5.2: Conceptos de división de números enteros
Objetivos de aprendizaje
- entender el proceso de división
- entender la división de un número distinto de cero en cero
- entender por qué la división por cero es indefinida
- poder usar una calculadora para dividir un número entero entre otro
División
La división es una descripción de la resta repetida.
En el proceso de división, la preocupación es cuántas veces un número está contenido en otro número. Por ejemplo, podríamos estar interesados en cuántos 5's están contenidos en 15. La palabra tiempos es significativa porque implica una relación entre división y multiplicación.
Existen varias notaciones utilizadas para indicar división. Supongamos que \(Q\) registra el número de veces que 5 está contenido en 15. Podemos indicarlo escribiendo
\(\begin{matrix} \underbrace{\begin{array} {r} {Q} \\ {5 \overline{)15}} \end{array}} \\ {\text{5 into 15}} \end{matrix}\) \(\begin{matrix} \underbrace{\dfrac{15}{5} = Q} \\ {\text{15 divided by 5}} \end{matrix}\)
\(\begin{matrix} \underbrace{15/5 = Q} \\ {\text{15 divided by 5}} \end{matrix}\) \(\begin{matrix} \underbrace{15 \div 5 = Q} \\ {\text{15 divided by 5}} \end{matrix}\)
Cada una de estas notaciones de división describe el mismo número, representado aquí por el símbolo \(Q\) . Cada notación también se convierte a la misma forma de multiplicación. Es \(15 = 5 \times Q\)
Definición: Dividendo
En división, el número en el que se divide se llama dividendo .
Definición: Divisor
En división, el número que divide en el dividendo es el divisor .
Definición: Cociente
En división, el resultado de la división se llama cociente .
\[\begin{align*} \begin{array} {r} {\text{quotient}} \\ {\text{divisor} \overline{)\text{dividend}}} &\end{array} \\[4pt] \dfrac{\text{dividend}}{\text{divisor}} &= \text{quotient} \\[4pt] \text{dividend/divisor} &= \text{quotient} \\[4pt] \text{dividend} \div \text{divisor} &= \text{quotient} \end{align*}\]
Conjunto de Muestras A
Encuentra los siguientes cocientes usando hechos de multiplicación.
\(18 \div 6\)
Solución
Dado que \(6 \times 3 = 18\) ,
\(18 \div 6 = 3\)
Observe también que
\(\left \{ \begin{array} {r} {18} \\ {\underline{-6}} \\ {12} \\ {\underline{-6}} \\ {6} \\ {\underline{-6}} \\ {0} \end{array} \right \} \text{ Repeated subtraction}\)
Así, 6 está contenido en 18 tres veces.
Conjunto de Muestras A
\(\dfrac{24}{3}\)
Solución
Dado que \(3 \times 8 = 24\) ,
\(\dfrac{24}{3} = 8\)
Observe también que 3 podrían restarse exactamente 8 veces de 24. Esto implica que 3 está contenido en 24 ocho veces.
Conjunto de Muestras A
\(\dfrac{36}{6}\)
Solución
Dado que \(6 \times 6 = 36\) ,
\(\dfrac{36}{6} = 6\)
Así, hay 6 seis en 36.
Conjunto de Muestras A
\(9\overline{)72}\)
Solución
Dado que \(9 \times 8 = 72\) ,
\(\begin{array} {r} {8} \\ {9\overline{)72}} \end{array}\)
Así, hay 8 nueves en 72.
Conjunto de práctica A
Utilice los hechos de multiplicación para determinar los siguientes cocientes.
\(32 \div 8\)
- Contestar
-
4
Conjunto de práctica A
\(18 \div 9\)
- Contestar
-
2
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{25}{5}\)
- Contestar
-
5
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{48}{8}\)
- Contestar
-
6
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{28}{7}\)
- Contestar
-
4
Conjunto de práctica A
\(4\overline{)36}\)
- Contestar
-
4
División en Cero (Cero como Dividendo: \(\dfrac{0}{a}\) , \(a \ne 0\) )
Veamos qué sucede cuando el dividendo (el número que se divide en) es cero, y el divisor (el número que hace la división) es cualquier número entero excepto cero. La pregunta es
Qué número, en su caso, es
\[\dfrac{0}{\text{any nonzero whole number}}? \nonumber\]
Representemos este cociente desconocido por \(Q\) . Entonces,
\[\dfrac{0}{\text{any nonzero whole number}} = Q\nonumber\]
Convirtiendo este problema de división a su problema de multiplicación correspondiente, obtenemos
\[0 = Q \times \text{(any nonzero whole number)}\nonumber\]
A partir de nuestro conocimiento de la multiplicación, podemos entender que si el producto de dos números enteros es cero, entonces uno o ambos números enteros deben ser cero. Dado que cualquier número entero distinto de cero ciertamente no es cero, \(Q\) debe representar cero. Entonces,
\[\dfrac{0}{\text{any nonzero whole number}} = 0\nonumber\]
Por lo tanto cero dividido cualquier número entero distinto de cero es cero .
División por Cero (Cero como Divisor: \(\dfrac{a}{0}, a \ne 0\) )
Ahora preguntamos: ¿Qué número, en su caso, es
\[\dfrac{\text{any nonzero whole number}}{0}? \nonumber\]
Dejando \(Q\) representar un posible cociente, obtenemos
Convirtiendo a la forma de multiplicación correspondiente, tenemos
\[\text{(any nonzero whole number)} = Q \times 0 \nonumber\]
Desde \(Q \times 0 = 0\) , (cualquier número entero distinto de cero) = 0. Pero esto es absurdo. Esto significaría eso \(6 = 0\) , o \(37 = 0\) . ¡Un número entero distinto de cero no puede ser igual a 0! Por lo tanto,
\[\dfrac{\text{any nonzero whole number}}{0} \nonumber\]
no nombra un número
División por Cero es
Indefinida
La división por cero no nombra un número. Es, por tanto, indefinido.
División por e Into Cero (Cero como Dividendo y Divisor: \(\frac{0}{0}\) )
Ahora tenemos curiosidad por el cero dividido por cero \((\dfrac{0}{0})\) . Si dejamos \(Q\) representar un cociente potencial, obtenemos
\[\dfrac{0}{0} = Q\]
Conversión a la forma de multiplicación,
\[0 = Q \times 0\]
Esto da como resultado
\[0 = 0\]
Esta es una afirmación que es cierta independientemente del número utilizado en lugar de \(Q\) . Por ejemplo,
\[\dfrac{0}{0} = 5\]
ya que \(0 = 5 \times 0\) .
\[\dfrac{0}{0} = 31\]
ya que \(0 = 31 \times 0\) .
\[\dfrac{0}{0} = 286\]
ya que \(0 = 286 \times 0\) .
No se puede determinar un cociente único .
Definición: Indeterminante
Dado que el resultado de las divisiones anteriores no es concluyente, decimos que \(\dfrac{0}{0}\) es indeterminante .
Conjunto de Muestras B
Realizar, si es posible, cada división.
\(\dfrac{19}{0}\) . Dado que la división por 0 no nombra un número entero, no existe ningún cociente, y declaramos que no \(\dfrac{19}{0}\) está definido
Conjunto de Muestras B
\(0\overline{)14}\) . Dado que la división por 0 no nombra un número definido, no existe ningún cociente, y declaramos que no \(0\overline{)14}\) está definido
Conjunto de Muestras B
\(9\overline{)0}\) . Dado que la división en 0 por cualquier número entero distinto de cero resulta en 0, tenemos \(\begin{array} {r} {0} \\ {9\overline{)0}} \end{array}\)
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{0}{7}\) . Dado que la división en 0 por cualquier número entero distinto de cero resulta en 0, tenemos \(\dfrac{0}{7} = 0\)
Set de práctica B
Realizar, si es posible, las siguientes divisiones.
\(\dfrac{5}{0}\)
- Contestar
-
undefined
Set de práctica B
\(\dfrac{0}{4}\)
- Contestar
-
0
Set de práctica B
\(0\overline{)0}\)
- Contestar
-
indeterminantes
Set de práctica B
\(0\overline{)9}\)
- Contestar
-
undefined
Set de práctica B
\(\dfrac{9}{0}\)
- Contestar
-
undefined
Set de práctica B
\(\dfrac{0}{1}\)
- Contestar
-
0
Calculadoras
Las divisiones también se pueden realizar usando una calculadora.
Conjunto de Muestras C
Divide 24 por 3.
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 24 | 24 |
| Prensa | \(\div\) | 24 |
| Tipo | 3 | 3 |
| Prensa | = | 8 |
La pantalla ahora dice 8, y concluimos que \(24 \div 3 = 8\) .
Conjunto de Muestras C
Divide 0 por 7.
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 0 | 0 |
| Prensa | \(\div\) | 0 |
| Tipo | 7 | 7 |
| Prensa | = | 8 |
La pantalla ahora lee 0, y concluimos que \(0 \div 7 = 0\) .
Conjunto de Muestras C
Divide 7 por 0.
Dado que la división por cero no está definida, la calculadora debe registrar algún tipo de mensaje de error.
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 7 | 7 |
| Prensa | \(\div\) | 7 |
| Tipo | 0 | 0 |
| Prensa | = | Error |
El mensaje de error indica que se intentó una operación indefinida, en este caso, división por cero.
Set de práctica C
Usa una calculadora para realizar cada división.
\(35 \div 7\)
- Contestar
-
5
Set de práctica C
\(56 \div 8\)
- Contestar
-
7
Set de práctica C
\(0 \div 6\)
- Contestar
-
0
Set de práctica C
\(3 \div 0\)
- Contestar
-
Un mensaje de error nos dice que esta operación es indefinida. El mensaje particular depende de la calculadora.
Set de práctica C
\(0 \div 0\)
- Contestar
-
Un mensaje de error nos indica que esta operación no se puede realizar. Algunas calculadoras en realidad establecen \(0 \div 0\) igual a 1. ¡Sabemos mejor! \(0 \div 0\) es indeterminante.
Ejercicios
Para los siguientes problemas, determinar los cocientes (si es posible). Puedes usar una calculadora para verificar el resultado.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(4\overline{)32}\)
- Contestar
-
8
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(7\overline{)42}\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(6\overline{)18}\)
- Contestar
-
3
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(2\overline{)14}\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(3\overline{)27}\)
- Contestar
-
9
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(1\overline{)6}\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\(4\overline{)28}\)
- Responder
-
7
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(\dfrac{30}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
\(\dfrac{16}{4}\)
- Responder
-
4
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
\(24 \div 8\)
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(10 \div 2\)
- Responder
-
5
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(21 \div 7\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(21 \div 3\)
- Responder
-
7
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(0 \div 6\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(8 \div 0\)
- Responder
-
no definido
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(12 \div 4\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(3\overline{)9}\)
- Responder
-
3
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\(0\overline{)0}\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\(7\overline{)0}\)
- Responder
-
0
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\(6\overline{)48}\)
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(\dfrac{15}{3}\)
- Responder
-
5
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(\dfrac{35}{0}\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(56 \div 7\)
- Responder
-
8
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(\dfrac{0}{9}\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(72 \div 8\)
- Responder
-
9
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
Escribir \(\dfrac{16}{2} = 8\) usando tres notaciones diferentes.
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
Escribir \(\dfrac{27}{9} = 3\) usando tres notaciones diferentes.
- Responder
-
\(27 \div 9 = 3\) ; \(9\overline{)27} = 3\) ; \(\dfrac{27}{9} = 3\)
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
En el comunicado \(\begin{array} {r} {4} \\ {6 \overline{)24}} \end{array}\)
6 se llama el.
24 se llama el.
4 se llama el.
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
En el comunicado \(56 \div 8 = 7\) .
7 se llama el.
8 se llama el.
56 se llama el.
- Responder
-
7 es cociente; 8 es divisor; 56 es dividendo
Ejercicios para revisión
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
¿Cuál es el dígito más grande?
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
Encuentra la suma. \(\begin{array} {r} {8,006} \\ {\underline{+ 4,118}} \end{array}\)
- Responder
-
12,124
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
Encuentra la diferencia. \(\begin{array} {r} {631} \\ {\underline{-589}} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
Utilice los números 2, 3 y 7 para ilustrar la propiedad asociativa de la suma.
- Responder
-
\(\begin{array} {c} {(2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) = 12} \\ {5 + 7 = 2 + 10 = 12} \end{array}\)
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
Encuentra el producto. \(\begin{array} {r} {86} \\ {\underline{\times 12}} \end{array}\)