6.5: El múltiplo menos común
Objetivos de aprendizaje
- ser capaz de encontrar el múltiplo menos común de dos o más números enteros
Múltiplos
Cuando un número entero se multiplica por otros números enteros, con la excepción de cero, los productos resultantes se denominan múltiplos del número entero dado. Tenga en cuenta que cualquier número entero es un múltiplo de sí mismo.
Conjunto de Muestras A
| Multiplos de 2 | Multiplos de 3 | Multiplos 8 | Multiplos de 10 |
|---|---|---|---|
| \(2 \times 1 = 2\) | \(3 \times 1 = 3\) | \(8 \times 1 = 8\) | \(10 \times 1 = 10\) |
| \(2 \times 2 = 4\) | \(3 \times 2 = 6\) | \(8 \times 2 = 16\) | \(10 \times 2 = 20\) |
| \(2 \times 3 = 6\) | \(3 \times 3 = 9\) | \(8 \times 3 = 24\) | \(10 \times 3 = 30\) |
| \(2 \times 4 = 8\) | \(3 \times 4 = 12\) | \(8 \times 4 = 32\) | \(10 \times 4 = 40\) |
| \(2 \times 5 = 10\) | \(3 \times 5 = 15\) | \(8 \times 5 = 40\) | \(10 \times 5 = 50\) |
| ... | ... | ... | ... |
Conjunto de práctica A
Encuentra los primeros cinco múltiplos de los siguientes números.
4
- Contestar
-
4, 8, 12, 16, 20
Conjunto de práctica A
5
- Contestar
-
5, 10, 15, 20, 25
Conjunto de práctica A
6
- Contestar
-
6, 12, 18, 24, 30
Conjunto de práctica A
7
- Contestar
-
7, 14, 21, 28, 35
Conjunto de práctica A
9
- Contestar
-
9, 18, 27, 36, 45
Multiplos Comunes
Habrá momentos en los que se nos den dos o más números enteros y necesitaremos saber si hay múltiplos que sean comunes a cada uno de ellos. Si las hay, necesitaremos saber cuáles son. Por ejemplo, algunos de los múltiplos que son comunes a 2 y 3 son 6, 12 y 18.
Conjunto de Muestras B
Podemos visualizar múltiplos comunes usando la línea numérica.
Observe que los múltiplos comunes se pueden dividir por ambos números enteros.
Set de práctica B
Encuentra los primeros cinco múltiplos comunes de los siguientes números.
2 y 4
- Contestar
-
4, 8, 12, 16, 20
Set de práctica B
3 y 4
- Contestar
-
12, 24, 36, 48, 60
Set de práctica B
2 y 5
- Contestar
-
10, 20, 30, 40, 50
Set de práctica B
3 y 6
- Contestar
-
6, 12, 18, 24, 30
Set de práctica B
4 y 5
- Contestar
-
20, 40, 60, 80, 100
El múltiplo menos común (LCM)
Observe que en nuestra visualización de líneas numéricas de múltiplos comunes (arriba), el primer múltiplo común es también el múltiplo más pequeño, o menos común , abreviado por LCM .
Definición: Mínimo Común Múltiple
El múltiplo menos común ( LCM) de dos o más números enteros es el número entero más pequeño en el que se dividirá cada uno de los números dados sin un resto.
El múltiplo menos común será extremadamente útil para trabajar con fracciones.
Encontrar el múltiplo menos común
Encontrar el LCM
Para encontrar el LCM de dos o más números:
- Escribe la factorización prima de cada número, usando exponentes sobre factores repetidos.
- Escribe cada base que aparece en cada una de las factorizaciones principales.
- A cada base, adjuntar el mayor exponente que aparece en ella en las factorizaciones primos.
- El LCM es el producto de los números que se encuentran en el paso 3.
Existen algunas diferencias importantes entre el uso de los procesos para obtener el GCF y el LCM que debemos anotar cuidadosamente:
La diferencia entre los procesos para obtener el GCF y el MCM
- Observe la diferencia entre el paso 2 para el LCM y el paso 2 para el GCF. Para el GCF, utilizamos solo las bases que son comunes en las factorizaciones primos, mientras que para el LCM, usamos cada base que aparece en las factorizaciones primos.
- Observe la diferencia entre el paso 3 para el LCM y el paso 3 para el GCF. Para el GCF, adjuntamos los exponentes más pequeños a las bases comunes, mientras que para el LCM, adjuntamos los exponentes más grandes a las bases.
Conjunto de Muestras C
Encuentra el LCM de los siguientes números.
9 y 12
Solución
- \(\begin{array} {l} {9 = 3 \cdot 3 = 3^2} \\ {12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3} \end{array}\)
- Las bases que aparecen en las factorizaciones prime son 2 y 3.
-
Los
mayores exponentes
que aparecen en 2 y 3 en las factorizaciones primos son, respectivamente, 2 y 2:
\(2^2\) de 12.
\(3^2\) a partir de 9. -
El LCM es el producto de estos números.
LCM = \(2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)
Así, 36 es el número más pequeño en el que tanto el 9 como el 12 dividen sin restos.
Conjunto de Muestras C
90 y 630
Solución
- \(\begin{array} {ccll} {90} & = & {2 \cdot 45 = 2 \cdot 3 \cdot 15 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5} & {} \\ {630} & = & {2 \cdot 315 = 2 \cdot 3 \cdot 105 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 35} & {= 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} \\ {} & \ & {} & {= 2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7} \end{array}\)
- Las bases que aparecen en las factorizaciones primos son 2, 3, 5 y 7.
-
Los exponentes más grandes que aparecen en 2, 3, 5 y 7 son, respectivamente, 1, 2, 1 y 1:
\(2^1\) de 90 o 630.
\(3^2\) desde 90 ó 630.
\(5^1\) desde 90 ó 630.
\(7^1\) desde 630. -
El LCM es el producto de estos números.
LCM = \(2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 630\)
Así, 630 es el número más pequeño en el que tanto 90 como 630 dividen sin restos.
Conjunto de Muestras C
33, 110 y 484
Solución
- \(\begin{array} {rcl} {33} & = & {3 \cdot 11} \\ {110} & = & {2 \cdot 55 = 2 \cdot 5 \cdot 11} \\ {484} & = & {2 \cdot 242 = 2 \cdot 2 \cdot 121 = 2 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 11 = 2^2 \cdot 11^2} \end{array}\)
- Las bases que aparecen en las factorizaciones primos son 2, 3, 5 y 11.
-
Los exponentes más grandes que aparecen en 2, 3, 5 y 11 son, respectivamente, 2, 1, 1 y 2:
\(2^2\) de 484.
\(3^1\) a partir del 33.
\(5^1\) desde 110.
\(11^2\) a partir de 484. -
El LCM es el producto de estos números.
\(\begin{array} {rcl} {\text{LCM}} & = & {2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11^2} \\ {} & = & {4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 121} \\ {} & = & {7260} \end{array}\)
Así, 7260 es el número más pequeño en el que 33, 110 y 484 dividen sin restos.
Set de práctica C
Encuentra el LCM de los siguientes números.
20 y 54
- Contestar
-
540
Set de práctica C
14 y 28
- Contestar
-
28
Set de práctica C
6 y 63
- Contestar
-
126
Set de práctica C
28, 40 y 98
- Contestar
-
1,960
Set de práctica C
16, 27, 125 y 363
- Contestar
-
6,534.000
Ejercicios
Para los siguientes problemas, encuentra el múltiplo menos común de los números.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
8 y 12
- Contestar
-
24
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
6 y 15
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
8 y 10
- Contestar
-
40
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
10 y 14
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
4 y 6
- Contestar
-
12
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
6 y 12
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
9 y 18
- Contestar
-
18
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
6 y 8
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
5 y 6
- Contestar
-
30
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
7 y 8
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
3 y 4
- Contestar
-
12
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
2 y 9
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
7 y 9
- Contestar
-
63
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
28 y 36
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
24 y 36
- Contestar
-
72
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
28 y 42
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
240 y 360
- Contestar
-
720
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
162 y 270
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
20 y 24
- Contestar
-
120
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
25 y 30
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
24 y 54
- Contestar
-
216
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
16 y 24
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
36 y 48
- Contestar
-
144
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
24 y 40
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
15 y 21
- Contestar
-
105
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
50 y 140
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
7, 11 y 33
- Contestar
-
231
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
8, 10 y 15
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
18, 21 y 42
- Contestar
-
126
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
4, 5 y 21
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
45, 63 y 98
- Contestar
-
4,410
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
15, 25 y 40
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
12, 16 y 20
- Contestar
-
240
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
84 y 96
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
48 y 54
- Contestar
-
432
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
12, 16 y 24
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
12, 16, 24 y 36
- Contestar
-
144
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
6, 9, 12 y 18
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
8, 14, 28 y 32
- Contestar
-
224
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
18, 80, 108 y 490
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
22, 27, 130 y 225
- Contestar
-
193,050
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
38, 92, 115 y 189
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
8 y 8
- Contestar
-
8
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
12, 12 y 12
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
3, 9, 12 y 3
- Contestar
-
36
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
Vuelta 434.892 a los diez mil más cercanos.
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
¿Cuánto más grande es 14,061 que 7,509?
- Contestar
-
6,552
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
Encuentra el cociente. \(22,428 \div 14\) .
Ejercicio \(\PageIndex{49}\)
Ampliar \(84^7\) . No encuentre el valor.
- Contestar
-
\(84 \cdot 84 \cdot 84\)
Ejercicio \(\PageIndex{50}\)
Encuentra el mayor factor común de 48 y 72.