23.3: Simplificación de expresiones de raíz cuadrada
Para comenzar nuestro estudio del proceso de simplificación de una expresión de raíz cuadrada, debemos tener en cuenta tres hechos: un hecho relativo a los cuadrados perfectos y dos relativos a las propiedades de las raíces cuadradas.
Plazas Perfectas
Los números rea que son cuadrados de números racionales se llaman cuadrados perfectos . Los números \(25\) y \(\dfrac{1}{4}\) son ejemplos de cuadrados perfectos desde \(25 = 5^2\) y \(\dfrac{1}{4} = (\dfrac{1}{2})^2\) , y \(5\) y \(\dfrac{1}{2}\) son números racionales. El número no \(2\) es un cuadrado perfecto ya que \(2 = (\sqrt{2})^2\) y no \(\sqrt{2}\) es un número racional.
Si bien no vamos a hacer un estudio detallado de los números irracionales, haremos la siguiente observación:
Cualquier raíz cuadrada indicada cuyo radicando no sea un número cuadrado perfecto es un número irracional.
Los números \(\sqrt{6}, \sqrt{15}\) y \(\sqrt{\dfrac{3}{4}}\) son cada uno irracionales ya que cada \(6, 15, \dfrac{3}{4}\) radicando no es un cuadrado perfecto.
La propiedad del producto de las raíces cuadradas
Observe que
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ sqrt {9\ cdot 4} &=\ sqrt {36} &= 6 &\ text {y}\\
\ sqrt {9}\ sqrt {4} &= 3\ cdot 2 &= 6
\ end {array}\)
La propiedad del producto \(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Esto sugiere que en general, si \(x\) y \(y\) son números reales positivos,
\(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
La raíz cuadrada del producto es el producto de las raíces cuadradas.
El cociente de la propiedad de las raíces cuadradas
Podemos sugerir una regla similar para los cocientes. Observe que
\(\sqrt{\dfrac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3\) y
\(\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} = \dfrac{6}{2} = 3\) .
Ya que ambos \(\dfrac{36}{4}\) e \(\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}\) iguales \(3\) , debe ser que
\(\sqrt{\dfrac{36}{4}} = \dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}\)
Esto sugiere que en general, si \(x\) y \(y\) son números reales positivos,
\(\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}, y \not = 0\) .
La raíz cuadrada del cociente es el cociente de las raíces cuadradas.
Es sumamente importante que se acuerde que
\(\sqrt{x + y} \not = \sqrt{x} + \sqrt{y}\) o \(\sqrt{x - y} \not = \sqrt{x} - \sqrt{y}\)
Por ejemplo, fíjese eso \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\) , pero \(\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7\)
Estudiaremos el proceso de simplificación de la expresión de raíz cuadrada distinguiendo entre dos tipos de raíces cuadradas: las raíces cuadradas que no involucran una fracción y las raíces cuadradas que involucran una fracción.
Raíces cuadradas que no involucran fracciones
Una raíz cuadrada que no involucra fracciones está en la forma simplificada si no hay un cuadrado perfecto en el radicando.
Las raíces cuadradas \(\sqrt{x},. \sqrt{ab}, \sqrt{5mn}, \sqrt{2(a+5)}\) están en forma simplificada ya que ninguno de los radicandos contiene un cuadrado perfecto.
Las raíces cuadradas no \(\sqrt{x^2}, \sqrt{a^3}=\sqrt{a^2a}\) están en forma simplificada ya que cada radicando contiene un cuadrado perfecto.
Para simplificar una expresión de raíz cuadrada que no implique una fracción, podemos usar las siguientes dos reglas:
- Si un factor del radicando contiene una variable con un exponente par , la raíz cuadrada se obtiene dividiendo el exponente por 2.
- Si un factor del radicando contiene una variable con un exponente impar , la raíz cuadrada se obtiene factorizando primero el factor variable en dos factores para que uno tenga un exponente par y el otro tenga un exponente de 1, luego usando la propiedad producto de raíces cuadradas.
Conjunto de Muestras A
Simplifica cada raíz cuadrada.
\(\sqrt{a^4}\) . El exponente es parejo: \(\dfrac{4}{2} = 2\) . El exponente sobre la raíz cuadrada es \(2\) .
\(\sqrt{a^4} = a^2\)
\(\sqrt{a^6b^{10}}\) . Ambos exponentes son parejos: \(\dfrac{6}{2} = 3\) y \(\dfrac{10}{2} = 5\) . El exponente sobre la raíz cuadrada de \(a^6\) es \(3\) . El exponente en la raíz cuadrada si \(b^{10}\) es \(5\) .
\(\sqrt{a^6gb^{10}} = a^3b^5\)
\(\sqrt{y^5}\) . El exponente es impar: \(y^5 = y^4y\) . El
\(\sqrt{y^5} = \sqrt{y^4y} = \sqrt{y^4} \sqrt{y} = y^2 \sqrt{y}\)
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
\ sqrt {36a^7b^ {11} c^ {20}} &=\ sqrt {6^2a^6ab^ {10} bc^ {20}} & a^7 = a^6a, b^ {11} = b^ {10} b\\
&=\ sqrt {6^2a^6b^ {10} ^ {20}\ cdot ab} &\ text {por la propiedad conmutativa de la multiplicación}\\
&=\ sqrt {6^2a^6b^ {10} c^ {20}}\ sqrt { ab} &\ text {por la propiedad del producto de raíces cuadradas}\\
&= 6a^3b^5c^ {10}\ sqrt {ab}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
\ sqrt {49x^8y^3 (a-1) ^6} &=\ sqrt {7^2x^8y^2y (a-1) ^6}\\
&=\ sqrt {7^2x^8y^2 (a-1) ^6}\ sqrt {y}\\
&= 7x^4y (a-1) ^3\ sqrt {y}
\ end {array}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{5^2 \cdot 3}= \sqrt{5^2} \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}\)
Conjunto de práctica A
Simplifica cada raíz cuadrada.
\(\sqrt{m^8}\)
- Contestar
-
\(m^4\)
\(\sqrt{h^{14}k^{22}}\)
- Contestar
-
\(h^7k^{11}\)
\(\sqrt{81a^{12}b^6c^{38}}\)
- Contestar
-
\(9a^6b^3c^{19}\)
\(\sqrt{144x^4y^{80}(b+5)^{16}}\)
- Contestar
-
\(12x^2y^{40}(b+5)^8\)
\(\sqrt{w^5}\)
- Contestar
-
\(w^2 \sqrt{w}\)
\(\sqrt{w^7z^3k^{13}}\)
- Contestar
-
\(w^3zk^6 \sqrt{wzk}\)
\(\sqrt{27a^3b^4c^5d^6}\)
- Contestar
-
\(3ab^2c^2d^3 \sqrt{3ac}\)
\(\sqrt{180m^4n^{15}9a-12)^{15}}\)
- Contestar
-
\(6m^2n^7(a-12)^7 \sqrt{5n(a-12)}\)
Raíces cuadradas que involucran fracciones
Una expresión de raíz cuadrada está en forma simplificada si hay
- no hay cuadrados perfectos en el radicando,
- no hay fracciones en el radicando, o
- no hay expresiones de raíz cuadrada en el denominador.
Las expresiones de raíz cuadrada \(\sqrt{5a}, \dfrac{4\sqrt{3xy}}{5}\) , y \(\dfrac{11m^2n \sqrt{a-4}}{2x^2}\) están en forma simplificada
Las expresiones de raíz cuadrada \(\sqrt{\dfrac{3x}{8}}, \sqrt{\dfrac{4a^4b^3}{5}}\) , y no \(\dfrac{2y}{\sqrt{3x}}\) están en forma simplificada.
Para simplificar la expresión de raíz cuadrada \(\sqrt{\dfrac{x}{y}}\) ,
- Escribe la expresión como \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\) usando la regla \(\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\) .
- Multiplique la fracción por 1 en forma de \(\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) .
- Simplificar la fracción restante, \(\dfrac{\sqrt{xy}}{y}\) .
Racionalización del Denominador
El proceso involucrado en el paso 2 se llama racionalizar el denominador. Este proceso elimina expresiones de raíz cuadrada del denominador utilizando el hecho de que \((\sqrt{y})(\sqrt{y}) = y\) .
Conjunto de Muestras B
Simplifica cada raíz cuadrada.
\(\sqrt{\dfrac{9}{25}} = \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \dfrac{3}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{3}{5}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{9}{8}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}}=\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{8}} \cdot \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{8}}=\dfrac{3 \sqrt{8}}{8}=\dfrac{3 \sqrt{4 \cdot 2}}{8}=\dfrac{3 \sqrt{4} \sqrt{2}}{8}=\dfrac{3 \cdot 2 \sqrt{2}}{8}=\dfrac{3 \sqrt{2}}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{k^{2}}{m^{3}}}=\dfrac{\sqrt{k^{2}}}{\sqrt{m^{3}}}=\dfrac{k}{\sqrt{m^{3}}}=\dfrac{k}{\sqrt{m^{2} m}}=\dfrac{k}{\sqrt{m^{2} \sqrt{m}}}=\dfrac{k}{m \sqrt{m}}=\dfrac{k}{m \sqrt{m}} \cdot \dfrac{\sqrt{m}}{\sqrt{m}}=\dfrac{k \sqrt{m}}{m \sqrt{m} \sqrt{m}}=\dfrac{k \sqrt{m}}{m \cdot m}=\dfrac{k \sqrt{m}}{m^{2}}\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ sqrt {x^2 - 8x + 16} &=\ sqrt {(x-4) ^2}\\
&= x-4
\ end {array}\)
Set de práctica B
Simplifica cada raíz cuadrada.
\(\sqrt{\dfrac{81}{25}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{9}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{2}{7}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\)
\(\sqrt{\dfrac{4}{5}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}\)
\(\sqrt{\dfrac{10}{4}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{9}{4}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{2}\)
\(\sqrt{\dfrac{a^3}{6}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{a \sqrt{6a}}{6}\)
\(\sqrt{\dfrac{y^4}{x^3}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{y^2 \sqrt{x}}{x^2}\)
\(\sqrt{\dfrac{32a^5}{b^7}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4a^2 \sqrt{2ab}}{b^4}\)
\(\sqrt{(x+9)^2}\)
- Contestar
-
\(x+9\)
\(\sqrt{x^2 + 14x + 49}\)
- Contestar
-
\(x+7\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, simplifique cada una de las expresiones radicales.
\(\sqrt{8b^2}\)
- Contestar
-
\(2b \sqrt{2}\)
\(\sqrt{20a^2}\)
\(\sqrt{24x^4}\)
- Contestar
-
\(2x^2 \sqrt{6}\)
\(\sqrt{27y^6}\)
\(\sqrt{a^5}\)
- Contestar
-
\(a^2\sqrt{a}\)
\(\sqrt{m^7}\)
\(\sqrt{x^{11}}\)
- Contestar
-
\(x^5 \sqrt{x}\)
\(\sqrt{y^{17}}\)
\(\sqrt{36n^9}\)
- Contestar
-
\(6n^4 \sqrt{n}\)
\(\sqrt{49x^{13}}\)
\(\sqrt{100x^5y^{11}}\)
- Contestar
-
\(10x^2y^5 \sqrt{xy}\)
\(\sqrt{64a^7b^3}\)
\(5 \sqrt{16m^6n^7}\)
- Contestar
-
\(20m^3n^3 \sqrt{n}\)
\(8 \sqrt{9a^4b^{11}}\)
\(3 \sqrt{16x^3}\)
- Contestar
-
\(12x \sqrt{x}\)
\(8 \sqrt{25y^3}\)
\(\sqrt{12a^4}\)
- Contestar
-
\(2a^2 \sqrt{3}\)
\(\sqrt{32x^7}\)
- Contestar
-
\(4x^3 \sqrt{2x}\)
\(\sqrt{12y^{13}}\)
\(\sqrt{50a^3b^9}\)
- Contestar
-
\(5ab^4 \sqrt{2ab}\)
\(\sqrt{48p^{11}q^5}\)
\(4 \sqrt{18a^5b^{17}}\)
- Contestar
-
\(12a^2b^8 \sqrt{2ab}\)
\(8 \sqrt{108x^{21}y^3}\)
\(-4 \sqrt{75a^4b^6}\)
- Contestar
-
\(-20a^2b^3 \sqrt{3}\)
\(-6 \sqrt{72x^2y^4z^{10}}\)
\(-\sqrt{b^{12}}\)
- Contestar
-
\(-b^6\)
\(- \sqrt{c^{18}}\)
\(\sqrt{a^2b^2c^2}\)
- Contestar
-
\(abc\)
\(\sqrt{4x^2y^2z^2}\)
\(- \sqrt{9a^2b^3}\)
- Contestar
-
\(-3ab \sqrt{b}\)
\(- \sqrt{16x^4y^5}\)
\(\sqrt{m^6n^8p^{12}q^{20}}\)
- Contestar
-
\(m^3n^4p^6q^{10}\)
\(\sqrt{r^2}\)
\(\sqrt{p^2}\)
- Contestar
-
\(p\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{4}}\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{16}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{4}\)
\(\sqrt{\dfrac{4}{25}}\)
\(\sqrt{\dfrac{9}{49}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{3}{7}\)
\(\dfrac{5 \sqrt{8}}{\sqrt{3}}\)
\(\dfrac{2 \sqrt{32}}{\sqrt{3}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{8 \sqrt{6}}{3}\)
\(\sqrt{\dfrac{5}{6}}\)
\(\sqrt{\dfrac{2}{7}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\)
\(\sqrt{\dfrac{3}{10}}\)
\(\sqrt{\dfrac{4}{3}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}\)
\(-\sqrt{\dfrac{2}{5}}\)
\(-\sqrt{\dfrac{3}{10}}\)
- Contestar
-
\(-\dfrac{\sqrt{30}}{10}\)
\(\sqrt{\dfrac{16a^2}{5}}\)
\(\sqrt{\dfrac{24a^5}{7}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2a^2 \sqrt{42a}}{7}\)
\(\sqrt{\dfrac{72x^2y^3}{5}}\)
\(\sqrt{\dfrac{2}{a}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\sqrt{2a}}{a}\)
\(\sqrt{\dfrac{5}{b}}\)
\(\sqrt{\dfrac{6}{x^3}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{\sqrt{6x}}{x^2}\)
\(\sqrt{\dfrac{12}{y^5}}\)
\(\sqrt{\dfrac{49x^2y^5z^9}{25a^3b^{11}}}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{7 x y^{2} z^{4} \sqrt{a b y z}}{5 a^{2} b^{6}}\)
\(\sqrt{\dfrac{27 x^{6} y^{15}}{3^{3} x^{3} y^{5}}}\)
\(\sqrt{(b+2)^4}\)
- Contestar
-
\((b+2)^2\)
\(\sqrt{(a-7)^8}\)
\(\sqrt{(x+2)^6}\)
- Contestar
-
\((x+2)^3\)
\(\sqrt{(x+2)^2(x+1)^2}\)
\(\sqrt{(a-3)^4(a-1)^2}\)
- Contestar
-
\((a-3)^2(a-1)\)
\(\sqrt{(b+7)^8(b-7)^6}\)
\(\sqrt{a^2 - 10a + 25}\)
- Contestar
-
\((a-5)\)
\(\sqrt{b^2 + 6b + 9}\)
\(\sqrt{(a^2 - 2a + 1)^4}\)
- Contestar
-
\((a-1)^4\)
\(\sqrt{(x^2 + 2x + 1)^{12}}\)
Ejercicios para revisión
Resolver la desigualdad \(3(a + 2) \le 2(3a + 4)\)
- Contestar
-
\(a \ge -\dfrac{2}{3}\)
Graficar la desigualdad \(6x \le 5(x+1) - 6\)
Suministrar las palabras que faltan. Al mirar una gráfica de izquierda a derecha, las líneas con pendiente _______ suben, mientras que las líneas con pendiente __________ caen.
- Contestar
-
positivo; negativo
Simplifica la fracción compleja: \(\dfrac{5+\frac{1}{x}}{5-\frac{1}{x}}\)
Simplifica \(\sqrt{121x^4w^6z^8}\) eliminando el signo radical.
- Contestar
-
\(11x^2w^3z^4\)