23.7: Ecuaciones de Raíz Cuadrada con Aplicaciones
Ecuaciones de raíz cuadrada y soluciones extrañas
Ecuación de raíz cuadrada
Una ecuación de raíz cuadrada es una ecuación que contiene una variable bajo un signo de raíz cuadrada. El hecho que \(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 = x\) sugiere que podemos resolver una ecuación de raíz cuadrada al cuadrar ambos lados de la ecuación.
Soluciones Extrañas
La cuadratura de ambos lados de una ecuación puede, sin embargo, introducir soluciones extrañas. Considera la ecuación
\(x = -6\)
La solución es \(-6\) . Cuadrado a ambos lados.
\(x^2 = (-6)^2\)
\(x^2 = 36\)
Esta ecuación tiene dos soluciones, \(-6\) y \(+6\) . El \(+6\) es una solución ajena ya que no comprueba en la ecuación original:
\(+6 \not = -6\)
Método para resolver ecuaciones de raíz cuadrada
- Aislar un radical. Esto significa obtener una expresión de raíz cuadrada por sí misma en un lado del signo igual.
- Cuadrar ambos lados de la ecuación.
- Simplifica la ecuación combinando términos similares.
- Repita el paso 1 si aún hay radicales presentes.
- Obtener soluciones potenciales resolviendo la ecuación resultante de raíz no cuadrada.
- Verifique cada solución potencial por sustitución en la ecuación original.
Conjunto de Muestras A
Resuelve cada ecuación de raíz cuadrada.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
&\ sqrt {x} &= 8 &\ text {El radical está aislado Cuadrar ambos lados.}\\
& (\ sqrt {x}) ^2 &= 8^2\\
& x &= 64 &\ text {Comprobar esta solución potencial}\\
\ text {Comprobar:} &\ sqrt {64} &= 8 & \ text {¿Esto es correcto? }\\
& 8 &= 8 &\ text {Sí, esto es correcto.}\\
64\ text {es la solución}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
&\ sqrt {y-3} &= 4 &\ text {El radical está aislado. Cuadrar ambos lados.}\\
&\ sqrt {y-3} &= 16 &\ text {Resuelve esta ecuación no radical}\\
\ text {Comprobar:} &\ sqrt {19 - 3} &=\ sqrt {16} &\ text {¿Es esto correcto? }\\
&\ sqrt {16} &= 4 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
& 4 &= 4 &\ text {Sí, esto es correcto.}\\
19\ text {es la solución}
\ end {array}\)
\ (\ begin {array} {Flushleft}
&\ sqrt {2m + 3} -\ sqrt {m - 8} &= 0 &\ text {Aislar cualquiera de los radicales}\\
&\ sqrt {2m + 3} &=\ sqrt {m + 8} &\ text {Cuadrar ambos lados.}\\
& 2m + 3 &= m-8 &\ text {Resuelve esta ecuación no radical}\\
& m &= -11 &\ text {Comprueba esta solución potencial.}\\
\ text {Comprobar:}\ sqrt {2 (-11) + 3} -\ sqrt {(-11) - 8} &= 0 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
&\ sqrt {-22 + 3} -\ sqrt {-19} &= 0 &\ text {¿Es esto correcto? }
\ end {array}\)
Ya que no \(\sqrt{-19}\) es un número real, la solución potencial de \(m = -11\) no comprueba. Esta ecuación no tiene una solución real.
\(\sqrt{4x - 5} = -6\) . Por inspección, esta ecuación no tiene una solución real.
El símbolo, \(\sqrt{}\) , significa la raíz cuadrada positiva y no la raíz cuadrada negativa.
Conjunto de práctica A
Resuelve cada ecuación de raíz cuadrada.
\(\sqrt{y} = 14\)
- Responder
-
\(y = 196\)
\(\sqrt{a - 7} = 5\)
- Responder
-
\(a = 32\)
\(\sqrt{3a + 8} - \sqrt{2a + 5} = 0\)
- Responder
-
\(a = -3\) es ajeno, no hay solución real.
\(\sqrt{m - 4} = -11\)
- Responder
-
No hay solución real
Ejercicios
Para los siguientes problemas, resolver las ecuaciones de raíz cuadrada.
\(\sqrt{x} = 5\)
- Responder
-
\(x = 25\)
\(\sqrt{y} = 7\)
\(\sqrt{a} = 10\)
- Responder
-
\(a = 100\)
\(\sqrt{c} = 12\)
\(\sqrt{x} = -3\)
- Responder
-
Sin solución
\(\sqrt{y} = -6\)
\(\sqrt{x} = 0\)
- Responder
-
\(x = 0\)
\(\sqrt{x} = 1\)
\(\sqrt{x + 3} = 3\)
- Responder
-
\(x = 6\)
\(\sqrt{y - 5} = 5\)
\(\sqrt{a + 2} = 6\)
- Responder
-
\(a = 34\)
\(\sqrt{y + 7} = 9\)
\(\sqrt{y - 4} - 4 = 0\)
- Responder
-
\(y = 20\)
\(\sqrt{x - 10} - 10 = 0\)
\(\sqrt{x - 16} = 0\)
- Responder
-
\(x = 16\)
\(\sqrt{y -25} = 0\)
\(\sqrt{6m - 4} = \sqrt{5m - 1}\)
- Responder
-
\(m = 3\)
\(\sqrt{5x + 6} = \sqrt{3x + 7}\)
\(\sqrt{7a + 6} = \sqrt{3a - 18}\)
- Responder
-
Sin solución
\(\sqrt{4x + 3} = \sqrt{x - 9}\)
\(\sqrt{10a - 7} - \sqrt{2a + 9} = 0\)
- Responder
-
\(a = 2\)
\(\sqrt{12k - 5} - \sqrt{9k + 10} = 0\)
\(\sqrt{x - 6} - \sqrt{3x - 8} = 0\)
- Responder
-
Sin solución
\(\sqrt{4a - 5} - \sqrt{7a - 20} = 0\)
\(\sqrt{2m - 6} = \sqrt{m - 2}\)
- Responder
-
\(m = 4\)
\(\sqrt{6r - 11} = \sqrt{5r + 3}\)
\(\sqrt{3x + 1} = \sqrt{2x - 6}\)
- Responder
-
Sin solución
\(\sqrt{x - 7} - \sqrt{5x + 1} = 0\)
\(\sqrt{2a + 9} - \sqrt{a - 4} = 0\)
- Responder
-
Sin solución
En cierta compañía de electrónica, la producción diaria \(Q\) está relacionada con el número de personas \(A\) en la línea de montaje por \(Q = 400 + 10\sqrt{A + 125}\)
a) Determinar la producción diaria si hay \(44\) personas en la línea de montaje.
b) Determinar cuántas personas se necesitan en la línea de montaje si la producción diaria va a ser \(520\)
En una tienda, el número diario de ventas \(S\) está aproximadamente relacionado con el número de empleados \(E\) por \(S = 100 + 15\sqrt{E + 6}\)
a) Determinar el número aproximado de ventas si hay \(19\) empleados.
b) Determinar el número de empleados que la tienda necesitaría para producir \(310\) ventas.
- Responder
-
a) \(S = 175\)
b) \(E = 190\)
La frecuencia de resonancia \(f\) en un circuito electrónico que contiene inductancia \(L\) y capacitancia \(C\) en serie viene dada por:
\(f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}\)
a) Determinar la frecuencia de resonancia en un circuito electrónico si la inductancia es \(4\) y la capacitancia es \(0.0001\) . Uso \(\pi = 3.14\)
b) Determinar la inductancia en un circuito eléctrico si la frecuencia de resonancia es \(7.12\) y la capacitancia es \(0.0001\) . Uso \(\pi = 3.14\) .
Si dos polos magnéticos de fuerza \(m\) y \(m'\) unidades están a una distancia de \(r\) centímetros (cm) de distancia, la fuerza \(F\) de repulsión en el aire entre ellos viene dada por:
\(F = \dfrac{mm'}{r^2}\) :
a) Determinar la fuerza de repulsión si dos polos magnéticos de resistencias \(20\) y \(40\) están separados \(5\) cm en el aire.
b) Determinar qué tan separados están dos polos magnéticos de intensidades \(30\) y \(40\) unidades si la fuerza de repulsión en el aire entre ellos está \(0.0001\) .
- Responder
-
a) \(F = 32\)
b) \(r = 8\) cm.
La velocidad \(V\) en pies por segundo de salida de un líquido de un orificio viene dada por \(V = 8\sqrt{h}\) , donde \(h\) está la altura en pies del líquido por encima de la abertura.
a) Determinar la velocidad de salida de un líquido desde un orificio que está \(9\) pies por debajo de la superficie superior de un líquido ( \(V\) es en pies/seg.
b) Determinar qué tan alto está un líquido por encima de un orificio si la velocidad de salida es \(81\) pies/segundo.
El periodo \(T\) en segundos de un péndulo simple de longitud \(L\) en pies viene dado por \(T = 2 \pi \sqrt{\dfrac{L}{32}}\)
a) Determinar el periodo de un péndulo simple que tiene \(2\) pies de largo. Uso \(\pi = 3.14\) .
b) Determinar la longitud en pies de un péndulo simple cuyo periodo si es de \(10.8772\) segundos. Uso \(\pi = 3.14\) .
- Responder
-
a) \(T = 1.57\) seg
b) \(L = 95.99\) cm
La energía cinética \(KE\) en libras pie de un cuerpo de masa \(m\) en babosas que se mueven con una velocidad \(v\) en pies/seg es dada por \(KE = \dfrac{1}{2}mv^2\) .
a) Determinar la energía cinética de un cuerpo \(2\) de babosa que se mueve con una velocidad de \(4\) pies/seg.
b) Determinar la velocidad en pies/seg de un cuerpo de \(4\) babosa si su energía cinética es \(50\) pie-libras.
Ejercicios para revisión
Escribe \(\dfrac{x^{10}y^3(x+7)^4}{x^{-2}y^3(x+7)^{-1}}\) para que solo aparezcan exponentes positivos.
- Responder
-
\(x^{12}(x+7)^5\)
Clasificar \(x+4 = x+7\) como identidad, contradicción o ecuación condicional.
Suministrar las palabras que faltan. En el plano coordenado, las líneas con _____ pendiente suben y las líneas con _____ pendiente caen.
- Responder
-
positivo, negativo
Simplificar \(\sqrt{(x+3)^4(x-2)^6}\)
Simplificar \((3 + \sqrt{5})(4 - \sqrt{5})\)
- Responder
-
\(7 + \sqrt{5}\)