21.8: Graficar desigualdades lineales en dos variables

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Ubicación de Soluciones

En nuestro estudio de ecuaciones lineales en dos variables, observamos que todas las soluciones a la ecuación, y solo las soluciones a la ecuación, se ubicaron en la gráfica de la ecuación. Ahora queremos determinar la ubicación de las soluciones a las desigualdades lineales en dos variables. Las desigualdades lineales en dos variables son desigualdades de las formas:

\ (\ comenzar {alineado}
hacha + por\ le c & ax + por\ ge c\\
ax + por < c & ax + by > c
\ end {alineado}\)

Half-Planos

Una línea recta dibujada a través del plano divide el plano en dos medios planos

Línea límite

La línea recta se llama la línea límite.

$Una línea recta que divide un plano xy en dos medios planos.$

Solución a una desigualdad en dos variables

Recordemos que al trabajar con ecuaciones lineales en dos variables, observamos que los pares ordenados que producían declaraciones verdaderas cuando se sustituían en una ecuación se llamaban soluciones a esa ecuación. Podemos hacer una declaración similar para las desigualdades en dos variables. Decimos que una desigualdad en dos variables tiene una solución cuando se ha encontrado un par de valores tal que cuando estos valores se sustituyen en la desigualdad resulta una declaración verdadera.

La ubicación de las soluciones en el plano

Al igual que con las ecuaciones, las soluciones a las desigualdades lineales tienen ubicaciones particulares en el plano. Todas las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables se ubican en uno y solo en un semiplano completo. Por ejemplo, considere la desigualdad

$2x + 3y \le 6$

$Una línea recta en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas cero, dos y tres, cero. La ecuación de esta línea es dos x más tres y igual a seis. Los puntos que se encuentran en la región sombreada debajo de la línea son las soluciones de desigualdad dos x más tres y menos de igual a seis.$

Todas las soluciones a la desigualdad$2x + 3y \le 6$ se encuentran en el semiplano sombreado.

Point$A(1, -1)$ es una solución ya que:

\ (\ comenzar {alineado}
2x + 3y\ le 6\\
2 (1) + 3 (-1)\ le 6? \\
2 - 3\ le 6?
-1\ le 6. \ text {Verdadero.}
\ end {alineado}\)

$B(2, 5)$El punto no es una solución ya que:

\ (\ comenzar {alineado}
2x + 3y\ le 6\\
2 (2) + 3 (5)\ le 6? \\
4 + 15\ le 6?
19\ le 6. \ text {Falso}
\ end {alineado}\)

Método de Graficar

El método de graficar desigualdades lineales en dos variables es el siguiente:

Grafique la línea límite (considere la desigualdad como una ecuación, es decir, reemplace el signo de desigualdad por un signo igual).
1. Si la desigualdad es$≤$ o$≥$, dibuje la línea límite sólida. Esto significa que los puntos en la línea son soluciones y forman parte de la gráfica.
2. Si la desigualdad es$<$ o$>$, dibuje la línea límite punteada. Esto significa que los puntos en la línea no son soluciones y no forman parte de la gráfica.
Determine qué medio plano sombrear eligiendo un punto de prueba.
1. Si, cuando se sustituye, el punto de prueba produce una declaración verdadera, sombree el medio plano que lo contiene.
2. Si, cuando se sustituye, el punto de prueba produce una declaración falsa, sombree el medio plano en el lado opuesto de la línea límite.

Conjunto de Muestras A

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Gráfica$3x - 2y \ge -4$.

1. Grafica la línea límite. La desigualdad es$\ge$ así que trazaremos la línea sólida. Considerar la desigualdad como una ecuación.

$3x - 2y = -4$

$x$

$y$

$(x, y)$

$0$

$\dfrac{-4}{3}$

$2$

$0$

$(0, 2)$

($frac{-4}{3}, 0)$

$Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con coordenadas cero, dos y negativo cuatro sobre tres, cero. Los puntos de línea límite en esta línea se incluyen en las soluciones de desigualdad.$

2. Elija un punto de prueba. El más fácil es$(0, 0)$. Sustituir$(0, 0)$ a la desigualdad original.

\ (\ begin {array} {Flashleft}
3x - 2y\ ge -4\\
3 (0) - 2 (0)\ ge -4? \\
0 - 0\ ge -4?
0\ ge -4. \ text {Verdadero}
\ end {array}\)

Sombra el medio plano que contiene$(0, 0)$.

$Una línea recta en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas cero, dos y negativo cuatro sobre tres, cero. Los puntos que se encuentran en la región a la derecha de la línea son soluciones de la desigualdad y los puntos que se encuentran en la región dejada a la línea no son soluciones de la desigualdad. El punto de prueba cero, cero pertenece a la región sombreada.$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Gráfica$x + y - 3 < 0$

1. Grafica la línea límite:$x + y - 3 = 0$. La desigualdad es$ < $ así que dibujaremos la línea punteada.

$Una gráfica de una línea discontinua que pasa por dos puntos con coordenadas cero, tres y tres, cero. Los puntos de línea límite en esta línea no están incluidos en las soluciones de la desigualdad.$

2. Elija un punto de prueba, digamos$(0, 0)$.

\ (\ begin {array} {Flashleft}
x + y - 3 < 0\\
0 + 0 - 3 < 0? \\
-3 < 0. \ text {Verdadero}
\ end {array}\)

$Una línea recta discontinua en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas cero, tres y tres, cero. La región a la izquierda de la línea está sombreada. El punto de prueba cero, cero pertenece a la región sombreada.$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Gráfica$y \le 2x$.

1. Grafica la línea límite$y = 2x$. La desigualdad es$\le$, así vamos a trazar la línea sólida.

$Una gráfica de una línea que pasa por dos puntos con las coordenadas cero, cero y uno, dos. Los puntos de línea límite en esta línea se incluyen en las soluciones de la desigualdad.$

2. Elija un punto de prueba, digamos$(0, 0)$.

\ (\ begin {array} {Flashleft}
y\ le 2x\\
0\ le 2 (0)? \\
0\ le 0. \ text {Verdadero}
\ end {array}\)

Sombra el medio plano que contiene$(0, 0)$. ¡No podemos! $(0, 0)$está justo en la línea! Escoge otro punto de prueba, digamos$(1, 6)$.

\ (\ begin {array} {Flashleft}
y\ le 2x\\
6\ le 2 (1)\\
6\ le 2. \ text {Falso}
\ end {array}\)

Sombra el medio plano en el lado opuesto de la línea de límite.

$Una línea recta en un plano xy que pasa por dos puntos con las coordenadas cero, cero y uno, dos. Los puntos que se encuentran en la región a la derecha de la línea son soluciones de la desigualdad y los puntos que se encuentran en la región izquierda a la línea no son soluciones de la inecalidad.El punto de prueba cero, cero pertenece a la región sombreada donde como otro punto de prueba uno, seis no pertenece a la región sombreada.$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Gráfica$y > 2$.

1. Grafica la línea límite$y = 2$. La desigualdad es$ >$ así que dibujaremos la línea punteada.

$Una gráfica de una línea discontinua paralela al eje x y pasando por punto con coordenadas cero, dos.$

2. Realmente no necesitamos un punto de prueba. ¿Dónde está$y > 2$? ¡Por encima de la línea$y = 2$! Cualquier punto por encima de la línea tiene claramente una$y$ coordenada -mayor que$2$

$Una línea recta discontinua en un plano xy paralelo al eje x y que pasa por punto con coordenadas cero, dos. La región por encima de la línea está sombreada.$

Conjunto de práctica A

Resolver las siguientes desigualdades graficando.

Problema de práctica$\PageIndex{1}$

$-3x + 2y \le 4$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea recta en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas cero, dos y dos, cinco. La región a la derecha de la línea está sombreada.$

Problema de práctica$\PageIndex{2}$

$x−4y<4$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea recta discontinua en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas cero, negativo uno y cuatro, cero. La región por encima de la línea está sombreada.$

Problema de práctica$\PageIndex{3}$

$3x+y>0$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea recta discontinua en un plano xy que pasa por dos puntos con las coordenadas cero, cero y uno, negativo tres. La región derecha a la línea está sombreada.$

Problema de práctica$\PageIndex{4}$

$x≥1$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea recta en un plano xy paralelo al eje y pasa por un punto con las coordenadas uno, cero. La región derecha a la línea está sombreada.$

Ejercicios

Resolver las desigualdades graficando.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$y<x+1$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea discontinua en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas cero, uno y negativo uno, cero. La región debajo de la línea está sombreada.$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$x+y≤1$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$−x+2y+4≥0$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas cero, negativo dos y cuatro, cero. La región por encima de la línea está sombreada.$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$−x+5y−10<0$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$−3x+4y>−12$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea discontinua en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas cero, negativo tres y cuatro, cero. La región por encima de la línea está sombreada.$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$2x+5y−15≥0$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$y≤4$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea paralela al eje x en un plano xy. La línea cruza el eje y en y es igual a cuatro. La región debajo de la línea está sombreada.$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$x≥2$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$x≤0$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Un plano de coordenadas xy con la región a la izquierda del eje y está sombreado.$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$x−y<0$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$x+3y≥0$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Responder: $Una línea en un plano xy que pasa por dos puntos con coordenadas negativas tres, uno y tres, negativo uno. La región por encima de la línea está sombreada.$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$−2x+4y>0$

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Ejercicios para revisión

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Grafica la desigualdad$−3x+5≥−1$.

$Una línea horizontal con flechas en ambos extremos.$

Responder: $Una línea numérica con flechas en cada extremo, etiquetada de tres a tres negativos, en incrementos de uno. Hay un círculo abierto a las dos. Una línea oscura se origina desde este círculo, y se dirige hacia la izquierda de dos.$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Suministrar la palabra faltante. La representación geométrica (imagen) de las soluciones a una ecuación se llama la de la ecuación.

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Suministrar el denominador:$m = \dfrac{y_2-y_1}{?}$

Responder: $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Grafica la ecuación$y=−3x+2$.

$Un plano xy con líneas de cuadrícula, etiquetado negativo cinco y cinco en ambos ejes.$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Escribe la ecuación de la línea que tiene pendiente$4$ y pasa por el punto$(−1, 2)$.

Responder: $y=4x+6$

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Línea límite

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

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Problema de práctica\(\PageIndex{2}\)

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