21.8: Graficar desigualdades lineales en dos variables
Ubicación de Soluciones
En nuestro estudio de ecuaciones lineales en dos variables, observamos que todas las soluciones a la ecuación, y solo las soluciones a la ecuación, se ubicaron en la gráfica de la ecuación. Ahora queremos determinar la ubicación de las soluciones a las desigualdades lineales en dos variables. Las desigualdades lineales en dos variables son desigualdades de las formas:
\ (\ comenzar {alineado}
hacha + por\ le c & ax + por\ ge c\\
ax + por < c & ax + by > c
\ end {alineado}\)
Una línea recta dibujada a través del plano divide el plano en dos medios planos
La línea recta se llama la línea límite.
Solución a una desigualdad en dos variables
Recordemos que al trabajar con ecuaciones lineales en dos variables, observamos que los pares ordenados que producían declaraciones verdaderas cuando se sustituían en una ecuación se llamaban soluciones a esa ecuación. Podemos hacer una declaración similar para las desigualdades en dos variables. Decimos que una desigualdad en dos variables tiene una solución cuando se ha encontrado un par de valores tal que cuando estos valores se sustituyen en la desigualdad resulta una declaración verdadera.
La ubicación de las soluciones en el plano
Al igual que con las ecuaciones, las soluciones a las desigualdades lineales tienen ubicaciones particulares en el plano. Todas las soluciones a una desigualdad lineal en dos variables se ubican en uno y solo en un semiplano completo. Por ejemplo, considere la desigualdad
\(2x + 3y \le 6\)
Todas las soluciones a la desigualdad \(2x + 3y \le 6\) se encuentran en el semiplano sombreado.
Point \(A(1, -1)\) es una solución ya que:
\ (\ comenzar {alineado}
2x + 3y\ le 6\\
2 (1) + 3 (-1)\ le 6? \\
2 - 3\ le 6?
-1\ le 6. \ text {Verdadero.}
\ end {alineado}\)
\(B(2, 5)\) El punto no es una solución ya que:
\ (\ comenzar {alineado}
2x + 3y\ le 6\\
2 (2) + 3 (5)\ le 6? \\
4 + 15\ le 6?
19\ le 6. \ text {Falso}
\ end {alineado}\)
Método de Graficar
El método de graficar desigualdades lineales en dos variables es el siguiente:
-
Grafique la línea límite (considere la desigualdad como una ecuación, es decir, reemplace el signo de desigualdad por un signo igual).
- Si la desigualdad es \(≤\) o \(≥\) , dibuje la línea límite sólida . Esto significa que los puntos en la línea son soluciones y forman parte de la gráfica.
- Si la desigualdad es \(<\) o \(>\) , dibuje la línea límite punteada . Esto significa que los puntos en la línea no son soluciones y no forman parte de la gráfica.
-
Determine qué medio plano sombrear eligiendo un punto de prueba.
- Si, cuando se sustituye, el punto de prueba produce una declaración verdadera, sombree el medio plano que lo contiene.
- Si, cuando se sustituye, el punto de prueba produce una declaración falsa, sombree el medio plano en el lado opuesto de la línea límite.
Conjunto de Muestras A
Gráfica \(3x - 2y \ge -4\) .
1. Grafica la línea límite. La desigualdad es \(\ge\) así que trazaremos la línea sólida . Considerar la desigualdad como una ecuación.
\(3x - 2y = -4\)
| \(x\) | \(y\) | \((x, y)\) |
|
\(0\) \(\dfrac{-4}{3}\) |
\(2\) \(0\) |
\((0, 2)\) ( \(frac{-4}{3}, 0)\) |
2. Elija un punto de prueba. El más fácil es \((0, 0)\) . Sustituir \((0, 0)\) a la desigualdad original.
\ (\ begin {array} {Flashleft}
3x - 2y\ ge -4\\
3 (0) - 2 (0)\ ge -4? \\
0 - 0\ ge -4?
0\ ge -4. \ text {Verdadero}
\ end {array}\)
Sombra el medio plano que contiene \((0, 0)\) .
Gráfica \(x + y - 3 < 0\)
1. Grafica la línea límite: \(x + y - 3 = 0\) . La desigualdad es \( < \) así que dibujaremos la línea punteada.
2. Elija un punto de prueba, digamos \((0, 0)\) .
\ (\ begin {array} {Flashleft}
x + y - 3 < 0\\
0 + 0 - 3 < 0? \\
-3 < 0. \ text {Verdadero}
\ end {array}\)
Gráfica \(y \le 2x\) .
1. Grafica la línea límite \(y = 2x\) . La desigualdad es \(\le\) , así vamos a trazar la línea sólida .
2. Elija un punto de prueba, digamos \((0, 0)\) .
\ (\ begin {array} {Flashleft}
y\ le 2x\\
0\ le 2 (0)? \\
0\ le 0. \ text {Verdadero}
\ end {array}\)
Sombra el medio plano que contiene \((0, 0)\) . ¡No podemos! \((0, 0)\) está justo en la línea! Escoge otro punto de prueba, digamos \((1, 6)\) .
\ (\ begin {array} {Flashleft}
y\ le 2x\\
6\ le 2 (1)\\
6\ le 2. \ text {Falso}
\ end {array}\)
Sombra el medio plano en el lado opuesto de la línea de límite.
Gráfica \(y > 2\) .
1. Grafica la línea límite \(y = 2\) . La desigualdad es \( >\) así que dibujaremos la línea punteada.
2. Realmente no necesitamos un punto de prueba. ¿Dónde está \(y > 2\) ? ¡ Por encima de la línea \(y = 2\) ! Cualquier punto por encima de la línea tiene claramente una \(y\) coordenada -mayor que \(2\)
Conjunto de práctica A
Resolver las siguientes desigualdades graficando.
\(-3x + 2y \le 4\)
- Responder
-
\(x−4y<4\)
- Responder
-
\(3x+y>0\)
- Responder
-
\(x≥1\)
- Responder
-
Ejercicios
Resolver las desigualdades graficando.
\(y<x+1\)
- Responder
-
\(x+y≤1\)
\(−x+2y+4≥0\)
- Responder
-
\(−x+5y−10<0\)
\(−3x+4y>−12\)
- Responder
-
\(2x+5y−15≥0\)
\(y≤4\)
- Responder
-
\(x≥2\)
\(x≤0\)
- Responder
-
\(x−y<0\)
\(x+3y≥0\)
- Responder
-
\(−2x+4y>0\)
Ejercicios para revisión
Grafica la desigualdad \(−3x+5≥−1\) .
- Responder
-
Suministrar la palabra faltante. La representación geométrica (imagen) de las soluciones a una ecuación se llama la de la ecuación.
Suministrar el denominador: \(m = \dfrac{y_2-y_1}{?}\)
- Responder
-
\(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
Grafica la ecuación \(y=−3x+2\) .
Escribe la ecuación de la línea que tiene pendiente \(4\) y pasa por el punto \((−1, 2)\) .
- Responder
-
\(y=4x+6\)