5.1: Multiplicación de números enteros
Multiplicación de números enteros
- entender el proceso de multiplicación
- ser capaz de multiplicar números enteros
- ser capaz de simplificar las multiplicaciones con números que terminan en cero
- poder usar una calculadora para multiplicar un número entero por otro
Multiplicación
Definición: Multiplicación
La multiplicación es una descripción de la adición repetida.
Además de
\(5 + 5 + 5\)
el número 5 se repite 3 veces. Por lo tanto, decimos que tenemos tres por cinco y lo describimos por escrito
\(3 \times 5\)
Por lo tanto,
\(3 \times 5 = 5 + 5 + 5\)
Definición: Multiplicando
En una multiplicación, la adición repetida (número que se agrega) se llama multiplicando . En \(3 \times 5\) , el 5 es el multiplicando.
Definición: Multiplicador
También, en una multiplicación, el número que registra el número de veces que se usa el multiplicando se llama multiplicador . En \(3 \times 5\) , el 3 es el multiplicador.
Conjunto de Muestras A
Expresar cada adición repetida como una multiplicación. En cada caso, especifique el multiplicador y el multiplicando.
\(7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7\)
Solución
\(6 \times 7\) , Multiplicador es 6. Multiplicando es 7.
Conjunto de Muestras A
\(18 + 18 + 18\)
Solución
\(3 \times 18\) . El multiplicador es 3. Multiplicando es 18.
Conjunto de práctica A
Expresar cada adición repetida como una multiplicación. En cada caso, especifique el multiplicador y el multiplicando.
\(12 + 12 + 12 + 12\)
. Multiplicador es. Multiplicando es.
- Contestar
-
\(4 \times 12\) . El multiplicador es 4. Multiplicando es 12.
Conjunto de práctica A
\(36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36\)
. Multiplicador es. Multiplicando es.
- Contestar
-
\(8 \times 36\) . El multiplicador es 8. Multiplicando es 36.
Conjunto de práctica A
\(0 + 0 + 0 + 0 + 0\)
. Multiplicador es. Multiplicando es.
- Contestar
-
\(5 \times 0\) . El multiplicador es 5. Multiplicando es 0.
Conjunto de práctica A
\(\underbrace{1847 + 1847 + \cdots + 1847}_{12,000 \text{ times}}\)
s. multiplicador es. Multiplicando es .me
- Contestar
-
\(12,000 \times 1,847\) . El multiplicador es de 12,000. Multiplicando es 1,847.
Definición: Factores
En una multiplicación, los números que se multiplican también se denominan factores .
Definición: Productos
El resultado de una multiplicación se llama producto . En \(3 \times 5 = 15\) , a los 3 y 5 no sólo se les llama multiplicador y multiplicando, sino que también se les llama factores. El producto es 15.
Indicadores de Multiplicación \(\times, \cdot, ()\)
El símbolo de multiplicación ( \(\times\) ) no es el único símbolo utilizado para indicar multiplicación. Otros símbolos incluyen el punto ( \(\cdot\) ) y los pares de paréntesis (). Las expresiones
\(3 \times 5, 3 \cdot 5, 3(5), (3)5, (3)(5)\)
todos representan el mismo producto.
El proceso de multiplicación con un multiplicador de un solo dígito
Dado que la multiplicación es suma repetida, no debemos sorprendernos al notar que puede ocurrir el acarreo . El transporte ocurre cuando encontramos el producto de 38 y 7:
Primero, calculamos \(7 \times 8 = 56\) . Escribe el 6 en la columna unos. Llevar el 5. Entonces toma \(7 \times 3 = 21\) . Agregar al 21 el 5 que se llevó: \(21 + 5 = 26\) . El producto es 266.
Conjunto de Muestras B
Encuentra los siguientes productos.
Solución
\(\begin{array} {lcl} {3 \times 4 = 12} &\ \ \ \ & {\text{Write the 2, carry the 1.}} \\ {3 \times 6 = 18} &\ \ \ \ & {\text{Add to 18 the 1 that was carried: 18 + 1 = 19.}} \end{array}\)
El producto es 192.
Conjunto de Muestras B
Solución
\(\begin{array} {lcl} {5 \times 6 = 30} & \ \ \ \ & {\text{Write the 0, carry the 3.}} \\ {5 \times 2 = 10} & \ \ \ \ & {\text{Add to 10 the 3 that was carried: 10 + 3 = 13. Write the 3, carry the 1.}} \\ {5 \times 5 = 25} & \ \ \ \ & {\text{Add to 25 the 1 that was carried: 25 + 1 = 6.}} \end{array}\)
El producto es 2,630.
Conjunto de Muestras B
Solución
\(\begin{array} {lcl} {9 \times 4 = 36} & \ \ \ \ & {\text{Write the 6, carry the 3.}} \\ {9 \times 0 = 0} & \ \ \ \ & {\text{Add to 0 the 3 that was carried: 0 + 3 = 13. Write the 3.}} \\ {9 \times 8 = 72} & \ \ \ \ & {\text{Write the 2, carry the 7.}} \\ {} & \ \ \ \ & {\text{Since there are no more multiplications to perform, write both the 1 and 6.}} \end{array}\)
El producto es 16,236.
Set de práctica B
Encuentra los siguientes productos.
\(\begin{array} {r} {37} \\ {\underline{\times \ \ 5}} \end{array}\)
- Contestar
-
185
Set de práctica B
Encuentra los siguientes productos.
\(\begin{array} {r} {78} \\ {\underline{\times \ \ 8}} \end{array}\)
- Contestar
-
624
Set de práctica B
Encuentra los siguientes productos.
\(\begin{array} {r} {537} \\ {\underline{\times \ \ \ \ 7}} \end{array}\)
- Contestar
-
3,752
Set de práctica B
Encuentra los siguientes productos.
\(\begin{array} {r} {40,019} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8}} \end{array}\)
- Contestar
-
320,152
Set de práctica B
Encuentra los siguientes productos.
\(\begin{array} {r} {301,599} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3}} \end{array}\)
- Contestar
-
904,797
El proceso de multiplicación con un multiplicador de múltiples dígitos
En una multiplicación en la que el multiplicador esté compuesto por dos o más dígitos, la multiplicación debe realizarse en partes . El proceso es el siguiente:
- Primer Producto Parcial Multiplique el multiplicando por el dígito del multiplicador. Este producto se llama el primer producto parcial .
- Segundo Producto Parcial Multiplique el multiplicando por el dígito de las decenas del multiplicador. Este producto se llama el segundo producto parcial . Dado que el dígito de las decenas se usa como factor, el segundo producto parcial se escribe debajo del primer producto parcial para que su dígito más a la derecha aparezca en la columna de decenas.
- Si es necesario, continúe de esta manera encontrando productos parciales. Escribe cada uno debajo del anterior para que el dígito más a la derecha aparezca en la columna directamente debajo del dígito que se utilizó como factor.
- Producto Total Agrega los productos parciales para obtener el producto total .
Nota
Puede ser necesario llevar a la hora de encontrar cada producto parcial.
Conjunto de Muestras C
Multiplica 326 por 48.
Solución
Parte 1:
Parte 2:
Parte 3: Este paso es innecesario ya que se han utilizado todos los dígitos del multiplicador.
Parte 4: Agregar los productos parciales para obtener el producto total.
El producto es 15,648.
Conjunto de Muestras C
Multiplica 5,369 por 842.
Solución
Parte 1:
Parte 2:
Parte 3:
El producto es 4,520,698.
Conjunto de Muestras C
Multiplica 1,508 por 206.
Solución
Parte 1:
Parte 2:
Ya que 0 veces 1508 es 0, el producto parcial no cambiará la identidad del producto total (el cual se obtiene por adición). Ir al siguiente producto parcial.
Parte 3:
El producto es 310.648
Set de práctica C
Multiplica 73 por 14.
- Contestar
-
1,022
Set de práctica C
Multiplica 86 por 52.
- Contestar
-
4,472
Set de práctica C
Multiplica 419 por 85.
- Contestar
-
35,615
Set de práctica C
Multiplica 2,376 por 613.
- Contestar
-
1,456,488
Set de práctica C
Multiplica 8,107 por 304.
- Contestar
-
2,464,528
Set de práctica C
Multiplica 66,260 por 1,008.
- Contestar
-
66,790,080
Set de práctica C
Multiplica 209 por 501.
- Contestar
-
104,709
Set de práctica C
Multiplica 24 por 10.
- Contestar
-
240
Set de práctica C
Multiplica 3,809 por 1,000.
- Contestar
-
3,809,000
Set de práctica C
Multiplica 813 por 10,000.
- Contestar
-
8,130,000
Multiplicaciones con números que terminan en cero
A menudo, al realizar una multiplicación, uno o ambos factores terminarán en ceros. Dichas multiplicaciones se pueden hacer rápidamente alineando los números para que los dígitos distintos de cero más a la derecha estén en la misma columna.
Conjunto de Muestras D
Realizar la multiplicación (49,000) (1,200).
\((49,000)(1,200)\) = \(\begin{array} {r} {49000} \\ {\underline{\times \ \ 1200}} \end{array}\)
Dado que 9 y 2 son los dígitos distintos de cero más a la derecha, póngalos en la misma columna.
Dibuja (quizás mentalmente) una línea vertical para separar los ceros de los nonceros.
Multiplique los números a la izquierda de la línea vertical como de costumbre, luego adjunte al extremo derecho de este producto el número total de ceros.
El producto es 58,800,000
Set de Práctica D
Multiplica 1,800 por 90.
- Contestar
-
162,000
Set de Práctica D
Multiplica 420,000 por 300.
- Contestar
-
126,000,000
Set de Práctica D
Multiplica 20,500,000 por 140,000.
- Contestar
-
2,870,000,000,000
Calculadoras
La mayoría de las multiplicaciones se realizan usando una calculadora.
Juego de Muestras E
Multiplica 75,891 por 263.
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 75891 | 75891 |
| Prensa | × | 75891 |
| Tipo | 263 | 263 |
| Prensa | = | 19959333 |
El producto es 19,959,333.
Juego de Muestras E
Multiplica 4,510,000,000,000 por 1,700.
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 451 | 451 |
| Prensa | × | 451 |
| Tipo | 17 | 17 |
| Prensa | = | 7667 |
La pantalla ahora lee 7667. Tendremos que sumar los ceros nosotros mismos. Hay un total de 12 ceros. Adjuntando 12 ceros a 7667, obtenemos 7,667,000,000,000,000.
El producto es 7,667,000,000,000,000.
Juego de Muestras E
Multiplica 57,847,298 por 38,976.
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 57847298 | 57847298 |
| Prensa | × | 57847298 |
| Tipo | 38976 | 38976 |
| Prensa | = | 2.2546563 12 |
La pantalla ahora lee 2.2546563 12. ¿Qué tipo de número es este? Este es un ejemplo de un número entero escrito en notación científica . Estudiaremos este concepto cuando lleguemos a los números decimales.
Set de práctica E
Usa una calculadora para realizar cada multiplicación.
\(52 \times 27\)
- Contestar
-
1,404
Set de práctica E
\(1,448 \times 6,155\)
- Contestar
-
8,912,440
Set de práctica E
\(8,940,000 \times 205,000\)
- Contestar
-
1,832,700,000,000
Ejercicios
Para los siguientes problemas, realice las multiplicaciones. Puedes consultar cada producto con una calculadora.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(\begin{array} {r} {8} \\ {\underline{\times 3}} \end{array}\)
- Contestar
-
24
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(\begin{array} {r} {3} \\ {\underline{\times 5}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(\begin{array} {r} {8} \\ {\underline{\times 6}} \end{array}\)
- Contestar
-
48
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(\begin{array} {r} {5} \\ {\underline{\times 7}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(6 \times 1\)
- Contestar
-
6
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(4 \times 5\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\(75 \times 3\)
- Contestar
-
225
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(35 \times 5\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
\(\begin{array} {r} {45} \\ {\underline{\times \ \ 6}} \end{array}\)
- Contestar
-
270
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
\(\begin{array} {r} {31} \\ {\underline{\times \ \ 7}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(\begin{array} {r} {97} \\ {\underline{\times \ \ 6}} \end{array}\)
- Contestar
-
582
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(\begin{array} {r} {75} \\ {\underline{\times 57}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(\begin{array} {r} {64} \\ {\underline{\times 15}} \end{array}\)
- Contestar
-
960
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(\begin{array} {r} {73} \\ {\underline{\times 15}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(\begin{array} {r} {81} \\ {\underline{\times 95}} \end{array}\)
- Responder
-
7,695
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(\begin{array} {r} {31} \\ {\underline{\times 33}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(57 \times 64\)
- Responder
-
3,648
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\(76 \times 42\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\(894 \times 52\)
- Responder
-
46,488
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\(684 \times 38\)
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(\begin{array} {r} {115} \\ {\underline{\times \ \ 22}} \end{array}\)
- Responder
-
2,530
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(\begin{array} {r} {706} \\ {\underline{\times \ \ 81}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(\begin{array} {r} {328} \\ {\underline{\times \ \ 21}} \end{array}\)
- Responder
-
6,888
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(\begin{array} {r} {550} \\ {\underline{\times \ \ 94}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(930 \times 26\)
- Responder
-
24,180
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\(318 \times 63\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\(\begin{array} {r} {582} \\ {\underline{\times 127}} \end{array}\)
- Responder
-
73,914
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\(\begin{array} {r} {247} \\ {\underline{\times 116}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\(\begin{array} {r} {305} \\ {\underline{\times 225}} \end{array}\)
- Responder
-
68,625
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(\begin{array} {r} {782} \\ {\underline{\times 547}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
\(\begin{array} {r} {771} \\ {\underline{\times 663}} \end{array}\)
- Responder
-
511,173
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(\begin{array} {r} {638} \\ {\underline{\times 516}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
\(1,905 \times 710\)
- Responder
-
1,352,550
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
\(5,757 \times 5,010\)
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
\(\begin{array} {r} {3,106} \\ {\underline{\times 1,752}} \end{array}\)
- Responder
-
5,441,712
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
\(\begin{array} {r} {9,300} \\ {\underline{\times 1,130}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
\(\begin{array} {r} {7,057} \\ {\underline{\times 5,229}} \end{array}\)
- Responder
-
36,901,053
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
\(\begin{array} {r} {8,051} \\ {\underline{\times 5,580}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
\(\begin{array} {r} {5,804} \\ {\underline{\times 4,300}} \end{array}\)
- Responder
-
24,957,200
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
\(\begin{array} {r} {357} \\ {\underline{\times \ \ 16}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
\(\begin{array} {r} {724} \\ {\underline{\times \ \ \ \ 0}} \end{array}\)
- Responder
-
0
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
\(\begin{array} {r} {2,649} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ 41}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\(\begin{array} {r} {5,173} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ 8}} \end{array}\)
- Responder
-
41,384
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
\(\begin{array} {r} {1,999} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ 0}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
\(\begin{array} {r} {1,666} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ 0}} \end{array}\)
- Responder
-
0
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
\(\begin{array} {r} {51,730} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ 142}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
\(\begin{array} {r} {387} \\ {\underline{\times 190}} \end{array}\)
- Responder
-
73,530
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
\(\begin{array} {r} {3,400} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ 70}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{49}\)
\(\begin{array} {r} {460,000} \\ {\underline{\times \ \ 14,000}} \end{array}\)
- Responder
-
6,440,000,000
Ejercicio \(\PageIndex{50}\)
\(\begin{array} {r} {558,000,000} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ \ \ 81,000}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{51}\)
\(\begin{array} {r} {37,000} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ 120}} \end{array}\)
- Responder
-
4,440,000
Ejercicio \(\PageIndex{52}\)
\(\begin{array} {r} {498,000} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{53}\)
\(\begin{array} {r} {4,585,000} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 140}} \end{array}\)
- Responder
-
641,900,000
Ejercicio \(\PageIndex{54}\)
\(\begin{array} {r} {30,700,000} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 180}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{55}\)
\(\begin{array} {r} {8,000} \\ {\underline{\times \ \ \ \ \ 10}} \end{array}\)
- Responder
-
80,000
Ejercicio \(\PageIndex{56}\)
Supongamos que un teatro tiene 426 personas. Si el teatro cobra 4 dólares por boleto y vende cada asiento, ¿cuánto dinero aceptarían?
Ejercicio \(\PageIndex{57}\)
En una clase de inglés, se espera que un estudiante lea 12 novelas durante el semestre y prepare un reportaje sobre cada una de ellas. Si hay 32 alumnos en la clase, ¿cuántos informes se elaborarán?
- Responder
-
384 informes
Ejercicio \(\PageIndex{58}\)
En una clase de matemáticas, un examen final consta de 65 problemas. Si este examen se da a 28 personas, ¿cuántos problemas debe calificar el instructor?
Ejercicio \(\PageIndex{59}\)
Una instructora de derecho empresarial da un examen de 45 problemas a dos de sus clases. Si cada clase tiene 37 personas en ella, ¿cuántos problemas tendrá el instructor para calificar?
- Responder
-
3,330 problemas
Ejercicio \(\PageIndex{60}\)
Un instructor de álgebra da un examen que consta de 43 problemas a cuatro de sus clases. Si las clases tienen 25, 28, 31 y 35 alumnos en ellas, ¿cuántos problemas tendrá el instructor para calificar?
Ejercicio \(\PageIndex{61}\)
En estadística, el término “desviación estándar” se refiere a un número que se calcula a partir de ciertos datos. Si los datos indican que una desviación estándar es de 38 unidades, ¿cuántas unidades son tres desviaciones estándar?
- Responder
-
114 unidades
Ejercicio \(\PageIndex{62}\)
Los refrescos vienen en cajas de 24 latas. Si un supermercado vende 857 cajas durante una semana, ¿cuántas latas individuales se vendieron?
Ejercicio \(\PageIndex{63}\)
Hay 60 segundos en 1 minuto y 60 minutos en 1 hora. ¿Cuántos segundos hay en 1 hora?
- Responder
-
3,600 segundos
Ejercicio \(\PageIndex{64}\)
Hay 60 segundos en 1 minuto, 60 minutos en una hora, 24 horas en un día y 365 días en un año. ¿Cuántos segundos hay en 1 año?
Ejercicio \(\PageIndex{65}\)
La luz recorre 186.000 millas en un segundo. ¿Cuántas millas recorre la luz en un año? ( Pista: ¿Se puede utilizar el resultado del problema anterior?)
- Responder
-
5,865,696,000,000 millas por año
Ejercicio \(\PageIndex{66}\)
Una cafetería de la escuela primaria vende 328 almuerzos todos los días. Cada almuerzo cuesta $1. ¿Cuánto dinero trae la cafetería en 2 semanas?
Ejercicio \(\PageIndex{67}\)
Una empresa de informática está vendiendo acciones por $23 la acción. Si 87 personas compraran 55 acciones cada una, ¿cuánto dinero se traería?
- Responder
-
$110,055
Ejercicios para revisión
En el número 421,998, ¿cómo pueden haber diez miles?
Vuelta 448,062,187 a los cien mil más cercanos.
- Responder
-
448.100,000
Encuentra la suma. 22,451 + 18,976.
Restar 2,289 de 3,001.
- Responder
-
712
Especificar qué propiedad de suma justifica el hecho de que (un primer número entero + un segundo número entero) = (el segundo número entero + el primer número entero)