22.3: Reducción de expresiones racionales
La lógica detrás del proceso
Cuando se trabaja con expresiones racionales, a menudo es mejor escribirlas de la forma más simple posible. Por ejemplo, la expresión racional
\[\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 6x + 8} \nonumber\]
se puede reducir a la expresión más simple \(\dfrac{x+2}{x-4}\) para todos \(x\) excepto \(x = 2, 4\) .
De nuestra discusión sobre la igualdad de fracciones en la Sección 8.2, sabemos que \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) cuando \(ad=bc\) . Este hecho nos permite deducir eso, si \(k≠0, \dfrac{ak}{bk} = \dfrac{a}{b}\) , desde \(akb = abk\) (recordemos la propiedad conmutativa de la multiplicación). Pero este hecho significa que si un factor (en este caso, \(k\) ) es común tanto al numerador como al denominador de una fracción, podemos eliminarlo sin cambiar el valor de la fracción.
\[\dfrac{ak}{bk} = \dfrac{a \not k}{b \not k} = \dfrac{a}{b} \nonumber\]
Cancelación
El proceso de eliminación de factores comunes comúnmente se llama cancelación .
\(\dfrac{16}{40}\) se puede reducir a \(\dfrac{2}{5}\) .
Proceso:
\(\dfrac{16}{40} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5}\)
Eliminar los tres factores de \(1\) ; \(\dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{2} \cdot \dfrac{2}{2}\) .
\(\dfrac{\not 2 \cdot \not 2 \cdot \not 2 \cdot 2}{\not 2 \cdot \not 2 \cdot \not 2 \cdot 5} = \dfrac{2}{5}\)
Observe que en \(\dfrac{2}{5}\) , no hay factor común al numerador y denominador.
\(\dfrac{111}{148}\) se puede reducir a \(\dfrac{3}{4}\) . Proceso:
\(\dfrac{111}{148} = \dfrac{3 \cdot 37}{4 \cdot 37}\)
Eliminar el factor de \(1\) ; \(\dfrac{37}{37}\) .
\(\dfrac{3 \cdot \cancel{37}}{4 \cdot \cancel{37}}\) .
\(\dfrac{3}{4}\)
Observe que en \(\dfrac{3}{4}\) , no hay otro factor común al numerador y denominador.
\(\dfrac{3}{9}\) se puede reducir a \(\dfrac{1}{3}\) . Proceso:
\(\dfrac{3}{9} = \dfrac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}\) .
Eliminar el factor de \(1\) ; \(\dfrac{3}{3}\) .
\(\dfrac{\not 3 \cdot 1}{\not 3 \cdot 3} = \dfrac{1}{3}\)
Observe que en no \(\dfrac{1}{3}\) hay factor común al numerador y denominador.
\(\dfrac{5}{7}\) no se puede reducir ya que no hay factores comunes al numerador y denominador.
Los problemas 1, 2 y 3 mostrados anteriormente podrían reducirse todos. El proceso en cada reducción incluyó los siguientes pasos:
- Se factorizaron tanto el numerador como el denominador.
- Se anotaron factores que eran comunes tanto al numerador como al denominador y se eliminaron dividiéndolos.
Sabemos que podemos dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero, pero ¿por qué deberíamos poder dividir tanto el numerador como el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero? La razón es que cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo es 1, y que si un número se multiplica por 1, se deja sin cambios.
Considera la fracción \(\dfrac{6}{24}\) . Multiplique esta fracción por \(1\) . Esto está escrito \(\dfrac{6}{24} \cdot 1\) . Pero \(1\) se puede reescribir como \(\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{6}}\) .
\(\dfrac{6}{24} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{6}} = \dfrac{6 \cdot \dfrac{1}{6}}{24 \cdot \dfrac{1}{6}} = \dfrac{1}{4}\) .
La respuesta, \(\dfrac{1}{4}\) , es la forma reducida. Observe que en no \(\dfrac{1}{4}\) hay factor común tanto al numerador como al denominador. Este razonamiento proporciona justificación para la siguiente regla.
Multiplicar o dividir el numerador y denominador por el mismo número distinto de cero no cambia el valor de una fracción.
El Proceso
Ahora podemos exponer un proceso para reducir una expresión racional.
- Factorizar completamente el numerador y el denominador.
- Dividir el numerador y denominador por todos los factores que tengan en común, es decir, eliminar todos los factores de 1.
Se dice que una expresión racional se reduce a términos más bajos cuando el numerador y el denominador no tienen factores en común.
Conjunto de Muestras A
Reducir las siguientes expresiones racionales.
\(\dfrac{15x}{20x}\) Factor.
\(\dfrac{15x}{20x} = \dfrac{5 \cdot 3 \cdot x}{5 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x}\) . Los factores que son comunes tanto al numerador como al denominador son \(5\) y \(x\) . Dividir cada uno por \(5x\) .
\(\dfrac{\cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{x}}{\cancel{5} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{x}} = \dfrac{3}{4}, x \not = 0\) .
Es útil trazar una línea a través de los factores divididos.
\(\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 6x + 8}\) . Factor.
\(\dfrac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(x-4)}\) . El factor que es común tanto al numerador como al denominador es \(x-2\) . Dividir cada uno por \(x-2\) .
\(\dfrac{(x+2)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x-4)} = \dfrac{x+2}{x-4}, x \not = 2, 4\) .
La expresión \(\dfrac{x-2}{x-4}\) es la forma reducida ya que no hay factores comunes tanto al numerador como al denominador. Si bien hay un \(x\) en ambos, es un término común , no un factor común , y por lo tanto no se puede dividir.
PRECAUCIÓN - Este es un error común: ¡ \(\dfrac{x-2}{x-4} = \dfrac{\cancel{x}-2}{\cancel{x}-4} = \dfrac{2}{3}\) es incorrecto!
\(\dfrac{a+2b}{6a+12b}\) . Factor.
\(\dfrac{a+2b}{6(a+2b)} = \dfrac{\cancel{a+2b}}{6 \cancel{(a+2b)}} = \dfrac{1}{6}, a \not = -2b\) .
Dado que
\(a+2b\)
es un factor común tanto para el numerador como para el denominador, dividimos ambos por
\(a+2b\)
. Ya que
\(\dfrac{(a+2b)}{(a+2b)} = 1\)
, nos metemos
\(1\)
en el numerador.
A veces podemos reducir una expresión racional mediante el uso de la regla de división de exponentes.
\(\dfrac{8x^2y^5}{4xy^2}\) . Factorizar y usar la regla \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\) .
\(\dfrac{8x^2y^5}{4xy^2} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}x^{2-1}y^{5-2}\)
\( = 2xy^3, x \not = 0, y \not = 0\)
\(\dfrac{-10x^3a(x^2-36)}{2x^3-10x^2-12x}\) . Factor.
\ (\ begin {alineado}
\ dfrac {-10x^3a (x^2-36)} {2x^3-10x^2-12x} &=\ dfrac {-5\ cdot 2x^3a (x+6) (x-6)} {2x (x^2 - 5x - 6)}\\
&=\ dfrac {-5\ cdot 2x^3a (x+6) (x-6)} {2x (x-6) (x+1)}\\
&=\ dfrac {-5\ cdot\ cancel {2} x^ {\ cancel {3}} a (x+6) (x-6)} {\ cancelar {2}\ cancelar {x}\ cancelar {(x-6) } (x+1)}\\
&=\ dfrac {-5x^2a (x+6)} {x-1}, x\ not = -1, 6
\ end {alineado}\)
\(\dfrac{x^2 - x - 12}{-x^2 + 2x + 8}\) . Ya que es más conveniente tener los términos principales de un polinomio positivo, factor fuera \(-1\) del denominador.
\(\dfrac{x^2 - x - 12}{-(x^2 - 2x - 8)}\) . Reescribe esto.
\(-\dfrac{x^2 - x - 12}{x^2 - 2x - 8}\) . Factor
\(-\dfrac{\cancel{(x-4)}(x+3)}{\cancel{(x-4)}(x+2)}\)
\(-\dfrac{x+3}{x+2} = \dfrac{-(x+3)}{x+2} = \dfrac{-x-3}{x+2}, x \not = -2, 4\)
\(\dfrac{a-b}{b-a}\) . El numerador y el denominador tienen los mismos términos pero ocurren con signos opuestos. Factor \(-1\) desde el denominador.
\(\dfrac{a-b}{-(-b+a)} = \dfrac{a-b}{-(a-b)} = -\dfrac{\cancel{a-b}}{\cancel{a-b}} = -1, a \not = b\)
Conjunto de práctica A
Reducir cada una de las siguientes fracciones a términos más bajos.
\(\dfrac{30y}{35y}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{6}{7}\)
\(\dfrac{x^2-9}{x^2+5x+6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x-3}{x+2}\)
\(\dfrac{x+2b}{4x+8b}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{18a^3b^5c^7}{3ab^3c^5}\)
- Contestar
-
\(6a^2b^2c^2\)
\(\dfrac{-3a^4+75a^2}{2a^3-16a^2+30a}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-3a(a+5)}{2(a-3)}\)
\(\dfrac{x^2-5x+4}{-x^2+12x-32}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-x+1}{x-8}\)
\(\dfrac{2x-y}{y-2x}\)
- Contestar
-
\(-1\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, reducir cada expresión racional a los términos más bajos.
\(\dfrac{6}{3x-12}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2}{(x-4)}\)
\(\dfrac{8}{4a-16}\)
\(\dfrac{9}{3y-21}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{(y-7)}\)
\(\dfrac{10}{5x-5}\)
\(\dfrac{7}{7x-14}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(x-2)}\)
\(\dfrac{6}{6x - 18}\)
\(\dfrac{2y^2}{8y}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{4}y\)
\(\dfrac{4x^3}{2x}\)
\(\dfrac{16a^2b^3}{2ab^2}\)
- Contestar
-
\(8ab\)
\(\dfrac{20a^4b^4}{4ab^2}\)
\(\dfrac{(x+3)(x-2)}{(x+3)(x+5)}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x-2}{x+5}\)
\(\dfrac{(y-1)(y-7)}{(y-1)(y+6)}\)
\(\dfrac{(a+6)(a-5)}{(a-5)(a+2)}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{a+6}{a+2}\)
\(\dfrac{(m-3)(m-1)}{(m-1)(m+4)}\)
\(\dfrac{(y-2)(y-3)}{(y-3)(y-2)}\)
- Contestar
-
\(1\)
\(\dfrac{(x+7)(x+8)}{(x+8)(x+7)}\)
\(\dfrac{-12x^2(x+4)}{4x}\)
- Contestar
-
\(−3x(x+4)\)
\(\dfrac{-3a^4(a-1)(a+5)}{-2a^3(a-1)(a+9)}\)
\(\dfrac{6x^2y^5(x-1)(x+4)}{-2xy(x+4)}\)
- Contestar
-
\(-3xy^4(x-1)\)
\(\dfrac{22a^4b^6c^7(a+2)(a-7)}{4c(a+2)(a-5)}\)
\(\dfrac{(x+10)^3}{x+10}\)
- Contestar
-
\((x+10)^2\)
\(\dfrac{(y-6)^7}{y-6}\)
\(\dfrac{(x-8)^2(x+6)^4}{(x-8)(x+6)}\)
- Contestar
-
\((x-8)(x+6)^3\)
\(\dfrac{(y-2)^6(y-1)^4}{(y-2)^3(y-1)^2}\)
- Contestar
-
\((y-2)^3(y-1)^2\)
\(\dfrac{(x+10)^5(x-6)^3}{(x-6)(x+10)^2}\)
\(\dfrac{(a+6)^2(a-7)^6}{(a+6)^5(a-7)^2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(a-7)^4}{(a+6)^3}\)
\(\dfrac{(m+7)^4(m-8)^5}{(m+7)^7(m-8)^2}\)
\(\dfrac{(a+2)(a-1)^3}{(a+1)(a-1)}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(a+2)(a-1)^2}{(a+1)}\)
\(\dfrac{(b+6)(b-2)^4}{(b-1)(b-2)}\)
\(\dfrac{8(x+2)^3(x-5)^6}{2(x+2)(x-5)^2}\)
- Contestar
-
\(4(x+2)^2(x-5)^4\)
\(\dfrac{14(x-4)^3(x-10)^6}{-7(x-4)^2(x-10)^2}\)
\(\dfrac{x^2+3x-10}{x^2+2x-15}\)
\(\dfrac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 6x - 7}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(x-3)}{(x+1)}\)
\(\dfrac{x^2 + 10x + 24}{x^2 + 6x}\)
\(\dfrac{x^2 + 9x + 14}{x^2 + 7x}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(x+2)}{x}\)
\(\dfrac{6b^2-b}{6b^2+11b-2}\)
\(\dfrac{3b^2 + 10b + 3}{3b^2 + 7b + 2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{b+3}{b+2}\)
\(\dfrac{4b^2-1}{2b^2 + 5b - 3}\)
\(\dfrac{16a^2 - 9}{4a^2 - a - 3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(4a-3)}{(a-1)}\)
\(\dfrac{20x^2 + 28xy + 9y^2}{4x^2 + 4xy + y^2}\)
Para los siguientes problemas, reducir cada expresión racional si es posible. De no ser posible, declarar la respuesta en los términos más bajos.
\(\dfrac{x+3}{x+4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(x+3)}{(x+4)}\)
\(\dfrac{a+7}{a-1}\)
\(\dfrac{3a+6}{3}\)
- Contestar
-
\(a+2\)
\(\dfrac{4x + 12}{4}\)
\(\dfrac{5a-5}{-5}\)
- Contestar
-
\(-(a - 1)\) o \(-a + 1\)
\(\dfrac{6b - 6}{-3}\)
\(\dfrac{8x - 16}{-4}\)
- Contestar
-
\(−2(x−2)\)
\(\dfrac{4x - 7}{-7}\)
\(\dfrac{-3x + 10}{10}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-3x + 10}{10}\)
\(\dfrac{x - 2}{2 - x}\)
\(\dfrac{a - 3}{3 - a}\)
- Contestar
-
\(-1\)
\(\dfrac{x^3 - x}{x}\)
\(\dfrac{y^4 - y}{y}\)
- Contestar
-
\(y^3 - 1\)
\(\dfrac{a^5 -a^2}{a}\)
\(\dfrac{a^6 - a^4}{a^3}\)
- Contestar
-
\(a(a+1)(a−1)\)
\(\dfrac{4b^2 + 3b}{b}\)
\(\dfrac{2a^3 + 5a}{a}\)
- Contestar
-
\(2a^2 + 5\)
\(\dfrac{a}{a^3 + a}\)
\(\dfrac{x^4}{x^5 - 3x}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x^3}{x^4 - 3}\)
\(\dfrac{-a}{-a^2-a}\)
Ejercicios para revisión
Escribe \((\dfrac{4^4a^8b^{10}}{4^2a^6b^2})^{-1}\) para que solo aparezcan exponenetes positivos.
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{16a^2b^8}\)
Factor \(y^4 - 16\)
Factor \(10x^2 - 17x + 3\)
- Contestar
-
\((5x−1)(2x−3)\)
Suministrar la palabra faltante. Se dice que una ecuación expresada en la forma \(ax+by=c\) se expresa en forma ____.
Encuentra el dominio de la expresión racional: \(\dfrac{2}{x^2 - 3x - 18}\)
- Contestar
-
\(x≠−3, 6\)