20.5: Factorización por Agrupación
Uso de la agrupación para factorizar un polinomio
A veces un polinomio no tendrá un factor particular común a cada término. Sin embargo, todavía podemos producir una forma factorizada para el polinomio.
El polinomio no \(x^3+3x^2−6x−18\) tiene un solo factor que sea común a cada término. No obstante, notamos que si agrupamos los dos primeros términos y los dos segundos, vemos que cada binomio resultante tiene un factor particular común a ambos términos.
Factor \(x^2\) de los dos primeros términos, y factor \(-6\) fuera de los dos segundos términos.
\(x^2(x+3) - 6(x+3)\)
Ahora mira de cerca el binomio. Cada uno de los dos términos contiene el factor \(x+3\) .
Factorizar hacia fuera \((x+3)\) .
\((x+3)(x^2-6)\) es la factorización final
\(x^3+3x^2−6x−18 = (x+3)(x^2-6)\)
Saber cuándo probar el método de agrupación
Se nos avisa de la idea de agrupar cuando el polinomio que estamos considerando tiene alguna de estas cualidades:
- ningún factor común a todos los términos
- un número par de términos
Al factorizar por agrupación, el signo ( \(+\) o \(−\) ) del factor que estamos sacando generalmente (pero no siempre) será el mismo que el signo del primer término en ese grupo.
Conjunto de Muestras A
Factor \(8a^2b^4 - 4b^4 + 14a^2 - 7\)
- Notamos que no hay ningún factor común a todos los términos.
- Vemos que hay cuatro términos, un número par.
- Vemos que los términos 1 y 2 tienen \(+4b^4\) en común (ya que el 1er término en el grupo es \(+8a^2b^4\) ).
- Notamos que los términos 3º y 4º tienen \(+7\) en común (ya que el 1er término en el grupo es \(+14a^2\) ).
\(8a^2b^4-4b^4+14a^2-7 = (2a^2-1)(4b^4+7)\)
Conjunto de práctica A
Utilice el método de agrupación para factorizar los siguientes polinomios.
\(ax+ay+bx+by\)
- Contestar
-
\((a+b) (x+y)\)
\(2am+8m+5an+20n\)
- Contestar
-
\((2m+5n) (a+4)\)
\(a^2x^3 + 4a^2y^3 + 3bx^3 + 12by^3\)
- Contestar
-
\((a^2+3b)(x^3 + 4y^3)\)
\(15mx+10nx−6my−4ny\)
- Contestar
-
\((5x−2y) (3m+2n)\)
\(40abx - 24abxy - 35c^2x + 21c^2xy\)
- Contestar
-
\(x(8ab−7c^2) (5−3y)\)
Al factorizar el polinomio \(8a^2b^4−4b^4+14a^2−78\) en el Conjunto de Muestras A, agrupamos los términos 1 y 2 y 3 y 4. ¿Podríamos haber agrupado términos 1 y 3 y 2 y 4? Prueba esto.
\(8a^2b^4−4b^4+14a^2−78 =\)
- Contestar
-
Sí
¿Obtenemos el mismo resultado? Si los resultados no se ven exactamente iguales, recordemos la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Ejercicios
Para los siguientes problemas, utilice el método de agrupación para factorizar los polinomios. Algunos polinomios pueden no ser factorizables usando el método de agrupación.
\(2ab+3a+18b+27\)
- Contestar
-
\((2b+3)(a+9)\)
\(xy−7x+4y−28\)
\(xy+x+3y+3\)
- Contestar
-
\((y+1)(x+3)\)
\(mp+3mq+np+3nq\)
\(ar+4as+5br+20bs\)
- Contestar
-
\((a+5b)(r+4s)\)
\(14ax−6bx+21ay−9by\)
\(12mx−6bx+21ay−9by\)
- Contestar
-
\(3(4mx−2bx+7ay−3by)\) No factorizable por agrupación
\(36ak−8ah−27bk+6bh\)
\(a^2b^2 + 2a^2 + 3b^2 + 6\)
- Contestar
-
\((a^2+3)(b^2+2)\)
\(3n^2 + 6n + 9m^3 + 12m\)
\(8y^4 - 5y^3 + 12z^2 - 10z\)
- Contestar
-
No factorizable por agrupación
\(x^2 + 4x - 3y^2 + y\)
\(x^2 - 3x + xy - 3y\)
- Contestar
-
\((x+y)(x−3)\)
\(2n^2+12n−5mn−30m\)
\(4pq−7p+3q^2−21\)
- Contestar
-
No factorizable por agrupación
\(8x^2+16xy−5x−10y\)
\(12s^2−27s−8st+18t\)
- Contestar
-
\((4s−9)(3s−2t)\)
\(15x^2−12x−10xy+8y\)
\(a^4b^4+3a^5b^5+2a^2b^2+6a^3b^3\)
- Contestar
-
\(a^2b^2(a^2b^2 + 2)(1 + 3ab)\)
\(4a^3bc−14a^2bc^3+10abc^2−35bc^4\)
\(5x^2y^3z+3x^3yw−10y^3z^2−6wxyz\)
- Contestar
-
\(y(5y^2z+3xw)(x^2−2z)\)
\(a^3b^2cd+abc^2dx−a^2bxy−cx^2y\)
\(5m^{10}n^{17}p^3 - m^6n^7p^4 - 40m^4n^{10}qt^2 + 8pqt^2\)
- Contestar
-
\((m^6n^7p^3−8qt^2)(5m^4n^{10}−p)\)
Ejercicios para la revisión
Simplificar \((x^5y^3)(x^2y)\)
Utilice la notación científica para encontrar el producto de \((3 \times 10^{-5})(2 \times 10^2)\) .
- Contestar
-
\(6 \times 10^{-3}\)
Encuentra el dominio de la ecuación \(y = \dfrac{6}{x+5}\)
Construir la gráfica de la desigualdad \(y \ge -2\)
- Contestar
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Factor \(8a^4b^4 + 12a^3b^5 - 8a^2b^3\)