23.4: Multiplicación de expresiones de raíz cuadrada
La propiedad del producto de las raíces cuadradas
En nuestro trabajo con la simplificación de expresiones de raíz cuadrada, señalamos que
\(\sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\)
Como esta es una ecuación, podemos escribirla como:
\(\sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{xy}\)
Para multiplicar dos expresiones de raíz cuadrada, utilizamos la propiedad producto de raíces cuadradas.
\(\sqrt{x} \sqrt{y} = \sqrt{xy}\)
El producto de raíces cuadradas es la raíz cuadrada del producto
En la práctica, suele ser más fácil simplificar las expresiones de raíz cuadrada antes de realizar realmente la multiplicación. Para ver esto, considera el siguiente producto:
\(\sqrt{8} \sqrt{48}\)
Podemos multiplicar estas raíces cuadradas de cualquiera de dos maneras:
\(\sqrt{4 \cdot 2} \sqrt{16 \cdot 3} = (2 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}) = 2 \cdot 4 \sqrt{2 \cdot 3} = 8 \sqrt{6}\)
\(\sqrt{8} \sqrt{48} = \sqrt{8 \cdot 48} = \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8 \sqrt{6}\)
Observe que en el segundo método, el término expandido (la tercera expresión, \(\sqrt{384}\) ) puede ser difícil de facturar en un cuadrado perfecto y algún otro número.
Regla de multiplicación para expresiones de raíz cuadrada
El ejemplo anterior sugiere que la siguiente regla para multiplicar dos expresiones de raíz cuadrada.
- Simplifique cada expresión de raíz cuadrada, si es necesario.
- Realizar la multiplicación.
- Simplificar, si es necesario.
Conjunto de Muestras A
Encuentra cada uno de los siguientes productos.
\(\sqrt{3} \sqrt{6} = \sqrt{3 \cdot 6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}\)
\(\sqrt{8} \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \sqrt{2} = 2 \sqrt{2 \cdot 2} = 2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4\)
Este producto podría ser más fácil si tuviéramos que multiplicar primero y luego simplificar.
\(\sqrt{8} \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4\)
\(\sqrt{20} \sqrt{7} = \sqrt{4} \sqrt{5} \sqrt{7} = 2 \sqrt{5 \cdot 7} = 2 \sqrt{35}\)
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
\ sqrt {5a^3}\ sqrt {27a^5} = (a\ sqrt {5a}) (3a^2\ sqrt {3a}) &= 3a^3\ sqrt {15a^2}\\
&= 3a^3\ cdot a\ sqrt {15}\\
&= 3a^4\ sqrt rt {15}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
\ sqrt {(x+2) ^7}\ sqrt {x-1} =\ sqrt {(x+2) ^6 (x+2)}\ sqrt {x-1} &= (x+2) ^3\ sqrt {(x+2)}\ sqrt {x-1}\\
&= (x+2) ^3\ sqrt {(x+2) (x-1)}\\
\ texto {o} &= (x+2) ^3\ sqrt {x^2 + x - 2}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {ras izquierda}
\ sqrt {3} (7+\ sqrt {6}) =7\ sqrt {3} +\ sqrt {3}\ sqrt {6} &=7\ sqrt {3} +\ sqrt {18}\\
&=7\ sqrt {3} +\ sqrt {9\ cdot 2}\\
&=7\ sqrt {3} +3\ sqrt {2}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {ras izquierda}
\ sqrt {6} (\ sqrt {2} -\ sqrt {10}) &=\ sqrt {6}\ sqrt {2} -\ sqrt {6}\ sqrt {10}\\
&=\ sqrt {12} -\ sqrt {60}\\
&=\ sqrt {4\ cdot 3} -\ sqrt {4\ cdot 15}\\
&= 2\ sqrt {3} - 2\ sqrt {15}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {ras izquierda}
\ sqrt {45 a^ {6} b^ {3}}\ izquierda [\ sqrt {9 a b} -\ sqrt {5 (b-3) ^ {3}}\ derecha] &=3 a^ {3} b\ sqrt {5 b} [3\ sqrt {a b} - (b-3)\ sqrt {5 (b-3))}]\\
&=9 a^ {3} b\ sqrt {5 a b^ {2}} -3 a^ {3} b (b-3)\ sqrt {25 b (b-3)}\\
&=9 a^ {3} b^ {2}\ sqrt {5 a} -3 a^ {3} b (b-3) \ cdot 5\ sqrt {b (b-3)}\\
&=9 a^ {3} b^ {2}\ sqrt {5 a} -15 a^ {3} b (b-3)\ sqrt {b (b-3)}
\ end {array}\)
Conjunto de práctica A
Encuentra cada uno de los siguientes productos.
\(\sqrt{5} \sqrt{6}\)
- Contestar
-
\(\sqrt{30}\)
\(\sqrt{32} \sqrt{2}\)
- Contestar
-
\(8\)
\(\sqrt{x+4} \sqrt{x+3}\)
- Contestar
-
\(\sqrt{(x+4)(x+3)}\)
\(\sqrt{8m^5n} \sqrt{20m^2n}\)
- Contestar
-
\(4m^3n \sqrt{10m}\)
\(\sqrt{9(k-6)^3} \sqrt{k^2 - 12k + 36}\)
- Contestar
-
\(3(k-6)^2 \sqrt{k-6}\)
\(\sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{5}\)
- Contestar
-
\(\sqrt{6} + \sqrt{15}\)
\(\sqrt{2a} (\sqrt{5a} - \sqrt{8a^3})\)
- Contestar
-
\(a \sqrt{10} - 4a^2\)
\(\sqrt{32m^5n^8} \sqrt{2mn^2} - \sqrt{n^7}\)
- Contestar
-
\(8m^3n^2 \sqrt{n} - 8m^2n^5\sqrt{5m}\)
Ejercicios
\(\sqrt{2} \sqrt{10}\)
- Contestar
-
\(2 \sqrt{5}\)
\(\sqrt{3} \sqrt{15}\)
\(\sqrt{7} \sqrt{8}\)
- Contestar
-
\(2 \sqrt{14}\)
\(\sqrt{20} \sqrt{3}\)
\(\sqrt{32} \sqrt{27}\)
- Contestar
-
\(12 \sqrt{6}\)
\(\sqrt{45} \sqrt{50}\)
\(\sqrt{5} \sqrt{5}\)
- Contestar
-
\(5\)
\(\sqrt{7} \sqrt{7}\)
\(\sqrt{8} \sqrt{8}\)
- Contestar
-
\(8\)
\(\sqrt{15} \sqrt{15}\)
\(\sqrt{48} \sqrt{27}\)
- Contestar
-
\(36\)
\(\sqrt{80} \sqrt{20}\)
\(\sqrt{5} \sqrt{m}\)
- Contestar
-
\(\sqrt{5m}\)
\(\sqrt{7} \sqrt{a}\)
\(\sqrt{6} \sqrt{m}\)
- Contestar
-
\(\sqrt{6m}\)
\(\sqrt{10} \sqrt{h}\)
\(\sqrt{20} \sqrt{a}\)
- Contestar
-
\(2 \sqrt{5a}\)
\(\sqrt{48} \sqrt{x}\)
\(\sqrt{75} \sqrt{y}\)
- Contestar
-
\(5 \sqrt{3y}\)
\(\sqrt{200} \sqrt{m}\)
\(\sqrt{a} \sqrt{a}\)
- Contestar
-
\(a\)
\(\sqrt{x} \sqrt{x}\)
\(\sqrt{y} \sqrt{y}\)
- Contestar
-
\(y\)
\(\sqrt{h} \sqrt{h}\)
\(\sqrt{3} \sqrt{3}\)
- Contestar
-
\(3\)
\(\sqrt{6} \sqrt{6}\)
\(\sqrt{k} \sqrt{k}\)
- Contestar
-
\(k\)
\(\sqrt{m} \sqrt{m}\)
\(\sqrt{m^2} \sqrt{m}\)
- Contestar
-
\(m \sqrt{m}\)
\(\sqrt{a^2} \sqrt{a}\)
\(\sqrt{x^3} \sqrt{x}\)
- Contestar
-
\(x^2\)
\(\sqrt{y^3} \sqrt{y}\)
\(\sqrt{y} \sqrt{y^4}\)
- Contestar
-
\(y^2 \sqrt{y}\)
\(\sqrt{k} \sqrt{k^6}\)
\(\sqrt{a^3} \sqrt{a^5}\)
- Contestar
-
\(a^4\)
\(\sqrt{x^3} \sqrt{x^7}\)
\(\sqrt{x^9} \sqrt{x^3}\)
- Contestar
-
\(x^6\)
\(\sqrt{y^3} \sqrt{y^4}\)
- Contestar
-
\(y^3 \sqrt{y}\)
\(\sqrt{x^8} \sqrt{x^5}\)
\(\sqrt{x+2} \sqrt{x-3}\)
- Contestar
-
\(\sqrt{(x+2)(x-3)}\)
\(\sqrt{a-6} \sqrt{a+1}\)
\(\sqrt{y+3} \sqrt{y - 2}\)
- Contestar
-
\(\sqrt{(y+3)(y-2)}\)
\(\sqrt{h+1} \sqrt{h-1}\)
\(\sqrt{x+9} \sqrt{(x+9)^2}\)
- Contestar
-
\((x+9) \sqrt{x+9}\)
\(\sqrt{y-3} \sqrt{(y-3)^5}\)
\(\sqrt{3a^2} \sqrt{15a^3}\)
- Contestar
-
\(3a^2 \sqrt{5a}\)
\(\sqrt{2m^4n^3} \sqrt{14m^5n}\)
\(\sqrt{12(p-q)^3} \sqrt{3(p-q)^5}\)
- Contestar
-
\(6(p-q)^4\)
\(\sqrt{15a^2(b+4)^4} \sqrt{21a^3(b+4)^5}\)
\(\sqrt{125m^5n^4r^8} \sqrt{8m^6r}\)
- Contestar
-
\(10m^5n^2r^4 \sqrt{10mr}\)
\(\sqrt{7(2k-1)^{11}(k+1)^3} \sqrt{14(2k-1)^{10}}\)
\(\sqrt{y^3} \sqrt{y^5} \sqrt{y^2}\)
- Contestar
-
\(y^5\)
\(\sqrt{x^6} \sqrt{x^2} \sqrt{x^9}\)
\(\sqrt{2a^4} \sqrt{5a^3} \sqrt{2a^7}\)
- Contestar
-
\(2a^7 \sqrt{5}\)
\(\sqrt{x^n} \sqrt{x^n}\)
\(\sqrt{y^2n} \sqrt{y^4n}\)
- Contestar
-
\(y^{3n}\)
\(\sqrt{a^{2n + 5}} \sqrt{a^3}\)
\(\sqrt{2m^{3n + 1}} \sqrt{10m^{n + 3}}\)
- Contestar
-
\(2m^{2n + 2} \sqrt{5}\)
\(\sqrt{75(a-2)^7} \sqrt{48a - 96}\)
\(\sqrt{2} (\sqrt{8} + \sqrt{6})\)
- Contestar
-
\(2(2 + \sqrt{3})\)
\(\sqrt{5}(\sqrt{3} + \sqrt{7})\)
\(\sqrt{3} (\sqrt{x} + \sqrt{2})\)
- Contestar
-
\(\sqrt{3x} + \sqrt{6}\)
\(\sqrt{11}(\sqrt{y} + \sqrt{3})\)
\(\sqrt{8}(\sqrt{a} - \sqrt{3a})\)
- Contestar
-
\(2\sqrt{2a} - 2\sqrt{6a}\)
\(\sqrt{x}(\sqrt{x^3} - \sqrt{2x^4})\)
\(\sqrt{y}(\sqrt{y^5} \sqrt{3y^3})\)
- Contestar
-
\(9y^2(y + \sqrt{3})\)
\(\sqrt{8a^5}(\sqrt{2a} - \sqrt{6a^{11}})\)
\(\sqrt{12m^3} (\sqrt{6m^7} - \sqrt{3m})\)
- Contestar
-
\(6m^2 (m^3 \sqrt{2} - 1)\)
\(\sqrt{5x^4y^3} (\sqrt{8xy} - 5\sqrt{7x})\)
Ejercicios para la revisión
Factor \(a^4y^4 - 25w^2\)
- Contestar
-
\((a^2y^2 + 5w)(a^2y^2 - 5w)\)
Encuentra la pendiente de la línea que pasa por los puntos \((-5, 4)\) y \((-3, 4)\)
Realizar las operaciones indicadas:
\(\dfrac{15 x^{2}-20 x}{6 x^{2}+x-12} \cdot \dfrac{8 x+12}{x^{2}-2 x-15} \div \dfrac{5 x^{2}+15 x}{x^{2}-25}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{4(x+5)}{(x+3)^2}\)
Simplificar \(\sqrt{x^4y^2z^6}\) eliminando el signo radical
Simplificar \(\sqrt{12x^3y^5z^8}\)
- Contestar
-
\(2xy^2z^4 \sqrt{3xy}\)