6.4: El mayor factor común
Objetivos de aprendizaje
- ser capaz de encontrar el mayor factor común de dos o más números enteros
El mayor factor común (GCF)
Usando el método que estudiamos en [link] , pudimos obtener las factorizaciones prime de 30 y 42.
\[ \begin{align*} 30 &= 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[4pt] 42 &= 2 \cdot 3 \cdot 7 \end{align*}\]
Definición: Factor común
Notamos que 2 aparece como factor en ambos números, es decir, 2 es un factor común de 30 y 42. También notamos que 3 aparece como factor en ambos números. Tres es también un factor común de 30 y 42.
Definición: Mayor factor común (GCF)
Al considerar dos o más números, suele ser útil saber si existe un mayor factor común de los números, y de ser así, cuál es ese número. El factor común más grande de dos o más números enteros se llama el factor común más grande , y es abreviado por GCF . El mayor factor común de una colección de números enteros es útil para trabajar con fracciones (lo que haremos en [link] ).
Un método para determinar el mayor factor común
Un método sencillo para determinar el GCF de dos o más números enteros hace uso tanto de la factorización prima de los números como de los exponentes.
Cómo encontrar el mayor factor común (GCF) de dos o más números enteros
- Escribe la factorización prima de cada número, usando exponentes sobre factores repetidos.
- Escribe cada base que sea común a cada uno de los números.
- A cada base listada en el paso 2, adjuntar el exponente más pequeño que aparece en ella en cualquiera de las factorizaciones primos.
- El GCF es el producto de los números que se encuentran en el paso 3.
Conjunto de Muestras A
Encuentra el GCF de los siguientes números.
12 y 18
Solución
- \(\begin{array} {l} {12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3} \\ {18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2} \end{array}\)
- Las bases comunes son 2 y 3.
- Los exponentes más pequeños que aparecen en 2 y 3 en las factorizaciones primos son, respectivamente, 1 y 1 ( \(2^1\) y \(3^1\) ), o 2 y 3.
-
El GCF es el producto de estos números.
\(2 \cdot 3 = 6\)
El GCF de 30 y 42 es 6 porque 6 es el mayor número que divide tanto 30 como 42 sin un resto.
Conjunto de Muestras A
18, 60 y 72
Solución
- \(\begin{array} {l} {18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2} \\ {60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5} \\ {72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2} \end{array}\)
- Las bases comunes son 2 y 3.
-
Los exponentes más pequeños que aparecen en 2 y 3 en las factorizaciones primos son, respectivamente, 1 y 1:
\(2^1\) de 18
\(3^1\) de 60 -
El GCF es el producto de estos números.
GCF es \(2 \cdot 3 = 6\)
Así, 6 es el número más grande que divide 18, 60 y 72 sin un resto.
Conjunto de Muestras A
700, 1,880 y 6,160
Solución
- \(\begin{array} {rcl} {700 \ = \ 2 \cdot 350 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 175} & = & {2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 35} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7} \\ {} & = & {2^2 \cdot 5^2 \cdot 7} \\ {1,880 \ = \ 2 \cdot 940 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 470} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 235} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 47} \\ {} & = & {2^3 \cdot 5 \cdot 47} \\ {6,160 \ = \ 2 \cdot 3,080 \ = \ 2 \cdot 2 \cdot 1,540} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 770} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 385} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 77} \\ {} & = & {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} \\ {} & = & {2^4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11} \end{array}\)
- Las bases comunes son 2 y 5
-
Los exponentes más pequeños que aparecen en 2 y 5 en las factorizaciones primos son, respectivamente, 2 y 1.
\(2^2\) desde 700.
\(5^1\) ya sea de 1,880 ó 6,160. -
El GCF es el producto de estos números.
GCF es \(2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20\)
Así, 20 es el número más grande que divide 700, 1,880 y 6,160 sin un resto.
Conjunto de práctica A
Encuentra el GCF de los siguientes números.
24 y 36
- Responder
-
12
Conjunto de práctica A
48 y 72
- Responder
-
24
Conjunto de práctica A
50 y 140
- Contestar
-
10
Conjunto de práctica A
21 y 225
- Contestar
-
3
Conjunto de práctica A
450, 600 y 540
- Contestar
-
30
Ejercicios
Para los siguientes problemas, encuentra el mayor factor común (GCF) de los números.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
6 y 8
- Contestar
-
2
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
5 y 10
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
8 y 12
- Contestar
-
4
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
9 y 12
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
20 y 24
- Contestar
-
4
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
35 y 175
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
25 y 45
- Contestar
-
5
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
45 y 189
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
66 y 165
- Contestar
-
33
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
264 y 132
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
99 y 135
- Contestar
-
9
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
65 y 15
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
33 y 77
- Contestar
-
11
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
245 y 80
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
351 y 165
- Contestar
-
3
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
60, 140 y 100
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
147, 343 y 231
- Contestar
-
7
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
24, 30 y 45
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
175, 225 y 400
- Contestar
-
25
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
210, 630 y 182
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
14, 44 y 616
- Contestar
-
2
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
1,617, 735 y 429
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
1,573, 4,862 y 3,553
- Contestar
-
11
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
3,672, 68 y 920
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
7, 2,401, 343, 16 y 807
- Contestar
-
1
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
500, 77 y 39
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
441, 275 y 221
- Contestar
-
1
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
Encuentra el producto. \(2,753 \times 4,006\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
Encuentra el cociente. \(954 \div 18\)
- Contestar
-
53
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
Especifique cuál de los dígitos 2, 3 o 4 se divide en 9,462.
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
Escribir \(8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8\) usando exponentes.
- Contestar
-
\(8^6 = 262,144\)
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
Encuentra la factorización prima de 378.