23.8: Resumen de conceptos clave
Resumen de Key Concepts
Raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número positivo \(x\) es un número tal que cuando es cuadrado, el número \(x\) resulta.
Cada número positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Ellos opuestos el uno del otro.
Raíz cuadrada principal \(\sqrt{x}\)
Si \(x\) es un número real positivo, entonces
\(\sqrt{x}\) representa la raíz cuadrada positiva de \(x\) . La raíz cuadrada positiva de un número se llama la raíz cuadrada principal del número.
Raíz cuadrada secundaria \(-\sqrt{x}\)
\(-\sqrt{x}\) representa la raíz cuadrada negativa de \(x\) . La raíz cuadrada negativa de un número se llama raíz cuadrada secundaria del número.
Signo Radical, Radicand; y Radical
En la expresión \(\sqrt{x}\) ,
\(\sqrt{}\) se llama el signo radical.
\(x\) se llama el radicando.
\(\sqrt{x}\) se llama radical.
La barra horizonal que aparece unida al signo radical, \(\sqrt{}\) , es un símbolo de agrupación que especifica el radicando.
Expresiones significativas
Una expresión radical solo tendrá sentido si el radicando (la expresión bajo el signo radical) no es negativa:
\(\sqrt{-25}\) no tiene sentido y no \(\sqrt{-25}\) es un número real.
Simplificación de expresiones de raíz cuadrada
Si \(a\) es un número no negativo, entonces
\(\sqrt{a^2} = a\)
Plazas Perfectas
Los números reales que son cuadrados de números racionales se llaman cuadrados perfectos.
Números irracionales
Cualquier raíz cuadrada indicada cuyo radicando no sea un cuadrado perfecto es un número irracional.
\(\sqrt{2}, \sqrt{5}\) y \(\sqrt{10}\) son números irracionales
La propiedad del producto
\(\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}\)
La propiedad del cociente
\(\sqrt{\dfrac{x}{y}} = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\) , \(y \not = 0\)
Ten Cuidado
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
\ sqrt {x + y} &\ not =\ sqrt {x}\ sqrt {y} & (\ sqrt {16 + 9} &\ not =\ sqrt {16} +\ sqrt {9})\
\ sqrt {x-y} &\ not =\ sqrt {x} -\ sqrt {y} & (\ sqrt {25-16} &\ not =\ sqrt {25} -\ sqrt {16})
\ end {array}\)
Formulario Simplificado
Una raíz cuadrada que no involucra fracciones está en forma simplificada si no hay cuadrados perfectos en el radicando.
Una raíz cuadrada que involucra una fracción está en forma simplificada si no hay
- cuadrados perfectos en el radicando,
- fracciones en el radicando, o
- expresiones de raíz cuadrada en el denominador
Radicalizando el Denominador
El proceso de eliminación de radicales de los denominadores se llama racionalizar el denominador.
Multiplicar expresiones de raíz cuadrada
El producto de las raíces cuadradas es la raíz cuadrada del producto.
\(\sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}\)
- Simplifique cada raíz cuadrada, si es necesario.
- Realizar la multiplicación.
- Simplificar, si es necesario.
Dividir expresiones de raíz cuadrada
El cociente de las raíces cuadradas es la raíz cuadrada del cociente.
\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\dfrac{x}{y}}\)
Suma y resta de expresiones de raíz cuadrada
\(a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a+b)\sqrt{x}\)
\(a\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a-b)\sqrt{x}\)
Ecuación de raíz cuadrada
Una ecuación de raíz cuadrada es una ecuación que contiene una variable bajo un signo radical de raíz cuadrada.
Resolución de la ecuación de raíz cuadrada
- Aislar un radical.
- Cuadrando ambos lados de la ecuación.
- Simplifica combinando términos similares.
- Repita el paso 1 si todavía hay radicales presentes.
- Obtener solución potencial resolviendo la ecuación resultante de raíz no cuadrada.
- Verificar posibles soluciones por sustitución.