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0.2e: Exercises - Whole number exponents

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    A: Zero and Negative Exponents

    Exercise \(\PageIndex{1}\)

    \( \bigstar \)  Simplify. (Assume all variables represent nonzero numbers.)

    1.    \(- 5 x ^ { 0 } \\[6pt]\)

    2.    \(3 x ^ { 2 } y ^ { 0 } \\[6pt]\)

    3.    \(- 2 x ^ { - 3 } \\[6pt]\)

    4.    \(( - 2 x ) ^ { - 2 } \\[6pt]\)

    5.    \(10 x ^ { - 3 } y ^ { 2 } \\[6pt]\)

    6.    \(- 3 x ^ { - 5 } y ^ { - 2 } \\[6pt]\)

    7.    \(3 x ^ { - 2 } y ^ { 2 } z ^ { - 1 } \\[6pt]\)

    8.    \(- 5 x ^ { - 4 } y ^ { - 2 } z ^ { 2 } \\[6pt] \)
    Answers to odd exercises.
    1. \(-5 \\[6pt]\) 3. \(- \displaystyle \frac { 2 } { x ^ { 3 } } \\[6pt]\) 5. \( \displaystyle\frac { 10 y ^ { 2 } } { x ^ { 3 } } \\[6pt]\) 7. \( \displaystyle \frac { 3 y ^ 2 } { x ^ { 2 } z }  \\[6pt]\)

    B: Product Rule

    Exercise \(\PageIndex{2}\)

    \( \bigstar \)  Simplify. (Assume all variables represent nonzero numbers.)

    11.    \(10 ^ { 4 } \cdot 10 ^ { 7 } \\[6pt] \\[6pt]\)

    12.    \(7 ^ { 3 } \cdot 7 ^ { 2 } \\[6pt]\)

    13.    \(x ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } \\[6pt]\)

    14.    \(y ^ { 5 } \cdot y ^ { 3 } \\[6pt]\)

    15.    \(a ^ { 4 } \cdot a ^ { - 5 } \cdot a ^ { 2 } \\[6pt]\)

    16.    \(b ^ { - 8 } \cdot b ^ { 3 } \cdot b ^ { 4 } \\[6pt]\)

    17.    \(5 x ^ { 2 } y \cdot 3 x y ^ { 2 } \\[6pt]\)

    18.    \(- 10 x ^ { 3 } y ^ { 2 } \cdot 2 x y \\[6pt]\)

    19.    \(- 6 x ^ { 2 } y z ^ { 3 } \cdot 3 x y z ^ { 4 } \\[6pt]\)

    20.    \(2 x y z ^ { 2 } \left( - 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z \right) \\[6pt]\)

    21.    \(3 x ^ { n } y ^ { 2 n } \cdot 5 x ^ { 2 } y \\[6pt]\)

    22.    \(8 x ^ { 5 n } y ^ { n } \cdot 2 x ^ { 2 n } y \\[6pt]\)

    23.    \(( 2 x + 3 ) ^ { 4 } ( 2 x + 3 ) ^ { 9 } \\[6pt]\)

    24.    \(( 3 y - 1 ) ^ { 7 } ( 3 y - 1 ) ^ { 2 } \\[6pt]\)

    25.    \(( a + b ) ^ { 3 } ( a + b ) ^ { 5 } \\[6pt]\)

    26.    \(( x - 2 y ) ^ { 7 } ( x - 2 y ) ^ { 3 } \\[6pt]\)
    Answers to odd exercises.

    11. \(10^{11} \\[6pt]\)

    13. \(x^{5} \\[6pt]\)

    15. \(a \\[6pt]\)

    17. \(15x^{3}y^{3} \\[6pt]\)

    19. \(−18x^{3}y^{2}z^{7} \\[6pt]\)

    21. \(15x^{n+2}y^{2n+1} \\[6pt]\)

    23. \((2x + 3)^{13} \\[6pt]\)

    25. \((a + b)^{8} \\[6pt]\)

    C: Quotient Rule

    Exercise \(\PageIndex{3}\)

    \( \bigstar \)  Simplify. (Assume all variables represent nonzero numbers.)

    31.    \( \displaystyle \frac { 10 ^ { 2 } \cdot 10 ^ { 4 } } { 10 ^ { 5 } } \\[6pt]\)

    32.    \( \displaystyle \frac { 7 ^ { 5 } \cdot 7 ^ { 9 } } { 7 ^ { 2 } } \\[6pt]\)

    33.    \( \displaystyle \frac { a ^ { 8 } \cdot a ^ { 6 } } { a ^ { 5 } } \\[6pt]\)

    34.    \( \displaystyle \frac { b ^ { 4 } \cdot b ^ { 10 } } { b ^ { 8 } } \\[6pt]\)

    35.    \( \displaystyle\frac { a ^ { 8 } \cdot a ^ { - 3 } } { a ^ { - 6 } } \\[6pt]\)

    36.    \( \displaystyle\frac { b ^ { - 10 } \cdot b ^ { 4 } } { b ^ { - 2 } } \\[6pt]\)

    37.    \( \displaystyle\frac { 25 x ^ { - 3 } y ^ { 2 } } { 5 x ^ { - 1 } y ^ { - 3 } } \\[6pt]\)

    38.    \( \displaystyle\frac { - 9 x ^ { - 1 } y ^ { 3 } z ^ { - 5 } } { 3 x ^ { - 2 } y ^ { 2 } z ^ { - 1 } } \\[6pt]\)

    39.    \( \displaystyle \frac { 40 x ^ { 5 } y ^ { 3 } z } { 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } z } \\[6pt]\)

    40.    \( \displaystyle \frac { 8 x ^ { 2 } y ^ { 5 } z ^ { 3 } } { 16 x ^ { 2 } y z } \\[6pt]\)

    41.    \( \displaystyle \frac { 24 a ^ { 8 } b ^ { 3 } ( a - 5 b ) ^ { 10 } } { 8 a ^ { 5 } b ^ { 3 } ( a - 5 b ) ^ { 2 } } \\[6pt]\)

    42.    \( \displaystyle \frac { 175 m ^ { 9 } n ^ { 5 } ( m + n ) ^ { 7 } } { 25 m ^ { 8 } n ( m + n ) ^ { 3 } } \\[6pt]\)

    43.    \( \displaystyle \frac { x ^ { 2 n } \cdot x ^ { 3 n } } { x ^ { n } } \\[6pt]\)

    44.    \( \displaystyle \frac { x ^ { n } \cdot x ^ { 8 n } } { x ^ { 3 n } } \\[6pt]\) 
    Answers to odd exercises.

    31. \(10 \\[6pt]\)

    33. \(a^{9} \)

    35. \(a^{11} \\[6pt]\)

    37. \( \displaystyle\frac { 5 y ^ { 5 } } { x ^ { 2 } } \)

    39. \(10x^{3}y \\[6pt]\)

    41. \(3a^{3}(a − 5b)^{8} \)

    43. \(x^{4n} \)

    D: Power Rule for Products

    Exercise \(\PageIndex{4}\)

    \( \bigstar \)  Simplify. (Assume all variables represent nonzero numbers.)

    51.    \(\left( x ^ { 5 } \right) ^ { 3 } \\[6pt]\)

    52.    \(\left( y ^ { 4 } \right) ^ { 3 } \\[6pt]\)

    53.    \(\left( x ^ { 4 } y ^ { 5 } \right) ^ { 3 } \\[6pt]\)

    54.    \(\left( x ^ { 7 } y \right) ^ { 5 } \\[6pt]\)

    55.    \(( - 5 x ) ^ { 0 } \\[6pt]\)

    56.    \(\left( 3 x ^ { 2 } y \right) ^ { 0 } \)

    57.    \(\left( x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 4 } \right) ^ { 4 } \\[6pt]\)

    58.    \(\left( x y ^ { 2 } z ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \\[6pt]\)

    59.    \(\left( - 5 x ^ { 2 } y z ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \\[6pt]\)

    60.    \(\left( - 2 x y ^ { 3 } z ^ { 4 } \right) ^ { 5 } \\[6pt]\)

    61.    \(\left( x \cdot x ^ { 3 } \cdot x ^ { 2 } \right) ^ { 3 } \\[6pt]\)

    62.    \(\left( y ^ { 2 } \cdot y ^ { 5 } \cdot y \right) ^ { 2 } \)

    63.    \(\left( - 2 x ^ { 4 } y ^ { 2 } z \right) ^ { 6 } \\[6pt]\)

    64.    \(\left( - 3 x y ^ { 4 } z ^ { 7 } \right) ^ { 5 } \\[6pt]\)

    65.    \(\left( - 2 a ^ { 2 } b ^ { 0 } c ^ { 3 } \right) ^ { 5 } \\[6pt]\)

    66.    \(\left( - 3 a ^ { 4 } b ^ { 2 } c ^ { 0 } \right) ^ { 4 } \\[6pt]\)

    67.    \(\left( - 5 x ^ { - 3 } y ^ { 2 } z \right) ^ { - 3 } \\[6pt]\)

    68.    \(\left( - 7 x ^ { 2 } y ^ { - 5 } z ^ { - 2 } \right) ^ { - 2 } \\[6pt]\)

    69.    \(\left( x ^ { 2 } y z ^ { 5 } \right) ^ { n } \)

    70.    \(\left( x y ^ { 2 } z ^ { 3 } \right) ^ { 2 n } \\[6pt]\)

    71.    \( \displaystyle \frac { a ^ { 2 } \cdot \left( a ^ { 4 } \right) ^ { 2 } } { a ^ { 3 } } \\[6pt]\)

    72.    \( \displaystyle \frac { a \cdot a ^ { 3 } \cdot a ^ { 2 } } { \left( a ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } \\[6pt]\)

    73.    \( \displaystyle \frac { \left( 9 x ^ { 3 } y ^ { 2 } z ^ { 0 } \right) ^ { 2 } } { 3 x y ^ { 2 } } \\[6pt]\)

    74.    \( \displaystyle \frac { \left( - 5 x ^ { 0 } y ^ { 5 } z \right) ^ { 3 } } { 25 y ^ { 2 } z ^ { 0 } } \)
    Answers to odd exercises.

    51. \(x^{15} \\[6pt]\)

    53. \(x^{12}y^{15} \\[6pt]\)

    55. \(1 \)

    57. \(x^{8}y^{12}z^{16} \\[6pt]\)

    59. \(25x^{4}y^{2}z^{6} \\[6pt]\)

    61. \(x^{18} \)

    63. \(64x^{24}y^{12}z^{6} \)

    65. \(- 32 a ^ { 10 } c ^ { 15 } \)

    67. \(- \displaystyle\frac { x ^ { 9 } } { 125 y ^ { 6 } z ^ { 3 } } \)

    69. \(x^{2n}y^{n}z^{5n} \\[6pt]\)

    71. \(a^{7} \\[6pt]\)

    73. \(27 x ^ { 5 } y ^ { 2 } \)

    E: Power Rule for Quotients of Products

    Exercise \(\PageIndex{5} \) 

    \( \bigstar \)  Simplify. (Assume all variables represent nonzero numbers.)  

    81.    \(\left( \displaystyle \frac { - 3 a b ^ { 2 } } { 2 c ^ { 3 } } \right) ^ {3 } \\[6pt]\)

    82.    \(\left( \displaystyle \frac { - 10 a ^ { 3 } b } { 3 c ^ { 2 } } \right) ^ {2 } \\[6pt]\)

    83.    \(\left( \displaystyle \frac { - 2 x y ^ { 4 } } { z ^ { 3 } } \right) ^ {4 } \\[6pt]\)

    84.    \(\left( \displaystyle \frac { - 7 x ^ { 9 } y } { z ^ { 4 } } \right) ^ {3 } \)

    85.    \(\left( \displaystyle \frac { 12 x ^ { 3 } y ^ { 2 } z } { 2 x ^ { 7 } y z ^ { 8 } } \right) ^ {3 } \\[6pt]\)

    86.    \(\left( \displaystyle \frac { 150 x y ^ { 8 } z ^ { 2 } } { 90 x ^ { 7 } y ^ { 2 } z } \right) ^ {2 } \\[6pt]\)

    87.    \(\left( \displaystyle \frac { 2 x ^ { - 3 } z } { y ^ { 2 } } \right) ^ {- 5 } \\[6pt]\)

    88.    \(\left( \displaystyle \frac { 5 x ^ { 5 } z ^ { - 2 } } { 2 y ^ { - 3 } } \right) ^ {- 3 } \)

    89.    \(\left( \displaystyle \frac { x y ^ { 2 } } { z ^ { 3 } } \right) ^ {n } \\[6pt]\)

    90.    \(\left( \displaystyle \frac { 2 x ^ { 2 } y ^ { 3 } } { z } \right) ^ {n } \\[6pt]\)

    91.    \(\left( \displaystyle \frac { - 9 a ^ { - 3 } b ^ { 4 } c ^ { - 2 } } { 3 a ^ { 3 } b ^ { 5 } c ^ { - 7 } } \right) ^ {- 4 } \\[6pt]\)

    92.    \(\left( \displaystyle \frac { - 15 a ^ { 7 } b ^ { 5 } c ^ { - 8 } } { 3 a ^ { - 6 } b ^ { 2 } c ^ { 3 } } \right) ^ {- 3 } \)
    Answers to odd exercises:

    81. \(- \displaystyle\frac { 27 a ^ { 3 } b ^ { 6 } } { 8 c ^ { 9 } } \\[6pt]\)

    83. \( \displaystyle\frac { 16 x ^ { 4 } y ^ { 16 } } { z ^ { 12 } } \)

    85. \( \displaystyle\frac { 216 y ^ { 3 } } { x ^ { 12 } z ^ { 21 } } \\[6pt]\)

    87. \( \displaystyle\frac { x ^ { 15 } y ^ { 10 } } { 32 z ^ { 5 } } \)

    89. \( \displaystyle\frac { x ^ { n } y ^ { 2 n } } { z ^ { 3 n } } \\[6pt]\)

    91. \( \displaystyle\frac { a ^ { 24 } b ^ { 4 } } { 81 c ^ { 20 } } \)

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