19.7: Desigualdades lineales en una variable
Desigualdades
Relaciones de Desigualdad
Hemos descubierto que una ecuación es una forma matemática de expresar la relación de igualdad entre cantidades. No todas las relaciones necesitan ser relaciones de igualdad, sin embargo. Ciertamente el número de seres humanos en la tierra es mayor a 20. Además, el estadounidense promedio consume menos de 10 gramos de vitamina C todos los días. Este tipo de relaciones no son relaciones de igualdad, sino más bien, relaciones de desigualdad .
Desigualdades Lineales
Desigualdad Lineal
Una desigualdad lineal es una declaración matemática de que una expresión lineal es mayor o menor que otra expresión lineal.
Se utiliza la siguiente notación para expresar relaciones de desigualdad:
\(>\) Estrictamente mayor que
\(<\) Estrictamente menos que
\(\ge\) Mayor o igual a
\(\le\) Menor o igual a
Tenga en cuenta que la expresión \(x > 12\) tiene infinitamente muchas soluciones. Cualquier número estrictamente mayor a 12 satisfará la declaración. Algunas soluciones son \(13, 15, 90, 12.1, 16.3\) y \(102.51\) .
Conjunto de Muestras A
Las siguientes son desigualdades lineales en una variable.
1.
\(x \leq 12\)
2.
\(x+7>4\)
3.
\(y+3 \geq 2 y-7\)
4.
\(P+26<10(4 P-6)\)
5.
\(\dfrac{2 r-9}{5}>15\)
Las siguientes no son desigualdades lineales en una variable.
1.
\(x^{2}<4\)
El término
\(x^{2}\)
es cuadrático, no lineal.
2.
\(x \leq 5 y+3\)
Hay dos variables. Se trata de una desigualdad lineal en dos variables.
3.
\(y+1 \neq 5\)
Aunque el símbolo
\(\neq\)
ciertamente expresa una desigualdad, se acostumbra utilizar únicamente los símbolos
\(<,>, \leq, \geq\)
.
Una ecuación lineal, sabemos, puede tener exactamente una solución, infinitamente muchas soluciones, o ninguna solución. Especular sobre el número de soluciones de una desigualdad lineal. ( Pista: Considere las desigualdades \(x<x−6\) y \(x\ge9\) .)
Una desigualdad lineal puede tener infinitamente muchas soluciones, o ninguna solución.
El álgebra de las desigualdades lineales
Las desigualdades pueden resolverse básicamente por los mismos métodos que las ecuaciones lineales. Hay una excepción importante que discutiremos en el ítem 3 del álgebra de las desigualdades lineales.
Dejar \(a, b\) , y \(c\) representar números reales y asumir que:
\(a < b\) (o \(a > b\) )
Entonces, si \(a < b\) :
-
\(a+c < b+c\)
y
\(a-c < b-c\)
.
Si algún número real se suma o resta de ambos lados de una desigualdad, el sentido de la desigualdad permanece sin cambios. -
Si
\(c\)
es un número real
positivo
, entonces si
\(a < b\)
,
\(ac < bc\) y \(\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}\) .
Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número positivo, el sentido de la desigualdad permanece sin cambios. -
Si
\(c\)
es un número real
negativo
, entonces si
\(a < b\)
,
\(ac > bc\) y \(\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}\)
Si ambos lados de una desigualdad se multiplican o dividen por el mismo número negativo , el signo de desigualdad debe invertirse (cambiar de dirección) para que la desigualdad resultante sea equivalente a la desigualdad original. (Ver problema 4 en el siguiente conjunto de ejemplos.)
Por ejemplo, considere la desigualdad \(3 < 7\) .
Porque
\(3<7,\)
si se agrega 8 a ambos lados, obtenemos
\(3+8<7+8\)
\ (
11<15
\)
True
Porque \(3 < 7\) , si se resta 8 de ambos lados, obtenemos:
\(3-8 < 7-8\)
\(-5 < -1\)
Cierto
Porque \(3 < 7\) , si ambos lados se multiplican por 8 (un número positivo), obtenemos:
\(8(3) > 8(7)\)
\(24 < 56\)
Cierto
Porque \(3<7\) , si ambos lados se multiplican por −8 (un número negativo), obtenemos
\((−8)3>(−8)7\)
Observe el cambio de dirección del signo de desigualdad.
\(−24>−56\)
Cierto
Si hubiéramos olvidado invertir la dirección del signo de desigualdad habríamos obtenido la afirmación incorrecta \(−24<−56\) .
Porque \(3<7\) , si ambos lados están divididos por 8 (un número positivo), obtenemos
\(\dfrac{3}{8} < \dfrac{7}{8}\)
Cierto
Porque \(3 < 7\) , si ambos lados están divididos por -8 (un número negativo), obtenemos:
\(\dfrac{3}{-8} > frac{7}{-8}\)
Es cierto, ya que \(-.375 > .875\)
Conjunto de Muestras B
Resolver las siguientes desigualdades lineales. Dibuja una recta numérica y coloca un punto en cada solución.
\(3x > 15\) Divide ambos lados por 3. El 3 es un número positivo, por lo que no necesitamos revertir el sentido de la desigualdad.
\(x > 5\)
Así, todos los números estrictamente mayores a 5 son soluciones a la desigualdad \(3x > 15\)
\(2y-1 \le 16\) Agrega 1 a ambos lados.
\(2y \le 17\) Dividir ambos lados 2.
\(y \le \dfrac{17}{2}\)
\(-8x + 5 < 14\) Restar 5 ambos de ambos lados.
\(-8x < 9\) Divide ambos lados por -8. Debemos revertir el sentido de la desigualdad ya que estamos divididos por un número neagtivo.
\(x > -\dfrac{9}{8}\)
\(5-3(y+2) < 6y - 10\)
\(5-3y-6 < 6y-10\)
\(-3y-1 < 6y-10\)
\(-9y < -9\)
\(y > 1\)
\(\dfrac{2z+7}{-4} \ge -6\)
Multiplicar por -4
\(2x+7 \le 24\)
Observe el cambio en el sentido de la desigualdad.
\(2z \le 17\)
\(z \le \dfrac{17}{2}\)
Set de práctica B
Resolver las siguientes desigualdades lineales.
\(y−6≤5\)
- Contestar
-
\(y≤11\)
\(x+4>9\)
- Contestar
-
\(x>5\)
\(4x−1≥15\)
- Contestar
-
\(x≥4\)
\(−5y+16≤7\)
- Contestar
-
\(y \ge \dfrac{9}{5}\)
\(7(4s−3)<2s+8\)
- Contestar
-
\(s < \dfrac{29}{2}\)
\(5(1−4h)+4<(1−h)2+6\)
- Contestar
-
\(h > \dfrac{1}{18}\)
\(18≥4(2x−3)−9x\)
- Contestar
-
\(x≥−30\)
\(-\dfrac{3b}{16} \le 4\)
- Contestar
-
\(b \ge \dfrac{-64}{3}\)
\(\dfrac{-7z+10}{-12} < -1\)
- Contestar
-
\(z < -\dfrac{2}{7}\)
\(-x -\dfrac{2}{3} \le \dfrac{5}{6}\)
- Contestar
-
\ (x\ ge\ dfrac {-3} {2}
Desigualdades compuestas
Desigualdad compuesta
Otro tipo de desigualdad es la desigualdad compuesta . Una desigualdad compuesta es de la forma:
\(a < x < b\)
En realidad hay dos declaraciones aquí. El primer enunciado es \(a<x\) . El siguiente enunciado es \(x<b\) . Cuando leemos esta afirmación decimos " \(a\) es menor que” \(x\) , luego seguimos diciendo “y \(x\) es menor que” \(b\) .
Con sólo mirar la desigualdad podemos ver que el número \(x\) está entre los números \(a\) y \(b\) . La desigualdad compuesta \(a<x<b\) indica “entremedias”. Sin cambiar el significado, se \(a<x\) puede leer el enunciado \(x>a\) . (Seguramente, si el número \(a\) es menor que el número \(x\) , el número \(x\) debe ser mayor que el número \(a\) .) Así, podemos leer \(a<x<b\) como " \(x\) es mayor que a y al mismo tiempo es menor que” \(b\) . Por ejemplo:
\(4 < x < 9\) .
La letra \(x\) es algún número estrictamente entre \(4\) y \(9\) . De ahí que \(x\) sea mayor que \(4\) y, a la vez, menor que \(9\) . Los números \(4\) y no \(9\) están incluidos por lo que utilizamos círculos abiertos en estos puntos.
\(-2 < z < 0\) .
Los \(z\) soportes para algún número entre \(-2\) y \(0\) . De ahí que \(z\) sea mayor que \(-2\) pero también menor que \(0\) .
\(1 < x + 6 < 8\) .
La expresión \(x + 6\) representa algún número estrictamente entre \(1\) y \(8\) . De ahí, \(x + 6\) representa algún número estrictamente mayor que \(1\) , pero menor que \(8\) .
\(\dfrac{1}{4} \le \dfrac{5x-2}{6} \le \dfrac{7}{9}\) .
El término \(\dfrac{5x-2}{6}\) representa algún número entre e incluyendo \(\dfrac{1}{4}\) y \(\dfrac{7}{9}\) . Por lo tanto, \(\dfrac{5x-2}{6}\) representa algún número mayor o igual a \(\dfrac{1}{4}\) pero menor o igual a \(\dfrac{7}{9}\) .
Considerar el problema 3 anterior, \(1<x+6<8\) . El comunicado dice que la cantidad \(x+6\) está entre \(1\) y \(8\) . Esta afirmación será cierta sólo para ciertos valores de \(x\) . Por ejemplo, si \(x=1\) , la afirmación es verdadera ya que \(1<1+6<8\) . No obstante, si \(x=4.9\) , la afirmación es falsa ya que claramente no \(1<4.9+6<8\) es cierta. La primera de las desigualdades se satisface ya que \(1\) es menor que \(10.9\) , pero la segunda desigualdad no se satisface ya que no \(10.9\) es menor que \(8\) .
Nos gustaría saber exactamente para qué valores de \(x\) la afirmación \(1<x+6<8\) son ciertos. Procedemos usando las propiedades discutidas anteriormente en esta sección, pero ahora debemos aplicar las reglas a las tres partes en lugar de solo las dos partes en una desigualdad regular.
Conjunto de Muestras C
Resolver \(1 < x + 6 < 8\) .
\(1−6<x+6−6<8−6\) Restar \(6\) de las tres partes.
\(-5 < x < 2\)
Así, si \(x\) hay algún número estrictamente entre \(-5\) y \(2\) , la afirmación \(1 < x+6 < 8\) será cierta.
Resolver \(-3 < \dfrac{-2x-7}{5} < 8\)
\(-3 < \dfrac{-2x-7}{5}(5) < 8(5)\) Multiplique cada parte por \(5\) .
\(-15 < -2x-7 < 40\) . Agregar \(7\) a las tres partes.
\(-8 < -2x < 47\) Divide las tres partes por \(-2\) .
\(4 > x > -\dfrac{47}{2}\) Recuerde invertir la dirección de los signos de desigualdad.
\(-\dfrac{47}{2} < x < 4\) . Es costumbre (pero no necesario) escribir la desigualdad para que las flechas de desigualdad apunten a la izquierda.
Así, si \(x\) hay algún número entre \(-\dfrac{47}{2}\) y \(4\) , se satisfará la desigualdad original.
Set de práctica C
Encontrar los valores de x que satisfagan la desigualdad continua dada.
\(4<x−5<12\)
- Contestar
-
\(9<x<17\)
\(−3<7y+1<18\)
- Contestar
-
\(-\dfrac{4}{7} < y < \dfrac{17}{7}\)
\(0≤1−6x≤7\)
- Contestar
-
\(-1 \le x \le \dfrac{1}{6}\)
\(-5 \le \dfrac{2x+1}{3} \le 10\)
- Contestar
-
\(-8 \le x \le \dfrac{29}{2}\)
\(9 < \dfrac{-4x+5}{-2} < 14\)
- Contestar
-
\(\dfrac{23}{4} < x < \dfrac{33}{4}\)
¿ \(4<x<−1\) Tiene una solución?
- Contestar
-
No
Ejercicios
Para los siguientes problemas, resolver las desigualdades.
\(x+7<12\)
- Contestar
-
\(x<5\)
\(y−5≤8\)
\(y+19≥2\)
- Contestar
-
\(y≥−17\)
\(x−5>16\)
\(3x−7≤8\)
- Contestar
-
\(x≤3\)
\(9y−12≤6\)
\(2z+8<7\)
- Contestar
-
\(z < -\dfrac{1}{2}\)
\(4x−14>21\)
\(−5x≤20\)
- Contestar
-
\(x≥−4\)
\(−8x<40\)
\(−7z<77\)
- Contestar
-
\(z>−11\)
\(−3y>39\)
\(\dfrac{x}{4} \ge 12\)
- Contestar
-
\(x≥48\)
\(\dfrac{y}{7} > 3\)
\(\dfrac{2x}{9} \ge 4\)
- Contestar
-
\(x≥18\)
\(\dfrac{5y}{2} \ge 15\)
\(\dfrac{10x}{3} \le 4\)
- Contestar
-
\(x \le \dfrac{6}{5}\)
\(-\dfrac{5y}{4} < 8\)
\(\dfrac{-12b}{5} < 24\)
- Contestar
-
\(b>−10\)
\(\dfrac{-6a}{7} \le -24\)
\(\dfrac{8x}{-5} > 6\)
- Contestar
-
\(x < -\dfrac{15}{4}\)
\(\dfrac{14y}{-3} \ge -18\)
\(\dfrac{21y}{-8} < -2\)
- Contestar
-
\(y < \dfrac{16}{21}\)
\(−3x+7≤−5\)
\(−7y+10≤−4\)
- Contestar
-
\(y≥2\)
\(6x−11<31\)
\(3x−15≤30\)
- Contestar
-
\(x≤15\)
\(-2y + \dfrac{4}{3} \le -\dfrac{2}{3}\)
\(5(2x−5)≥15\)
- Contestar
-
\(x≥4\)
\(4(x+1)>−12\)
\(6(3x−7)≥48\)
- Contestar
-
\(x≥5\)
\(3(−x+3)>−27\)
\(−4(y+3)>0\)
- Responder
-
\(y<−3\)
\(−7(x−77)≤0\)
\(2x−1<x+5\)
- Responder
-
\(x<6\)
\(6y+12≤5y−1\)
\(3x+2≤2x−5\)
- Responder
-
\(x≤−7\)
\(4x+5>5x−11\)
\(3x−12≥7x+4\)
- Responder
-
\(x≤−4\)
\(−2x−7>5x\)
\(−x−4>−3x+12\)
- Responder
-
\(x>8\)
\(3−x≥4\)
\(5−y≤14\)
- Responder
-
\(y≥−9\)
\(2−4x≤−3+x\)
\(3[4+5(x+1)]<−3\)
- Responder
-
\(x<−2\)
\(2[6+2(3x−7)]≥4\)
\(7[−3−4(x−1)]≤91\)
- Responder
-
\(x≥−3\)
\(−2(4x−1)<3(5x+8)\)
\(−5(3x−2)>−3(−x−15)+1\)
- Responder
-
\(x<−2\)
\(−.0091x≥2.885x−12.014\)
¿Qué números satisfacen la condición: dos veces un número más uno es mayor que tres negativos?
- Responder
-
\(x>−2\)
¿Qué números satisfacen la condición: ocho más de tres veces un número es menor o igual a catorce?
Un número es cinco veces mayor que otro número. La diferencia entre estos dos números es menor a veinticuatro. ¿Cuáles son los valores más grandes posibles para los dos números? ¿Hay un valor más pequeño posible para cualquiera de los números?
- Responder
-
Primer número: cualquier número estrictamente menor que 6.
Segundo número: cualquier número estrictamente menor a 30.
No hay valor más pequeño posible para ninguno de los dos números.
No hay mayor valor posible para ninguno de los dos números.
El área de un rectángulo se encuentra multiplicando la longitud del rectángulo por el ancho del rectángulo. Si la longitud de un rectángulo es de 8 pies, ¿cuál es la medida más grande posible para el ancho si debe ser un número entero (número entero positivo) y el área debe ser menor de 48 pies cuadrados?
Ejercicios para revisión
Simplificar \((x^2y^3z^2)^5\)
- Responder
-
\(x^{10}y^{15}z^{10}\)
Simplificar \(−[−(−|−8|)]\) .
Encuentra el producto. \((2x−7) (x+4)\) .
- Responder
-
\(2x^2 + x - 28\)
El veinticinco por ciento de un número es \(12.32\) . ¿Cuál es el número?
El perímetro de un triángulo es de 40 pulgadas. Si la longitud de cada una de las dos patas es exactamente el doble de la longitud de la base, ¿cuánto dura cada pata?
- Responder
-
16 pulgadas