17.7: Exponentes negativos
Descripción general
- Reciprocales
- Exponentes negativos
- Trabajar con exponentes negativos
Reciprocales
Se dice que dos números reales son recíprocos el uno del otro si su producto es 1. Cada número real distinto de cero tiene exactamente un recíproco, como se muestra en los ejemplos a continuación. El cero no tiene recíproco.
\(4 \cdot \dfrac{1}{4} = 1\) . Esto significa que \(4\) y \(\dfrac{1}{4}\) son recíprocos.
\(6 \cdot \dfrac{1}{6} = 1\) . Esto significa que \(6\) y \(\dfrac{1}{6}\) son recíprocos.
\(-2 \cdot \dfrac{-1}{2} = 1\) . Esto significa que \(-2\) y \(-\dfrac{1}{2}\) son recíprocos.
\(a \cdot \dfrac{1}{a} = 1\) . Esto significa que \(a\) y \(\dfrac{1}{a}\) son recíprocos.
\(x \cdot \dfrac{1}{x} = 1\) . Esto significa que \(x\) y \(\dfrac{1}{x}\) son recíprocos.
\(x^3 \cdot \dfrac{1}{x^3} = 1\) . Esto significa que \(x^3\) y \(\dfrac{1}{x^3}\) son recíprocos.
Exponentes negativos
Podemos usar la idea de reciprocales para encontrar un significado para los exponentes negativos.
Considera el producto de \(x^3\) y \(x^{-3}\) . Asumir \(x \not = 0\) .
\[x^3 \cdot x^{-3} = x^{3 + (-3)} = x^0 = 1\]
Así pues, ya que el producto de \(x^3\) y \(x^{-3}\) es \(1\) , \(x^3\) y \(x^{-3}\) debe ser recíprocos.
Eso también lo sabemos \(x^3 \cdot \dfrac{1}{x^3} = 1\) . (Ver problema 6 anterior.) Así, \(x^3\) y también \(\dfrac{1}{x^3}\) son recíprocos.
Entonces, dado que \(x^{-3}\) y \(\dfrac{1}{x^3}\) son ambos recíprocos de \(x^3\) y un número real puede tener sólo un recíproco, debe ser eso \(x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}\) .
Hemos utilizado \(-3\) como exponente, pero el proceso funciona también para todos los demás enteros negativos. Hacemos la siguiente definición. :
Si \(n\) es cualquier número natural y \(x\) es cualquier número real distinto de cero, entonces:
\(x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}\)
Conjunto de Muestras A
Escribe cada una de las siguientes para que solo aparezcan exponentes positivos.
\(x^{-6} = \dfrac{1}{x^6}\)
\(a^{-1} = \dfrac{1}{a^a} = \dfrac{1}{a}\)
\(7^{-2} = \dfrac{1}{7^2} = \dfrac{1}{49}\)
\((3a)^{-6} = \dfrac{1}{(3a)^6}\)
\((5x-1)^{-24} = \dfrac{1}{(5x-1)^{-24}}\)
\((k+2x)^{-(-8)} = (k+2z)^8\)
Conjunto de práctica A
Escribe cada uno de los siguientes usando solo exponentes positivos.
\(y^{-5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{y^5}\)
\(m^{-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{m^2}\)
\(3^{-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{9}\)
\(5^{-1}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{5}\)
\(2^{-4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{16}\)
\((xy)^{-4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(xy)^4}\)
\((a+2b)^{-12}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(a+2b)^{12}}\)
\((m-n)^{-(-4)}\)
- Contestar
-
\((m-n)^4\)
Es importante señalar que no \(a^{-n}\) es necesariamente un número negativo. Por ejemplo,
\(3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}\) \(3^{-2} \not = \ -9\)
Trabajar con exponentes negativos
Los problemas del Conjunto de Muestras A sugieren la siguiente regla para trabajar con exponentes:
En una fracción, un factor se puede mover del numerador al denominador o del denominador al numerador cambiando el signo del exponente.
Conjunto de Muestras B
Escribe cada una de las siguientes para que solo aparezcan exponentes positivos.
\(x^{-2}y^5\) .
El factor se \(x^{-2}\) puede mover del numerador al denominador cambiando el exponente \(-2\) a \(+2\)
\(x^{-2}y^5 = \dfrac{y^5}{x^2}\)
\(a^9b^{-3}\) .
El factor se \(b^{-3}\) puede mover del numerador al denominador cambiando el exponente \(-3\) a \(+3\) .
\(a^9b^{-3} = \dfrac{a^9}{b^3}\)
\(\dfrac{a^4b^2}{c^{-6}}\) .
Esta fracción se puede escribir sin exponentes negativos moviendo el factor
\(c^{-6}\)
al numerador.
Debemos cambiar el
\(-6\)
a para
\(+6\)
hacer legítima la mudanza.
\(\dfrac{a^4b^2}{c^{-6}} = a^4b^2c^6\)
\(\dfrac{1}{x^{-3}y^{-2}z^{-1}}\) .
Esta fracción se puede escribir sin exponentes negativos moviendo todos los factores del denominador al numerador. Cambiar el signo de cada exponente: \(-3\) a \(+3\) , \(-2\) a \(+2\) , \(-1\) a \(+1\) .
\(\dfrac{1}{x^{-3}y^{-2}z^{-1}} = x^3y^2z^1 = x^3y^2z\)
Set de práctica B
Escribe cada una de las siguientes para que solo aparezcan exponentes positivos.
\(x^{-4}y^7\)
- Contestar
-
\(\dfrac{y^7}{x^4}\)
\(\dfrac{a^2}{b^{-4}}\)
- Contestar
-
\(a^2b^4\)
\(\dfrac{x^3y^4}{z^{-8}}\)
- Contestar
-
\(x^3y^4z^8\)
\(\dfrac{6m^{-3}n^{-2}}{7k^{-1}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{6k}{7m^3n^2}\)
\(\dfrac{1}{a^{-2}b^{-6}c^{-8}}\)
- Contestar
-
\(a^2b^6c^8\)
\(\dfrac{3a(a-5b)^{-2}}{5b(a-4b)^5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3a}{5b(a-5b)^2(a-4b)^5}\)
Conjunto de Muestras C
Reescribir
\(\dfrac{24 a^{7} b^{9}}{2^{3} a^{4} b^{-6}}\)
de una forma más simple.
Observe que estamos dividiendo poderes con la misma base. Procederemos usando las reglas de los exponentes.
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {24 a^ {7} b^ {9}} {2^ {3} a^ {4} b^ {-6}} =\ dfrac {24 a^ {7} b^ {9}} {8 a^ {4} b^ {-6}} &=3 a^ {7-4} b^ {9- (-6)}\
&=3 a^ {3} b^ {9+6}\\
&=3 a^ {3} b^ {15}
\ final {alineado}
\)
Escribe
\(\dfrac{9 a^{5} b^{3}}{5 x^{3} y^{2}}\)
para que no aparezca denominador.
Podemos eliminar el denominador moviendo todos los factores que componen el denominador al numerador.
\(9 a^{5} b^{3} 5^{-1} x^{-3} y^{-2}\)
Encuentra el valor de
\(\dfrac{1}{10^{-2}}+\dfrac{3}{4^{-3}}\)
Podemos evaluar esta expresión eliminando los exponentes negativos.
\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {1} {10^ {-2}} +\ dfrac {3} {4^ {-3}} &=1\ cdot 10^ {2} +3\ cdot 4^ {3}\\
&=1\ cdot 100+3\ cdot 64\\
&=100+192\\
&=292
\ end {alineado}
\)
Set de práctica C
Reescribir \(\dfrac{36x^8b^3}{3^2x^{-2}b^{-5}}\) de una forma más simple.
- Contestar
-
\(4x^{10}b^8\)
Escribe \(\dfrac{2^4m^{-3}n^7}{4^{-1}x^5}\) en una forma más simple y una en la que no aparezca denominador alguno.
- Contestar
-
\(64m^{-3}n^7x^{-5}\)
Encuentra el valor de \(\dfrac{2}{5^{-2}} + 6^{-2} \cdot 2^3 \cdot 3^2\)
- Contestar
-
\(52\)
Ejercicios
Escribe las siguientes expresiones usando solo exponentes positivos. Supongamos que todas las variables no son cero.
\(x^{-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{x^{-2}}\)
\(x^{-4}\)
\(x^{-7}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{x^7}\)
\(a^{-8}\)
\(a^{-10}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{a^{-10}}\)
\(b^{-12}\)
\(b^{-14}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{b^{14}}\)
\(y^{-1}\)
\(y^{-5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{y^5}\)
\((x+1)^{-2}\)
\((x-5)^{-3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(x-5)^3}\)
\((y-4)^{-6}\)
\((a+9)^{-10}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(a+9)^{10}}\)
\((r+3)^{-8}\)
\((a-1)^{-12}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(a-1)^{12}}\)
\(x^3y^{-2}\)
\(x^7y^{-5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x^7}{y^5}\)
\(a^4b^{-1}\)
\(a^7b^{-8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{a^7}{b^8}\)
\(a^2b^3c^{-2}\)
\(x^3y^2z^{-6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x^3y^2}{z^6}\)
\(x^3y^{-4}z^2w\)
\(a^7b^{-9}zw^3\)
- Contestar
-
\(\dfrac{a^7zw^3}{b^9}\)
\(a^3b^{-1}zw^2\)
\(x^5y^{-5}z^{-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x^5}{y^5z^2}\)
\(x^4y^{-8}z^{-3}w^{-4}\)
\(a^{-4}b^{-6}c^{-1}d^4\)
- Contestar
-
\(\dfrac{d^4}{a^4b^6c}\)
\(x^9y^{-6}z^{-1}w^{-5}r^{-2}\)
\(4x^{-6}y^2\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4y^2}{x^6}\)
\(5x^2y^2z^{-5}\)
\(7a^{-2}b^2c^2\)
- Contestar
-
\(\dfrac{7b^2c^2}{a^2}\)
\(4x^3(x+1)^2y^{-4}z^{-1}\)
\(7a^2(a-4)^3b^{-6}c^{-7}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{7a^2(a-4)^3}{b^6c^7}\)
\(18b^{-6}(b^2-3)^{-5}c^{-4}d^5e^{-1}\)
\(7(w+2)^{-2}(w+1)^3\)
- Contestar
-
\(\dfrac{7(w+1)^3}{(w+2)^2}\)
\(2(a-8)^{-3}(a-2)^5\)
\((x^2+3)^3(x^2-1)^{-4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{(x^2+3)^3}{(x^2-1)^4}\)
\((x^4+2x-1)^{-6}(x+5)^4\)
\((3x^2-4x-8)^{-9}(2x+11)^{-3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(3x^2-4x-8)^{9}(2x+11)^{3}}\)
\((5y^2+8y-6)^{-2}(6y-1)^{-7}\)
\(7a(a^2-4)^{-2}(b^2-1)^{-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{7a}{(a^2-4)^2(b^2-1)^2}\)
\((x-5)^{-4}3b^2c^4(x+6)^8\)
\((y^3+1)^{-1}5y^3z^{-4}w^{-2}(y^3-1)^{-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{5y^3}{(y^3+1)z^4w^2(y^3-1)^2}\)
\(5x^3(2x^{-7})\)
\(3y^{-3}(9x)\)
- Contestar
-
\(\dfrac{27x}{y^3}\)
\(6a^{-4}(2a^{-6})\)
\(4a^2b^2a^{-5}b^{-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4}{a^3}\)
\(5^{-1}a^{-2}b^{-6}b^{-11}c^{-3}c^9\)
\(2^3x^22^{-3}x^{-2}\)
- Contestar
-
\(1\)
\(7a^{-3}b^{-9} \cdot 5a^6bc^{-2}c^4\)
\((x+5)^2(x+5)^{-6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(x+5)^4}\)
\((a-4)^3(a-4)^{-10}\)
\(8(b+2)^{-8}(b+2)^{-4}(b+2)^3\)
- Contestar
-
\(\dfrac{8}{(b+2)^9}\)
\(3a^5b^{-7}(a^2+4)^{-3}6a^{-4}b(a^2+4)^{-1}(a^2+4)\)
\(-4a^3b^{-5}(2a^2b^7c^{-2})\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-8a^5b^2}{c^2}\)
\(-2x^{-2}y^{-4}z^4(-6x^3y^{-3}z)\)
\((-5)^2(-5)^{-1}\)
- Contestar
-
\(-5\)
\((-9)^{-3}(9)^3\)
\((-1)^{-1}(-1)^{-1}\)
- Contestar
-
\(1\)
\((4)^2(2)^{-4}\)
\(\dfrac{1}{a^{-4}}\)
- Contestar
-
\(a^4\)
\(\dfrac{1}{a^{-1}}\)
\(\dfrac{4}{x^{-6}}\)
- Contestar
-
\(4x^6\)
\(\dfrac{7}{x^{-8}}\)
\(\dfrac{23}{y^{-1}}\)
- Contestar
-
\(23y\)
\(\dfrac{6}{a^2b^{-4}}\)
\(\dfrac{3c^5}{a^3b^{-3}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3b^3c^5}{a^3}\)
\(\dfrac{16a^{-2}b^{-6}c}{2yz^{-5}w^{-4}}\)
\(\dfrac{24y^2z^{-8}}{6a^2b^{-1}c^{-9}d^3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4bc^9y^2}{a^2d^3z^8}\)
\(\dfrac{3^{-1}b^5(b+7)^{-4}}{9^{-1}a^{-4}(a+7)^2}\)
\(\dfrac{36a^6b^5c^8}{3^2a^3b^7c^9}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4a^3}{b^2c}\)
\(\dfrac{45a^4b^2c^6}{15a^2b^7c^8}\)
\(\dfrac{3^3x^4y^3z}{3^2xy^5z^5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3x^3}{y^2z^4}\)
\(\dfrac{21x^2y^2z^5w^4}{7xyz^{12}w^{14}}\)
\(\dfrac{33a^{-4}b^{-7}}{11a^3b^{-2}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{a^7b^5}\)
\(\dfrac{51x^{-5}y^{-3}}{3xy}\)
\(\dfrac{2^6x^{-5}y^{-2}a^{-7}b^5}{2^{-1}x^{-4}y^{-2}b^6}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{128}{a^7bx}\)
\(\dfrac{(x+3)^3(y-6)^4}{(x+3)^5(y-6)^{-8}}\)
\(\dfrac{4x^3}{y^7}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4x^3}{y^7}\)
\(\dfrac{5x^4y^3}{a^3}\)
\(\dfrac{23a^4b^5c^{-2}}{x^{-6}y^5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{23a^4b^5x^6}{c^2y^5}\)
\(\dfrac{2^3b^5c^2d^{-9}}{4b^4cx}\)
\(\dfrac{10x^3y^{-7}}{3x^5z^2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{10}{3x^2y^7z^2}\)
\(\dfrac{3x^2y^{-2}(x-5)}{9^{-1}(x+5)^3}\)
\(\dfrac{14a^2b^2c^{-12}(a^2+21)^{-4}}{4^{-2}a^2b^{-1}(a+6)^3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{224b^3}{c^{12}(a^2+21)^4(a+6)^3}\)
Para los siguientes problemas, evalúe cada expresión numérica.
\(4^{-1}\)
\(7^{-1}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{7}\)
\(6^{-2}\)
\(2^{-5}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{32}\)
\(3^{-4}\)
\(6 \cdot 3^{-3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2}{9}\)
\(4 \cdot 9^{-2}\)
\(28 \cdot 14^{-1}\)
- Contestar
-
\(2\)
\(2^{-3}(3^{-2})\)
\(2^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot 4^{-1}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{24}\)
\(10^{-2} + 3(10^{-2})\)
\((-3)^{-2}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{9}\)
\((-10)^{-1}\)
\(\dfrac{3}{2^{-3}}\)
- Contestar
-
\(24\)
\(\dfrac{4^{-1}}{5^{-2}}\)
\(\dfrac{2^4-7}{4^{-1}}\)
- Contestar
-
\(36\)
\(\dfrac{2^{-1}+4^{-1}}{2^{-2} + 4^{-2}}\)
\(\dfrac{21^0-2^6}{2 \cdot 6-13}\)
- Contestar
-
\(63\)
Para los siguientes problemas, escribe cada expresión para que sólo aparezcan exponentes positivos.
\((a^6)^{-2}\)
\((a^5)^{-3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{a^{15}}\)
\((x^7)^{-4}\)
\((x^4)^{-8}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{x^{32}}\)
\((b^{-2})^7\)
\((b^{-4})^{-1}\)
- Contestar
-
\(b^4\)
\((y^{-3})^{-4}\)
\((y^{-9})^{-3}\)
- Contestar
-
\(y^{27}\)
\((a^{-1})^{-1}\)
\((b^{-1})^{-1}\)
- Contestar
-
\(b\)
\((a^0)^{-1}\) , \(a \not = 0\)
\((m^))^{-1}\) , \(m \not = 0\)
- Contestar
-
\(1\)
\((x^{-3}y^7)^{-4}\)
\((x^6y^6z^{-1})^2\)
- Contestar
-
\(\dfrac{x^{12}y^{12}}{z^2}\)
\((a^{-5}b^{-1}c^0)^6\)
\((\dfrac{y^3}{x^{-4}})^5\)
- Contestar
-
\(x^{20}y^{15}\)
\((\dfrac{a^{-8}}{b^{-6}})^3\)
\((\dfrac{2a}{b^3})^4\)
- Contestar
-
\(\dfrac{16a^4}{b^{12}}\)
\((\dfrac{3b}{a^2})^{-5}\)
\((\dfrac{5^{-1}a^3b^{-6}}{x^{-2}y^9})^2\)
- Contestar
-
\(\dfrac{a^6x^4}{25b^{12}y^{18}}\)
\((\dfrac{4m^{-3}n^6}{2m^{-5}n})^3\)
\((\dfrac{r^5s^{-4}}{m^{-8}n^7})^{-4}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{n^{28}s^{16}}{m^{32}r^{20}}\)
\((\dfrac{h^{-2}j^{-6}}{k^{-4}p})^{-5}\)
Ejercicios para la revisión
Simplificar \((4x^5y^3z^0)^3\)
- Contestar
-
\(64x^{15}y^9\)
Encuentra la suma. \(-15 + 3\)
Encuentra la diferencia. \(8 -(-12)\)
- Contestar
-
\(20\)
Simplificar \((-3)(-8) + 4(-5)\)
Encuentra el valor de \(m\) si \(m = \dfrac{-3k-5t}{kt+6}\) cuándo \(k = 4\) y \(t = -2\)
- Contestar
-
\(1\)