21.2: Graficar ecuaciones lineales y desigualdades en una variable
Gráficas
Hasta el momento en nuestro estudio del álgebra, hemos desarrollado y utilizado varios métodos para obtener soluciones a ecuaciones lineales tanto en una como en dos variables. Muy a menudo es útil obtener una imagen de las soluciones a una ecuación. Estas imágenes se llaman gráficas y pueden revelar información que puede no ser evidente solo a partir de la ecuación.
La representación geométrica (imagen) de las soluciones a una ecuación se llama la gráfica de la ecuación.
Ejes, sistemas de coordenadas y cotas
Axis
La estructura básica de la gráfica es el eje . Es con respecto al eje donde se localizan todas las soluciones a una ecuación. El tipo de eje más fundamental es la recta numérica .
La línea numérica es un eje
Tenemos las siguientes reglas generales respecto a los ejes.
Número de variables y número de ejes
- Una ecuación en una variable requiere un eje.
- Una ecuación en dos variables requiere dos ejes.
- Una ecuación en tres variables requiere tres ejes.
- ... Una ecuación en nn variables requiere nn ejes.
Siempre dibujaremos un eje como línea recta, y si se requiere más de un eje, los dibujaremos para que todos sean mutuamente perpendiculares (las líneas que forman los ejes estarán en ángulos de 90° entre sí).
Un sistema de ejes construidos para graficar una ecuación se llama sistema de coordenadas .
La Frase, Graficando una Ecuación La frase que grafica una ecuación se usa con frecuencia y debe interpretarse como que significa ubicar geométricamente las soluciones a una ecuación.
Relacionar el número de variables y el número de ejes
No empezaremos realmente a graficar ecuaciones hasta la Sección 7.3 , pero en los siguientes ejemplos, relacionaremos el número de variables en una ecuación con el número de ejes en el sistema de coordenadas.
1. Gráficas unidimensionales:
- Si queremos graficar la ecuación \(5x+2=17\) , necesitaríamos construir un sistema de coordenadas que consista en un solo eje (una sola línea numérica) ya que la ecuación consiste en una sola variable. Etiquetamos el eje con la variable que aparece en la ecuación.
- Podríamos interpretar una ecuación en una variable como dar información en un espacio unidimensional. Dado que vivimos en el espacio tridimensional, el espacio unidimensional puede ser difícil de imaginar. Los objetos en el espacio unidimensional solo tendrían longitud, sin ancho ni profundidad.
2. Gráficas bidimensionales:
Para graficar una ecuación en dos variables como
\(y=2x–3y\)
, necesitaríamos construir un sistema de coordenadas consistente en dos líneas numéricas mutuamente perpendiculares
(ejes).
Llamamos
origen
a la intersección de los dos ejes y la etiquetamos con un 0. Los dos ejes son simplemente líneas numéricas; uno dibujado horizontalmente, otro dibujado verticalmente.
Recordemos que una ecuación en dos variables requiere de una solución para ser un par de números. Las soluciones se pueden escribir como pares ordenados \((x,y)\) . Ya que la ecuación \(y=2x–3\) involucra las variables \(x\) y \(y\) , etiquetamos un eje \(x\) y el otro eje \(y\) . En matemáticas, se acostumbra etiquetar el eje horizontal con la variable independiente y el eje vertical con la variable dependiente.
Podríamos interpretar ecuaciones en dos variables como dar información en el espacio bidimensional. Los objetos en el espacio bidimensional tendrían longitud y anchura, pero no profundidad.
3. Gráficas tridimensionales:
Una ecuación en tres variables, tales como \(3x^2–4y^2+5z=0\) , requiere tres ejes mutuamente perpendiculares, uno para cada variable. Construiríamos el siguiente sistema de coordenadas y gráfica.
Podríamos interpretar ecuaciones en tres variables como información sobre el espacio tridimensional.
4. Gráficas cuatridimensionales
Para graficar una ecuación en cuatro variables, tales como \(3x–2y+8x–5w=–7\) , requeriría cuatro líneas numéricas mutuamente perpendiculares. Estas gráficas se dejan a la imaginación.
Podríamos interpretar ecuaciones en cuatro variables como dar información en el espacio de cuatro dimensiones. Los objetos de cuatro dimensiones tendrían longitud, anchura, profundidad y alguna otra dimensión.
Agujeros Negros
Estos otros espacios son difíciles de imaginar para nosotros, pero la existencia de “agujeros negros” hace que la posibilidad de otros universos de una, dos, cuatro o n dimensiones no sea del todo improbable. Aunque puede ser difícil para nosotros personas “3-D” viajar en otro espacio dimensional, ¡al menos podríamos estar bastante seguros de que nuestras matemáticas seguirían funcionando (ya que no se restringe a solo tres dimensiones)!
Graficar en una dimensión
Graficar una ecuación lineal en una variable implica resolver la ecuación, luego ubicar la solución en el eje (línea numérica) y marcar un punto en esta ubicación. Hemos observado que las gráficas pueden revelar información que puede no ser evidente a partir de la ecuación original. Las gráficas de ecuaciones lineales en una variable no arrojan mucha, si la hay, información, sino que sirven como base para gráficas de mayor dimensión (gráficas de dos variables y tres variables).
Conjunto de Muestras A
Grafica la ecuación \(3x–5=10\) .
Resolver la ecuación \(x\) y construir un eje. Como solo hay una variable, necesitamos un solo eje. Etiquete el eje \(x\) .
\ (\ begin {alineado}
3x-5&=&10\\
3x&=&15\
x&=&5
\ end {alineado}\)
Grafica la ecuación \(3x + 4 + 7x - 1 + 8 = 31\) .
Resolviendo la ecuación que obtenemos,
\ (\ begin {alineado}
10x+11&=&31\\
10x&+&20\
x&=&2
\ end {alineado}\)
Conjunto de práctica A
Graficar la ecuación \(4x + 1 = -7\)
- Contestar
-
\(x = -2\)
Conjunto de Muestras B
Grafica la desigualdad lineal \(4x /ge 12\) .
Se procede resolviendo la desigualdad.
\ (\ begin {alineado}
4x&\ ge&12&\ text {Divide cada lado por} 4\\
x&\ ge&3
\ end {alineado}\)
Como sabemos, cualquier valor mayor o igual a 3 satisfará la desigualdad original. De ahí que tengamos infinitamente muchas soluciones y, así, infinitamente muchos puntos para marcar en nuestra gráfica.
El círculo cerrado a 3 significa que 3 se incluye como solución. Todos los puntos que comienzan en 3 y en la dirección de la flecha son soluciones.
Grafica la desigualdad lineal \(-2y-1 > 3\) .
Primero resolvemos la desigualdad.
\ (\ begin {aligned}
-2y-1& > &3\\
-2y& > &4\\
y& < &-2&\ text {El símbolo de desigualdad invertió dirección porque dividimos por} -2
\ end {alineado}\)
Así, todos los números estrictamente menores que \(-2\) satisfarán la desigualdad y, por lo tanto, son soluciones.
Dado que \(-2\) en sí mismo no se debe incluir como solución, dibujamos un círculo abierto en \(−2\) . Las soluciones están a la izquierda de \(−2\) por lo que dibujamos una flecha apuntando a la izquierda de \(−2\) para denotar la región de soluciones.
Grafica la desigualdad \(-2 \le y+1 < 1\) .
Reconocemos esta desigualdad como una desigualdad compuesta y la resolvemos restando 1 de las tres partes.
\ (\ begin {alineado}
-2\ le y+1 < 1\\
-3\ le y < 0
\ end {alineado}\)
Así, la solución son todos los números entre −3 y 0, más precisamente, todos los números mayores o iguales a −3 pero estrictamente menores que 0.
Grafica la ecuación lineal \(5x = -125\) .
La solución es \(x = -25\) . Escalando el eje por unidades de \(5\) más que \(1\) , obtenemos
Set de práctica B
Graficar la desigualdad \(3x \le 18\)
- Contestar
-
\(x \le 6\)
Grafica la desigualdad \(−3m+1<13\) .
- Contestar
-
\(m>−4\)
Grafica la desigualdad \(−3≤x−5<5\) .
- Contestar
-
\(2≤x<10\)
Grafica la ecuación lineal \(−6y=480\) .
- Contestar
-
\(y=−80\)
Ejercicios
Para los problemas 1 - 25, graficar las ecuaciones lineales y las desigualdades.
\(4x+7=19\)
- Contestar
-
\(x=3\)
\(8x−1=7\)
\(2x+3=4\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{1}{2}\)
\(x+3=15\)
\(6y+3=y+8\)
- Contestar
-
\(y=1\)
\(2x=0\)
\(4+1−4=3z\)
- Contestar
-
\(z = \dfrac{1}{3}\)
\(x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{3}\)
\(7r = \dfrac{1}{4}\)
- Responder
-
\(r = \dfrac{1}{28}\)
\(2x - 6 = \dfrac{2}{5}\)
\(x+7≤12\)
- Responder
-
\(x≤5\)
\(y−5<3\)
\(x+19>2\)
- Responder
-
\(x>−17\)
\(z+5>11\)
\(3m−7≤8\)
- Responder
-
\(m≤5\)
\(−5t≥10\)
\(−8x−6≥34\)
- Responder
-
\(x≤−5\)
\(\dfrac{x}{4} < 2\)
\(\dfrac{y}{7} \le 3\)
- Responder
-
\(y≤21\)
\(\dfrac{2y}{9} \ge 4\)
\(\dfrac{-5y}{8} \le 4\)
- Responder
-
\(y \ge -\dfrac{32}{5}\)
\(\dfrac{-6a}{7} < -4\)
\(−1≤x−3<0\)
- Responder
-
\(2≤x<3\)
\(6≤x+4≤7\)
\(−12<−2x−2≤−8\)
- Responder
-
\(3≤x<5\)
Ejercicios para revisión
Simplificar \((3x^8y^2)^3\) .
Enumerar, en su caso, los factores comunes en la expresión \(10x^4−15x^2+5x^6\) .
- Responder
-
\(5x^2\)
Resolver la desigualdad \(−4(x+3)<−3x+1\) .
Resuelve la ecuación \(y=−5x+8\) si \(x=−2\) .
- Responder
-
\((−2,18)\)
Resuelve la ecuación \(2y=5(3x+7)\) si \(x=−1\) .