21.6: Graficar ecuaciones en forma de pendiente-intercepción
Uso de la pendiente y la intercepción para graficar una línea
Cuando se da una ecuación lineal en la forma general , \(ax+by=c\) , observamos que un enfoque gráfico eficiente fue el método de intercepción. Dejamos \(x=0\) y calculamos el valor correspondiente de \(y\) , luego let \(y=0\) y calculamos el valor correspondiente de \(x\) .
Cuando una ecuación se escribe en la forma pendiente-intercepción \(y=mx+b\) ,, también hay formas eficientes de construir la gráfica. Una forma, pero menos eficiente, es elegir dos o tres \(x\) valores y calcular para encontrar los \(y\) valores correspondientes. Sin embargo, los cálculos son tediosos, consumen mucho tiempo y pueden generar errores. Otra forma, el método que se indica a continuación, hace uso de la pendiente y la \(y\) -intercepción para graficar la línea. Es rápido, sencillo y no implica cálculos.
- Trazar la \(y\) -intercepción \((0, b)\) .
- Determinar otro punto usando la pendiente m.
- Dibuja una línea a través de los dos puntos.
Recordemos que definimos la pendiente \(m\) como la relación \(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) . El numerador \(y_2−y_1\) representa el número de unidades que \(y\) cambia y el denominador \(x_2 - x_1\) representa el número de unidades que \(x\) cambia. Supongamos \(m=pq\) . Entonces \(p\) es el número de unidades que \(y\) cambia y \(q\) es el número de unidades que \(x\) cambia. Dado que estos cambios ocurren simultáneamente, comience con su lápiz en la \(y\) -intercepción, mueva \(p\) las unidades en la dirección vertical apropiada y luego mueva \(q\) las unidades en la dirección horizontal apropiada. Marcar un punto en esta ubicación.
Conjunto de Muestras A
Grafica las siguientes líneas.
\(y = \dfrac{3}{4}x + 2\)
1. El \(y\) -intercepto es el punto \((0,2)\) . Así, la línea cruza las \(2\) unidades \(y\) del eje por encima del origen. Marcar un punto en \((0,2)\) .
2. La pendiente, \(m\) , es \(\dfrac{3}{4}\) . Esto significa que si empezamos en algún punto de la línea y movemos nuestras \(3\) unidades de lápiz hacia arriba y luego \(4\) las unidades a la derecha, volveremos a estar en la línea. Empezar en un punto conocido, la \(y\) -intercepción \((0, 2)\) . Mueva \(3\) las unidades hacia arriba, luego mueva \(4\) las unidades a la derecha. Marcar un punto en esta ubicación. (Tenga en cuenta también que\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {-3} {-4}\). Esto significa que si empezamos en algún punto de la línea y movemos nuestras \(3\) unidades de lápiz hacia abajo y \(4\) las unidades a la izquierda , volveremos a estar en la línea. Tenga en cuenta también eso \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{\dfrac{3}{4}}{1}\) . Esto significa que si empezamos en algún punto de la línea y nos movemos a la \(1\) unidad derecha, tendremos que subir \(\dfrac{3}{4}\) unidad para volver a la línea.)
3. Dibuja una línea a través de ambos puntos.
\(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}\)
1. El \(y\) -intercepto es el punto \((0, \dfrac{7}{2})\) . Así, la línea cruza las \(\dfrac{7}{2}\) unidades \(y\) del eje por encima del origen. Marcar un punto \((0, \dfrac{7}{2})\) , o \((0, 3\dfrac{1}{2})\) .
2. La pendiente, \(m\) , es \(-\dfrac{1}{2}\) . Podemos escribir \(-\dfrac{1}{2}\) como \(\dfrac{-1}{2}\) . Así, partimos en un punto conocido, la \(y\) -intercepción \((0, 3\dfrac{1}{2})\) , nos desplazamos hacia abajo una unidad (debido a la \(-1\) ), luego movemos \(2\) las unidades a la derecha. Marcar un punto en esta ubicación.
3. Dibuja una línea a través de ambos puntos.
\(y = \dfrac{2}{5}x\)
1. Podemos poner esta ecuación en pendiente-intercepción explícita escribiéndola como \(y = \dfrac{2}{5}x + 0\) .
El \(y\) -intercepto está en el punto \((0, 0)\) , el origen. Esta línea va justo por el origen.
2. La pendiente, \(m\) , es \(\dfrac{2}{5}\) . Comenzando por el origen, subimos \(2\) unidades, luego nos movemos a las \(5\) unidades correctas. Marcar un punto en esta ubicación.
3. Dibuja una línea a través de los dos puntos.
\(y = 2x - 4\)
1. El \(y\) -intercepto es el punto \((0, -4)\) . Así, la línea cruza las \(4\) unidades \(y\) del eje por debajo del origen. Marcar un punto en \((0, -4)\) .
2. La pendiente, \(m\) , es \(2\) . Si escribimos la pendiente como una fracción \(2 = \dfrac{2}{1}\) ,, podemos leer cómo hacer los cambios. Comience en el punto conocido \((0, -4)\) , mueva hacia arriba \(2\) las unidades, luego mueva la \(1\) unidad derecha. Marcar un punto en esta ubicación.
3. Dibuja una línea a través de los dos puntos.
Conjunto de práctica A
Utilice la \(y\) -intercepción y la pendiente para graficar cada línea.
\(y = \dfrac{-2}{3} + 4\)
- Responder
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\(y = \dfrac{3}{4}x\)
- Responder
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Ejercicios
Para los siguientes problemas, grafica las ecuaciones.
\(y = \dfrac{2}{3} + 1\)
- Responder
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\(y = \dfrac{1}{4}x - 2\)
\(y = 5x - 4\)
- Responder
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\(y = -\dfrac{6}{5} - 3\)
\(y = \dfrac{3}{2} - 5\)
- Responder
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\(y = \dfrac{1}{5}x + 2\)
\(y = -\dfrac{8}{3} + 4\)
- Responder
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\(y = -\dfrac{10}{3} + 6\)
\(y = 1x - 4\)
- Responder
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\(y = -2x + 1\)
\(y = x + 2\)
- Responder
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\(y = \dfrac{3}{5}x\)
\(y = -\dfrac{4}{3}\)
- Responder
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\(y = x\)
\(y = -x\)
- Responder
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\(3y−2x=−3\)
\(6x+10y=30\)
- Responder
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\(x+y=0\)
Ejercicios para revisión
Resolver la desigualdad \(2 - 4x \ge x - 3\)
- Responder
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\(x≤1\)
Graficar la desigualdad \(y+3>1.\)
Grafica la ecuación \(y = -2\) .
- Responder
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Determinar la pendiente y \(y\) -intercepción de la línea \(−4y−3x=16\) .
Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos \((−1, 5)\) y \((2, 3)\) .
- Responder
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\(m = \dfrac{-2}{3}\)