24.4: Resolver ecuaciones cuadráticas usando el método de extracción de raíces
El Método De Extracción De Raíces
Extracción de Raíces
Las ecuaciones cuadráticas de la forma \(x^2 - K = 0\) pueden resolverse mediante el método de extracción de raíces reescribiéndola en la forma \(x^2 = K\) .
Para resolver \(x^2 = K\) , se nos exige encontrar algún número, \(x\) , que cuando se produce al cuadrado \(K\) . Este número, \(x\) , debe ser una raíz cuadrada de \(K\) . Si \(K\) es mayor que cero, sabemos que prosesa dos raíces cuadradas, \(\sqrt{K}\) y \(-\sqrt{K}\) . También sabemos que
\((\sqrt{K})^2) = (\sqrt{K})(\sqrt{K}) = K\) y \((-\sqrt{K}) = (-\sqrt{K})(-\sqrt{K}) = K\)
Ahora tenemos dos reemplazos para \(x\) que produzcan declaraciones verdaderas cuando se sustituyen en la ecuación. Así, \(x = \sqrt{K}\) y \(x = -\sqrt{K}\) son ambas soluciones para \(x^2 = K\) . Utilizamos la notación \(x = \pm \sqrt{K}\) para denotar tanto las raíces cuadradas principales como las secundarias.
La naturaleza de las soluciones
Para ecuaciones cuadráticas de la forma \(x^2 = K\) ,
- Si \(K\) es mayor o igual a cero, las soluciones son \(\pm \sqrt{K}\) .
- Si \(K\) es negativo, no existen soluciones de números reales.
- Si \(K\) es cero, la única solución es \(0\) .
Conjunto de Muestras A
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
x^2 - 49 &= 0 &\ text {Reescribir}\\
x^2 &= 49\\
x &=\ pm\ sqrt {49}\\
x &=\ pm 7
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {Flushleft}
(7) ^2 = 49 &\ text {¿Es esto correcto? } & (-7) ^2 = 49 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
49 = 49 &\ text {Sí, esto es correcto.} & 49 = 49 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
25a^2 &= 36\\
a^2 &=\ dfrac {36} {25}\\
a &=\ pm\ sqrt {\ frac {36} {25}}\
a &=\ pm\ dfrac {6} {5}
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {Flushleft}
25 (\ dfrac {6} {5}) ^2 &= 36 &\ text {¿Es esto correcto? } & 25 (\ dfrac {-6} {5}) ^2 &= 36 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
25 (\ dfrac {36} {25}) ^2 &= 36 &\ text {¿Es esto correcto? } & 25 (\ dfrac {36} {25}) &= 36 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
36 &= 36 &\ text {Sí, esto es correcto.} & 36 &= 36 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
4m^2 - 32 &= 0\\
4m^2 &= 32\\
m^2 &=\ dfrac {32} {4}\\
m^2 &= 8\\
m &=\ pm\ sqrt {8}\\
m &=\ pm 2\ sqrt {2}
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {Flushleft}
4 (2\ sqrt {2}) ^2 &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? } & 4 (-2\ sqrt {2}) ^2 &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
4 [2^2 (\ sqrt {2}) ^2] &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? } & 4 [(-2) ^2 (\ sqrt {2}) ^2] &= 32 &\ text {¿Es correcto? }\\
4 [4\ cdot 2] &= 32 &\ text {¿Es correcto esto? } & 4 [4\ cdot 2] &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
4\ cdot 8 &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? } & 4\ cdot 8 &= 32 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
32 &= 32 &\ text {Sí, esto es correcto.} & 32 &=32 &\ text {Sí, esto es correcto.}
\ end {array}\)
Resolver \(5x^2 - 15y^2z^7 = 0\) para \(x\) .
\ (\ begin {array} {Flushleft}
5x^2 &= 15y^2z^7 &\ text {Divide ambos lados por} 5\\
x^2 &= 3y^2z^7\\
x &=\ pm\ sqrt {3y^2z^7}\\
x &=\ pm yz^3\ sqrt {3z}
\ end {array}\)
Problema de la calculadora:
Resolver \(14a^2 - 235 = 0\) . Redondear a la centésima más cercana.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
14a^2 - 235 &= 0 &\ text {Reescribir}\\
14a^2 &= 235 &\ text {Divide ambos lados por} 14\\
a^2 &=\ dfrac {235} {14}
\ end {array}\)
Redondear a la centésima más cercana produce \(4.10\) . Debemos asegurarnos de insertar el \(\pm\) símbolo.
\(a \approx \pm 4.10\) .
\ (\ begin {array} {Flushleft}
k^2 &= -64\\
k &=\ pm\ sqrt {-64}
\ end {array}\)
El radicando es negativo por lo que no existen soluciones de números reales
Conjunto de práctica A
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.
\(x^2 - 144 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \pm 12\)
\(9y^2 - 121 = 0\)
- Contestar
-
\(y = \pm \dfrac{11}{3}\)
\(6a^2 = 108\)
- Contestar
-
\(a = \pm 3\sqrt{2}\)
Resolver \(4n^2 = 24m^2p^8\) para \(n\) .
- Contestar
-
\(n = \pm mp^4\sqrt{6}\)
Resolver \(5p^2q^2 = 45p^2\) para \(q\)
- Contestar
-
\(q = \pm 3\)
Resolver \(16m^2 - 2206 = 0\) . Redondear a la centésima más cercana.
- Contestar
-
\(m = \pm 11.74\)
\(h^2 = -100\)
Conjunto de Muestras B
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
(x+2) ^2 &= 81\\
x + 2 &=\ pm\ sqrt {81}\\
x + 2 &=\ pm 9 &\ text {Restar} 2\ texto {de ambos lados.} \\
x &= -2\ pm 9\\
x &= -2 + 9 &\ text {y} & x&= -2 - 9\\
x &= 7 & & x &= -11
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
(a+3) ^2 &= 5\\
a + 3 &=\ pm\ sqrt {5} &\ text {Restar} 3\ texto {de ambos lados}\\
a &= -3\ pm\ sqrt {5}
\ end {array}\)
Set de práctica B
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.
\((a + 6)^2 = 64\)
- Contestar
-
\(a=2,−14\)
\((m - 4)^2 = 15\)
- Contestar
-
\(m = 4 \pm \sqrt{15}\)
\((y-7)^2 = 49\)
- Contestar
-
\(y=0, 14\)
\((k - 1)^2 = 12\)
- Contestar
-
\(k = 1 \pm 2 \sqrt{3}\)
\((x - 11)^2 = 0\)
- Contestar
-
\(x=11\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, resolver cada una de las ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.
\(x^2 = 36\)
- Contestar
-
\(x = \pm 6\)
\(x^2 = 49\)
\(a^2 = 9\)
- Contestar
-
\(a = \pm 3\)
\(a^2 = 4\)
\(b^2 = 1\)
- Contestar
-
\(b = \pm 1\)
\(a^2 = 1\)
\(x^2 = 25\)
- Contestar
-
\(x = \pm 5\)
\(x^2 = 81\)
\(a^2 = 5\)
- Contestar
-
\(a = \pm \sqrt{5}\)
\(a^2 = 10\)
\(b^2 = 12\)
- Contestar
-
\(b = \pm 2\sqrt{3}\)
\(b^2 = 6\)
\(y^2 = 3\)
- Contestar
-
\(y = \pm \sqrt{3}\)
\(y^2 = 7\)
\(a^2 - 8 = 0\)
- Contestar
-
\(a = \pm 2\sqrt{2}\)
\(a^2 - 3 = 0\)
\(a^2 - 5 = 0\)
- Contestar
-
\(a = \pm \sqrt{5}\)
\(y^2 - 1 = 0\)
\(x^2 - 10 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \pm \sqrt{10}\)
\(x^2 - 11 = 0\)
\(3x^2 - 27 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \pm 3\)
\(5b^2 - 5 = 0\)
\(2x^2 = 50\)
- Contestar
-
\(x = \pm 5\)
\(4a^2 = 40\)
\(2x^2 = 24\)
- Contestar
-
\(x = \pm 2\sqrt{3}\)
Para los siguientes problemas, resolver para la variable indicada.
\(x^2 = 4a^2\) , para \(x\)
\(x^2 = 9b^2\) , para \(x\)
- Contestar
-
\(x = \pm 3b\)
\(a^2 = 25c^2\) , para \(a\)
\(k^2 = m^2n^2\) , para \(k\) .
- Contestar
-
\(k = \pm mn\)
\(k^2 = p^2q^2r^2\) , para \(k\)
\(2y^2 = 2a^2n^2\) , para \(y\)
- Contestar
-
\(y = \pm an\)
\(9y^2 = 27x^2z^4\) , para \(y\) .
\(x^2 - z^2 = 0\) , para \(x\)
- Contestar
-
\(x = \pm z\)
\(x^2 - z^2 = 0\) , para \(z\)
\(5a^2 - 10b^2 = 0\) , para \(a\)
- Contestar
-
\(a = b\sqrt{2}, -b\sqrt{2}\)
Para los siguientes problemas, resolver cada una de las ecuaciones cuadráticas utilizando el método de extracción de raíces.
\((x-1)^2 = 4\)
\((x-2)^2 = 9\)
- Contestar
-
\(x=5,−1\)
\((x-3)^2 = 25\)
\((a-5)^2 = 36\)
- Contestar
-
\(x=11,−1\)
\((a + 3)^2 = 49\)
\((a + 9)^2 = 1\)
- Contestar
-
\(a=−8 ,−10\)
\((a - 6)^2 = 3\)
\((x + 4)^2 = 5\)
- Contestar
-
\(a = -4 \pm \sqrt{5}\)
\((b + 6)^2 = 7\)
\((x + 1)^2 = a\) , para \(x\) .
- Contestar
-
\(x = -1 \pm \sqrt{a}\)
\((y + 5)^2 = b\) , para \(y\)
\((y + 2)^2 = a^2\) , para \(y\)
- Contestar
-
\(y = -2 \pm a\)
\((x + 10)^2 = c^2\) , para \(x\)
\((x - a)^2 = b^2\) , para \(x\)
- Contestar
-
\(x = a \pm b\)
\((x + c)^2 = a^2\) , para \(x\)
Problemas con la calculadora
Para los siguientes problemas, redondear cada resultado a la centésima más cercana.
\(8a^2 - 168 = 0\)
- Contestar
-
\(a = \pm 4.58\)
\(6m^2 - 5 = 0\)
\(0.03y^2 = 1.6\)
- Contestar
-
\(y = \pm 7.30\)
\(0.048x^2 = 2.01\)
\(1.001x^2 - 0.999 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \pm 1.00\)
Ejercicios para revisión
Graficar la desigualdad lineal \(3(x + 2) < 2(3x + 4)\)
Resuelve la ecuación fraccional: \(\dfrac{x-1}{x + 4} = \dfrac{x + 3}{x - 1}\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{-11}{9}\)
Encuentra el producto: \(\sqrt{32x^3y^5} \sqrt{2x^3y^3}\)
Resolver \(x^2 - 4x = 0\)
- Contestar
-
\(x = 0, 4\)
Resolver \(y^2 - 8y = -12\)