10.2: Proporciones
Objetivos de aprendizaje
- ser capaz de describir proporciones y encontrar el factor faltante en una proporción
- ser capaz de trabajar con proporciones que involucren tasas
Ratios, Tasas y Proporciones
Definición: Ratio, Tasa
Hemos definido una relación como una comparación, por división, de dos números puros o dos números denominados similares . Hemos definido una tasa como una comparación, por división, de dos números denominados diferentes.
Definición: Proporción
Una proporción es una afirmación de que dos ratios o tasas son iguales. Los siguientes dos ejemplos muestran cómo leer proporciones.
Conjunto de Muestras A
Escribe o lee cada proporción.
\(\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{20}\)
Solución
3 es a 5 como 12 es a 20
Conjunto de Muestras A
\(\dfrac{\text{10 items}}{\text{5 dollars}} = \dfrac{\text{2 items}}{\text{1 dollar}}\)
Solución
10 artículos es a 5 dólares ya que 2 artículos es a 1 dólar
Conjunto de Muestras A
8 es a 12 como 16 es a 24.
Solución
\(\dfrac{8}{12} = \dfrac{16}{24}\)
Conjunto de Muestras A
50 miligramos de vitamina C es a 1 tableta ya que 300 miligramos de vitamina C es a 6 tabletas.
Solución
\(\dfrac{50}{1} = \dfrac{300}{6}\)
Conjunto de práctica A
Escribe o lee cada proporción.
\(\dfrac{3}{8} = \dfrac{6}{16}\)
- Contestar
-
3 es a 8 como 6 es a 16
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{\text{2 people}}{\text{1 window}} = \dfrac{\text{10 people}}{\text{5 windows}}\)
- Contestar
-
2 personas son a 1 ventana ya que 10 personas son a 5 ventanas
Conjunto de práctica A
15 es a 4 como 75 es a 20.
- Contestar
-
\(\dfrac{15}{4} = \dfrac{75}{20}\)
Conjunto de práctica A
2 platos son a 1 bandeja ya que 20 platos son a 10 charolas.
- Contestar
-
\ (\ dfrac {\ texto {2 platos}} {\ texto {1 bandeja}} =\ dfrac {\ texto {20 platos}} {\ texto {10 bandejas}}
Encontrar el factor faltante en una proporción
Muchos problemas prácticos pueden resolverse escribiendo la información dada como proporciones. Dichas proporciones estarán compuestas por tres números especificados y un número desconocido. Es costumbre dejar que una letra, como \(x\) , represente el número desconocido. Un ejemplo de tal proporción es
\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}\)
Esta proporción se lee como " \(x\) es a 4 como 20 es a 16”.
Existe un método para resolver estas proporciones que se basa en la igualdad de fracciones. Recordemos que dos fracciones son equivalentes si y sólo si sus productos cruzados son iguales. Por ejemplo,
Observe que en una proporción que contenga tres números especificados y una letra que represente una cantidad desconocida, que independientemente de donde aparezca la letra, siempre ocurre la siguiente situación.
\(\underbrace{(\text{number}) \cdot (\text{letter}) = (\text{number}) \cdot (\text{number})}_{}\)
Esto lo reconocemos como una declaración de multiplicación. En concreto, se trata de una declaración de factor faltante. (Véase [link] para una discusión de declaraciones de multiplicación.) Por ejemplo,
\(\begin{array} {ll} {\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}} & {\text{ means that } 16 \cdot x = 4 \cdot 20} \\ {\dfrac{4}{x} = \dfrac{16}{20}} & {\text{ means that } 4 \cdot 20 = 16 \cdot x} \\ {\dfrac{5}{4} = \dfrac{x}{16}} & {\text{ means that } 5 \cdot 16 = 4 \cdot x} \\ {\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{x}} & {\text{ means that } 5 \cdot x = 4 \cdot 20} \end{array}\)
Cada una de estas declaraciones es una declaración de multiplicación. Específicamente, cada uno es una declaración de factor faltante. (La letra utilizada aquí es \(x\) , mientras que \(M\) se utilizó en [link] .)
Encontrar el factor faltante en una
proporción
El factor faltante en una declaración de factor faltante se puede determinar dividiendo el producto por el factor conocido, es decir, si
\(x\)
representa el factor faltante, entonces
\(x = \text{(product)} \div \text{(known factor)}\)
Conjunto de Muestras B
Encuentra el número desconocido en cada proporción.
\(\dfrac{x}{4} = \dfrac{20}{16}\) . Encuentra el producto cruzado.
Solución
\(\begin{array} {ccll} {16 \cdot x} & = & {20 \cdot 4} & {} \\ {16 \cdot x} & = & {80} & {\text{ Divide the product 80 by the known factor 16.}} \\ {x} & = & {\dfrac{80}{16}} & {} \\ {x} & = & {5} & {\text{ The unkown number is 5.}} \end{array}\)
Esto significa que \(\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{16}\) , o 5 es a 4 como 20 es a 16.
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{5}{x} = \dfrac{20}{16}\) . Encuentra el producto cruzado.
Solución
\(\begin{array} {ccll} {5 \cdot 16} & = & {20 \cdot x} & {} \\ {80} & = & {20 \cdot x} & {\text{ Divide the product 80 by the known factor 20.}} \\ {\dfrac{80}{20}} & = & {x} & {} \\ {4} & = & {x} & {\text{ The unkown number is 4.}} \end{array}\)
Esto significa que \(\dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{16}\) , o 5 es a 4 como 20 es a 16.
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{16}{3} = \dfrac{64}{x}\) . Encuentra el producto cruzado.
Solución
\(\begin{array} {ccll} {16 \cdot x} & = & {64 \cdot 3} & {} \\ {16 \cdot x} & = & {192} & {\text{ Divide 192 by 16.}} \\ {x} & = & {\dfrac{192}{16}} & {} \\ {x} & = & {12} & {\text{ The unkown number is 12.}} \end{array}\)
Esto significa que \(\dfrac{16}{3} = \dfrac{64}{12}\) , o 16 es a 3 como 64 es a 12.
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{9}{8} = \dfrac{x}{40}\) . Encuentra el producto cruzado.
Solución
\(\begin{array} {ccll} {9 \cdot 40} & = & {8 \cdot x} & {} \\ {360} & = & {8 \cdot x} & {\text{ Divide 360 by 8.}} \\ {\dfrac{360}{8}} & = & {x} & {} \\ {45} & = & {x} & {\text{ The unkown number is 45.}} \end{array}\)
Set de práctica B
Encuentra el número desconocido en cada proporción.
\(\dfrac{x}{8} = \dfrac{12}{32}\)
- Contestar
-
\(x = 3\)
Set de práctica B
\(\dfrac{7}{x} = \dfrac{14}{10}\)
- Contestar
-
\(x = 5\)
Set de práctica B
\(\dfrac{9}{11} = \dfrac{x}{55}\)
- Contestar
-
\(x = 45\)
Set de práctica B
\(\dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{x}\)
- Contestar
-
\(x = 48\)
Proporciones que implican tasas
Recordemos que una tasa es una comparación, por división, de números denominados distintos. Debemos tener cuidado a la hora de establecer proporciones que involucren tarifas. La forma es importante. Por ejemplo, si una tarifa involucra dos tipos de unidades, digamos unidad tipo 1 y unidad tipo 2, podemos escribir
o
Ambos productos cruzados producen una declaración del tipo
\((\text{unit type 1}) \cdot (\text{unit type 2}) = (\text{unit type 1}) \cdot (\text{unit type 2})\)
lo que tomamos para significar la comparación
Ejemplos de proporciones expresadas correctamente son los siguientes:
Sin embargo, si escribimos el mismo tipo de unidades en diferentes lados, como,
\(\dfrac{\text{unit type 1}}{\text{unit type 2}} = \dfrac{\text{unit type 2}}{\text{unit type 1}}\)
el producto cruzado produce una declaración de la forma
Podemos ver que esta es una comparación incorrecta al observar el siguiente ejemplo: Es incorrecto escribir
\(\dfrac{\text{2 hooks}}{\text{3 poles}} = \dfrac{\text{6 poles}}{\text{4 hooks}}\)
por dos razones.
El producto cruzado es numéricamente incorrecto:
\((2 \cdot 4 \ne 3 \cdot 6)\)
El producto cruzado produce la declaración “los ganchos son a los ganchos como los postes lo son a los postes”, lo cual no tiene sentido.
Ejercicios
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Una declaración de que dos proporciones o son iguales se llama a.
- Contestar
-
tasas, proporción
Para los siguientes 9 problemas, escriba cada proporción en forma fraccionaria.
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
3 es a 7 como 18 es a 42.
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
1 es a 11 como 3 es a 33.
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{11} = \dfrac{3}{33}\)
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
9 es a 14 como 27 es a 42.
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
6 es a 90 como 3 es a 45.
- Contestar
-
\(\dfrac{6}{90} = \dfrac{3}{45}\)
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
5 litros es a 1 botella ya que 20 litros es a 4 botellas.
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
18 gramos de cobalto es a 10 gramos de plata ya que 36 gramos de cobalto es a 20 gramos de plata.
- Contestar
-
\(\dfrac{\text{18 gr cobalt}}{\text{10 gr silver}} = \dfrac{\text{36 gr cobalt}}{\text{20 gr silver}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
4 tazas de agua es a 1 taza de azúcar ya que 32 tazas de agua es a 8 tazas de azúcar.
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
3 personas ausentes es a 31 personas presentes como 15 personas ausentes es a 155 personas presentes.
- Contestar
-
\(\dfrac{\text{3 people absent}}{\text{31 people present}} = \dfrac{\text{15 people absent}}{\text{155 people present}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
6 dólares es a 1 hora ya que 90 dólares es a 15 horas.
Para los siguientes 10 problemas, escribe cada proporción como una oración.
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}\)
- Contestar
-
3 es a 4 como 15 es a 20
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(\dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{40}\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(\dfrac{\text{3 joggers}}{\text{100 feet}} = \dfrac{\text{6 joggers}}{\text{200 feet}}\)
- Contestar
-
3 joggers son a 100 pies ya que 6 joggers son a 200 pies
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(\dfrac{\text{12 marshmallows}}{\text{3 sticks}} = \dfrac{\text{36 marshmallows}}{\text{9 sticks}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(\dfrac{\text{40 miles}}{\text{80 miles}} = \dfrac{\text{2 gallons}}{\text{4 gallons}}\)
- Contestar
-
40 millas son a 80 millas ya que 2 galones son a 4 galones
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(\dfrac{\text{4 couches}}{\text{10 couches}} = \dfrac{\text{2 houses}}{\text{5 houses}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(\dfrac{\text{1 person}}{\text{1 job}} = \dfrac{\text{8 people}}{\text{8 jobs}}\)
- Contestar
-
1 persona es a 1 empleo ya que 8 personas son a 8 empleos
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\(\dfrac{\text{1 popsicle}}{\text{2 children}} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \text{8 popsicle}}{\text{1 child}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\(\dfrac{\text{2,000 pounds}}{\text{1 ton}} = \dfrac{\text{60,000 pounds}}{\text{30 tons}}\)
- Contestar
-
2,000 libras son a 1 tonelada ya que 60,000 libras son a 30 toneladas
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\(\dfrac{\text{1 table}}{\text{5 tables}} = \dfrac{\text{2 people}}{\text{10 people}}\)
Para los siguientes 10 problemas, resolver cada proporción.
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(\dfrac{x}{5} = \dfrac{6}{15}\)
- Contestar
-
\(x = 2\)
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(\dfrac{x}{10} = \dfrac{28}{40}\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(\dfrac{5}{x} = \dfrac{10}{16}\)
- Contestar
-
\(x = 8\)
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(\dfrac{13}{x} = \dfrac{39}{60}\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{x}{24}\)
- Contestar
-
\(x = 8\)
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\(\dfrac{7}{12} = \dfrac{x}{60}\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\(\dfrac{8}{3} = \dfrac{72}{x}\)
- Contestar
-
\(x = 27\)
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\(\dfrac{16}{1} = \dfrac{48}{x}\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\(\dfrac{x}{25} = \dfrac{200}{125}\)
- Contestar
-
\(x = 40\)
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(\dfrac{65}{30} = \dfrac{x}{60}\)
Para los siguientes 5 problemas, expresar cada oración como una proporción y luego resolver la proporción.
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
5 sombreros son a 4 abrigos ya que los \(x\) sombreros son a 24 abrigos.
- Contestar
-
\(x = 30\)
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(x\) los cojines son para 2 sofás ya que 24 cojines son para 16 sofás.
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
1 nave espacial es a 7 astronautas ya que 5 naves espaciales son para \(x\) astronautas.
- Contestar
-
\(x = 35\)
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
56 microchips son para placas de \(x\) circuito ya que 168 microchips son a 3 placas de circuito.
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
18 calculadoras son a 90 calculadoras ya que \(x\) los estudiantes son a 150 estudiantes.
- Contestar
-
\(x = 30\)
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
\(x\) dólares son a $40.000 ya que 2 sacos son a 1 saco.
Indicar si la proporción es verdadera o falsa.
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
\(\dfrac{3}{16} = \dfrac{12}{64}\)
- Contestar
-
true
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
\(\dfrac{2}{15} = \dfrac{10}{75}\)
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
\(\dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{30}\)
- Contestar
-
false
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
\(\dfrac{\text{6 knives}}{\text{7 forks}} = \dfrac{\text{12 knives}}{\text{15 forks}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
\(\dfrac{\text{33 miles}}{\text{1 gallon}} = \dfrac{\text{99 miles}}{\text{3 gallons}}\)
- Contestar
-
true
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
\(\dfrac{\text{320 feet}}{\text{5 seconds}} = \dfrac{\text{65 feet}}{\text{1 second}}\)
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\(\dfrac{\text{35 students}}{\text{70 students}} = \dfrac{\text{1 class}}{\text{2 classes}}\)
- Contestar
-
true
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
\(\dfrac{\text{9 ml chloride}}{\text{45 ml chloride}} = \dfrac{\text{1 test tube}}{\text{7 test tubes}}\)
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
( [link] ) Usa los números 5 y 7 para ilustrar la propiedad conmutativa de la suma.
- Contestar
-
\(5 + 7 = 12\)
\(7 + 5 = 12\)
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
( [link] ) Usa los números 5 y 7 para ilustrar la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
( [link] ) Encuentra la diferencia. \(\dfrac{5}{14} - \dfrac{3}{22}\) .
- Contestar
-
\(\dfrac{17}{77}\)
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
( [link] ) Encuentra el producto. \(8.06129 \cdot 1,000\) .
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
( [link] ) Escribe la forma fraccionaria simplificada de la tasa “dieciséis frases a dos párrafos”.
- Contestar
-
\(\dfrac{\text{8 sentences}}{\text{1 paragraph}}\)