−2=x−2\) es una identidad ya que es cierta para todos los valores de \(x\) . Por ejemplo,
si \(x = 5, 5-2 = 5-2\) es cierto
\(x = -7, -7-2 = -7-2\) es verdad
La ecuación \(a+5=a+1\) es una contradicción ya que cada valor de a produce una declaración falsa. Por ejemplo,
si \(a = 8, 8 + 5 = 8 + 1\) es falso
si \(a = -2, -2 + 5 = -2 + 1\) es falso
Conjunto de práctica A
Para cada una de las siguientes ecuaciones, escriba “identidad”, “contradicción” o “condicional”. Si puedes, encuentra la solución haciendo una conjetura educada basada en tus conocimientos de aritmética.
\(x+1=10\)
- Responder
-
condicional, \(x = 9\)
\(y−4=7\)
- Responder
-
condicional, \(y = 11\)
\(5a=25\)
- Responder
-
condicional, \(a = 5\)
\(\dfrac{x}{4} = 9\)
- Responder
-
condicional, \(x = 36\)
\(\dfrac{18}{b} = 6\)
- Responder
-
condicional, \(b = 3\)
\(y−2=y−2\)
- Responder
-
identidad
\(x+4=x−3\)
- Responder
-
contradicción
\(x+x+x=3x\)
- Responder
-
identidad
\(8x=0\)
- Responder
-
condicional, \(x = 0\)
\(m−7=−5\)
- Responder
-
condicional, \(m = 2\)
Ecuaciones Literal
La ley de gas ideal es fácil de recordar y aplicar en la resolución de problemas, siempre y cuando consigas los valores adecuados a
Se resuelve una ecuación para una variable en particular si esa variable por sí sola equivale a una expresión que no contiene esa variable en particular.
Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones literales.
- \(y=2x+7\) . Se soluciona para \(y\) .
- \(d=rt\) . Se soluciona para \(d\) .
- \(I=prt\) . Se soluciona para \(I\) .
- \(z = \dfrac{x-u}{s}\) . Se soluciona para \(z\) .
- \(y+1=x+4\) . Esta ecuación no se resuelve para ninguna variable en particular ya que no se aísla ninguna variable.
Resolviendo Ecuación de la forma \(x+a=b\) y \(x−a=b\)
Recordemos que el signo igual de una ecuación indica que el número representado por la expresión en el lado izquierdo es el mismo que el número representado por la expresión en el lado derecho.
\ (\ begin {array} {ccc}
\ text {Este es el} &\ texto {esto}\\
\ texto {número} &\ texto {igual que} &\ text {número}\
\\ flecha abajo &\ flecha abajo &\ flecha abajo\\
x & = & 6\
x+2 & = & 8\\
x-1 & = & 5
\ end {array}\)
Esto sugiere los siguientes procedimientos:
- Podemos obtener una ecuación equivalente (una ecuación que tiene las mismas soluciones que la ecuación original) sumando el mismo número a ambos lados de la ecuación.
- Podemos obtener una ecuación equivalente restando el mismo número de ambos lados de la ecuación.
Podemos usar estos resultados para aislar x, resolviendo así para x.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
x+a&=&b &\ text {El} a\ text {está asociado con} x\ text {por adición. Deshacer la asociación}\\
x + a - a&=&b - a &\ text {restando} a\ text {de ambos lados}\\
x + 0&=&b - a & a - a = 0\ text {y} 0\ text {es la identidad aditiva.} x + 0 = x.\\
x&=&b - a &\ text {esta ecuación es equivalente a la primera ecuación, y se resuelve para} x
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
x-a&=&b &\ text {El} a\ text {está asociado con} x\ text {por resta. Deshacer la asociación}\\
x - a + a&=&b + a &\ text {agregando} a\ text {a ambos lados}\\
x + 0&=&b + a &-a + a = 0\ text {y} 0\ text {es la identidad aditiva.} x + 0 = x.\\
x&=&b + a &\ text {esta ecuación es equivalente a la primera ecuación, y se resuelve para} x
\ end {array}\)
Para resolver la ecuación
\(x+a=b\)
para
\(x\)
, restar a de ambos lados de la ecuación.
Para resolver la ecuación
\(x−a=b\)
para
\(x\)
, agregue a a ambos lados de la ecuación.
Conjunto de Muestras B
Resolver \(x + 7 = 10\) para \(x\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
x+7&=&10 &7\ text {está asociado con} x\ text {por adición. Deshacer la asociación}\\
x+7 - 7&=&10 - 7 &\ text {restando} 7\ text {de ambos lados}\\
x+0&=&3 &7-7=0\ text {y} 0\ text {es la identidad aditiva.} x + 0 = x\\
x&=&3 &x\ text {está aislada, y la ecuación} x + 7 = 10. \\
&&&\ text {Por lo tanto, estas dos ecuaciones tienen la misma solución.} \\
&&&\ text {La solución a} x = 3\ text {es claramente} 3. \\
&&&\ text {Así, la solución a} x + 7 = 10\ text {es también} 3.
\ end {array}\)
Cheque: Sustituto \(3\) \(x\) en la ecuación original.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
x + 7&=&10\\
3+7&=&10&\ text {¿Es esto correcto?} \\
10&=&10&\ text {Sí, esto es correcto}
\ end {array}\)
Resolver \(m - 2 = -9\) para \(m\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
m-2&=-9&2\ text {se asocia con} m\ text {por resta. Deshacer la asociación}\\
m-2+2&=-9+2&\ text {agregando} 2\ text {de ambos lados.}\\
m+0&=-7&-2+2=0\ text {y} 0\ text {es la identidad aditiva.} m+0=m.\\
m&=-7
\ end {array}\)
Cheque: Sustituto \(-7\) \(m\) en la ecuación original.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
m-2&=&-9\\
-7-2&=&-9&\ text {¿Es correcto esto? }\\
-9&=&-9&\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
Resolver
\(y - 2.181 = -16.915\)
para
\(y\)
.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
y-2.181&=&-16.915\\
y-2.181+2.181&=&-16.915+2.181\\
y&=&-14.734\
\ end {array}\)
Resolver \(y + m = s\) para \(y\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
y+m&=&s&m\ text {se asocia con} y {por adición. Deshacer la asociación}\\
y+m-m&=&s-m&\ text {restando} m\ text {de ambos lados}\\
y+0&=&s-m&m-m=0\ text {y} 0\ text {es la identidad aditiva.} y+0=y.\\
y&=&s-m
\ end {array}\)
Cheque: Sustituto \(s-m\) \(y\) en la ecuación original.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
y+m&=&s\\
s-m+m&=&s&\ text {¿Es esto correcto? }\\
s&=&s&\ text {Verdadero. Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
Resolver \(k-3h=-8h+5\) para \(k\) .
\ (\ begin {array} {Flushleft}
k-3h&=&8h+5&3h\ text {se asocia con} k\ text {por resta. Deshacer la asociación}\\
k-3h+3h&=&-8h+5+3h&\ text {agregando} 3h\ text {a ambos lados.}\\
k+0&=&-5h+5&-3h+3h=0\ text {y} 0\ text {es la identidad aditiva.} k+0=k.\
k&=&-5h+5
\ end {array}\)
Set de práctica B
Resolver \(y−3=8\) para \(y\) .
- Responder
-
\(y = 11\)
Resolver \(x + 9 = -4\) para \(x\)
- Responder
-
\(x = -13\)
Resolver \(m + 6 = 0\) para \(m\)
- Responder
-
\(m = -6\)
Resolver (g - 7.2 = 1.3\) para \(g\)
- Responder
-
\(g = 8.5\)
Resolver \(f + 2d = 5d\) para \(f\) .
- Responder
-
\(f = 3d\)
Resolver \(x + 8y = 2y - 1\) para \(x\)
- Responder
-
\(x = -6y - 1\)
Resolver \(y + 4x - 1 = 5x + 8\) para \(y\) .
- Responder
-
\(y = x + 9\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, clasifique cada una de las ecuaciones como identidad, contradicción o ecuación condicional.
\(m+6=15\)
- Responder
-
condicional
\(y−8=−12\)
\(x+1=x+1\)
- Responder
-
identidad
\(k−2=k−3\)
\(g+g+g+g=4g\)
- Responder
-
identidad
\(x+1=0\)
Para los siguientes problemas, determinar cuáles de las ecuaciones literales se han resuelto para una variable. Escribe “resuelto” o “no resuelto”.
\(y=3x+7\)
- Responder
-
resuelto
\(m=2k+n−1\)
\(4a=y−6\)
- Responder
-
no resuelto
\(hk=2k+h\)
\(2a=a+1\)
- Responder
-
no resuelto
\(5m=2m−7\)
\(m=m\)
- Responder
-
no resuelto
Para los siguientes problemas, resolver cada una de las ecuaciones condicionales.
\(h−8=14\)
\(k+10=1\)
- Responder
-
\(k = -9\)
\(m−2=5\)
\(y+6=−11\)
- Responder
-
\(y=−17\)
\(y−8=−1\)
\(x+14=0\)
- Responder
-
\(x=−14\)
\(m−12=0\)
\(g+164=−123\)
- Responder
-
\(g=−287\)
\(h−265=−547\)
\(x+17=−426\)
- Responder
-
\(x=−443\)
\(h−4.82=−3.56\)
\(y+17.003=−1.056\)
- Responder
-
\(y=−18.059\)
\(k+1.0135=−6.0032\)
Resolver \(n+m=4\) para \(n\) .
- Responder
-
\(n=4−m\)
Resolver \(P+3Q−8=0\) para \(P\) .
Resolver \(a+b−3c=d−2f\) para \(b\) .
- Responder
-
\(b=−a+3c+d−2f\)
Resolver \(x−3y+5z+1=2y−7z+8\) para \(x\) .
Resolver \(4a−2b+c+11=6a−5b\) para \(c\) .
- Responder
-
\(c=2a−3b−11\)
Ejercicios para revisión
Simplificar \((4x^5y^2)^3\)
Escribe \(\dfrac{20x^3y^7}{5x^5y^3}\) para que solo aparezcan exponentes positivos.
- Responder
-
\(\dfrac{4y^4}{x^2}\)
Escriba el número de términos que aparecen en la expresión \(5x^2+2x−6+(a+b)\) , y luego enumerarlos.
Encuentra el producto \((3x-1)^2\) .
- Responder
-
\(9x^2-6x+1\)
Especificar el dominio de la ecuación \(y = \dfrac{5}{x-2}\)