24.6: Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática
Forma estándar de una ecuación cuadrática
Hemos observado que una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma
\(ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0\) .
donde
- \(a\) es el coeficiente del término cuadrático,
- \(b\) es el coeficiente del término lineal,
- \(c\) es el término constante.
La ecuación \(ax^2 + bc + c = 0\) es la forma estándar de una ecuación cuadrática.
Conjunto de Muestras A
Determinar los valores de \(a, b\) , y \(c\) .
En la ecuación \(3x^2 + 5x + 2 = 0\) ,
\(a = 3\)
\(b = 5\)
\(c = 2\)
En la ecuación \(12x^2-2x-1 = 0\) ,
\(a = 12\)
\(b = -2\)
\(c = -1\)
En la ecuación \(2y^2 + 3 = 0\) ,
\(a = 2\)
\(b = 0\) -> Porque la ecuación podría escribirse \(2y^2 + 0y + 3 = 0\)
\(c = 3\)
En la ecuación \(-8y^2 + 11y = 0\) ,
\(a = -8\)
\(b = 11\)
\(c = 0\) -> Desde \(-8y^2 + 11y + 0 = 0\)
En la ecuación \(z^2 = z + 8\) ,
\(a = 1\)
\(b = -1\)
\(c = -8\)
Cuando escribimos la ecuación en forma estándar, obtenemos \(z^2 - z - 8 = 0\)
Conjunto de práctica A
Determinar los valores de \(a, b\) , y \(c\) en las siguientes ecuaciones cuadráticas.
\(4x^2 - 3x + 5 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 4\\
b &= -3\\
c &= 5
\ end {array}\)
\(3y^2 - 2y + 9 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 3\\
b &= -2\\
c &= 9
\ end {array}\)
\(x^2 - 5x - 1 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -5\\
c &= -1
\ end {array}\)
\(x^2 - 4 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= 0\\
c &= -4
\ end {array}\)
\(x^2 - 2x = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -2\\
c &= 0
\ end {array}\)
\(y^2 = 5y - 6\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 1\\
b &= -5\\
c &= 6
\ end {array}\)
\(2x^2 - 4x = -1\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 2\\
b &= -4\\
c &= 1
\ end {array}\)
\(5x - 3 = -3x^2\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= 3\\
b &= 5\\
c &= -3
\ end {array}\)
\(2x - 11 - 3x^2 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {ruedado}
a &= -3\\
b &= 2\\
c &= -11
\ end {array}\)
\(y^2 = 0\)
- Contestar
-
\ (\ begin {array} {flaqueado}
a &= 1\\
b &= 0\\
c &= 0
\ end {array}\)
Las soluciones a todas las ecuaciones cuadráticas dependen única y completamente de los valores \(a, b\) y \(c\)
La fórmula cuadrática
Cuando una ecuación cuadrática se escribe en forma estándar para que los valores \(a, b\) , y \(c\) se determinen fácilmente, la ecuación se puede resolver usando la fórmula cuadrática . Los valores que satisfacen la ecuación se encuentran sustituyendo los valores \(a, b\) , y \(c\) en la fórmula
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Ten en cuenta que el símbolo más o menos,\ pm, es solo una forma taquigráfica o denota las dos posibilidades:
\(x = \dfrac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) y \(x = \dfrac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
La fórmula cuadrática se puede derivar utilizando el método de completar el cuadrado.
Derivación De La Fórmula Cuadrática
Resuelve \(ax^2 + bx = -c = 0\) \(x\) por completando la plaza.
Restar \(c\) de ambos lados.
\(ax^2 + bx = -c\) .
Dividir ambos lados por \(a\) , el coeficiente de \(x^2\) .
\(x^2 + \dfrac{b}{a}x = \dfrac{-c}{a}\)
Ahora tenemos la forma adecuada para completar la plaza. Tome la mitad del coeficiente de \(x\) , cuadráquelo y agregue el resultado a ambos lados de la ecuación que se encuentra en el paso 2.
a) \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{b}{a} = \dfrac{b}{2a}\) es la mitad del coeficiente de \(x\) .
b) \((\dfrac{b}{2a})^2\) es el cuadrado de la mitad del coeficiente de \(x\)
\(x^2 + \dfrac{b}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{-c}{a} + (\dfrac{b}{2a})^2\)
El lado izquierdo de la ecuación es ahora un trinomio cuadrado perfecto y se puede factorizar. Esto nos da:
\((x + \dfrac{b}{2a})^2 = \dfrac{-c}{a} + \dfrac{b^2}{4a^2}\)
Sumar las dos fracciones en el lado derecho de la ecuación. La pantalla LCD \(= 4a^2\) .
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {-4ac} {4a^2} +\ dfrac {b^2} {4a^2}\\
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {-4ac + b^2} {4a^ ^2}\\
(x +\ dfrac {b} {2a}) ^2 &=\ dfrac {b^2 - 4ac} {4a^2}
\ end {array}\)
Resuelve por \(x\) usar el método de extracción de raíces.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {b^2 - 4ac} {4a^2}}\\
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {\ sqrt {4a^2}} &\ sqrt {4a^2} = |2a| = 2a| =\ pm 2a\\
x +\ dfrac {b} {2a} &=\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}\\
x &= -\ dfrac {b} {2a}\ pm\ dfrac {\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a} &\ text {Agrega estas dos fracciones}\\
x &=\ dfrac {-b\ pm\ sqrt {b^2 - 4ac}} {2a}
\ end {array}\)
Conjunto de Muestras B
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
\(3x^2 + 5x + 2 = 0\)
1. Identificar \(a, b\) , y \(c\) .
\(a = 3, b = 5, c = 2\)
2. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {(5) ^2 - 4 (3) (2)}} {2 (3)}\\
&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {25 - 24}} {6}\
&=\ dfrac {-5\ pm\ sqrt {1}} {6}\\
&=\ dfrac {-5 + 1} {6} & -5 + 1 = -4\ texto {y} -5 - 1 = -6
&=\ dfrac {-4} {6},\ dfrac {-6} {6}\\
x &\ dfrac {-2} {3}, -1
\ end {array}\)
Nota: Dado que estas raíces son números racionales, esta ecuación podría haberse resuelto factorizando.
\(12x^2 - 2x - 1 = 0\)
1. Identificar \(a, b\) , y \(c\) .
\(a = 12, b = -2, c = -1\)
2. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {(-2)\ pm\ sqrt {(-2) ^2 - 4 (12) (-1)}} {2 (12)}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {4 + 48}} {24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {52}} {24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm\ sqrt {4\ cdot 13}} { 24} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {2\ pm 2\ sqrt {13}} {24} &\ text {Reducir. Factor} 2\ texto {de los términos del numerador.} \\
&=\ dfrac {2 (1\ pm\ sqrt {13})} {24}\\
x &=\ dfrac {1\ pm\ sqrt {13}} {12}
\ end {array}\)
\(2y^2 + 3 = 0\)
1. Identificar \(a, b\) , y \(c\) .
\(a = 2, b = 0, c = 3\)
2. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-0\ pm\ sqrt {0^2 - 4 (2) (3)}} {2 (2)}\\
x &=\ dfrac {0\ pm\ sqrt {-24}} {4}
\ end {array}\)
Esta ecuación no tiene solución de número real ya que hemos obtenido un número negativo bajo el signo radical.
\(-8x^2 + 11x = 0\)
1. Identificar \(a, b\) , y \(c\) .
\(a = -8, b = 11, c = 0\)
2. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
3. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {11^2 - 4 (-8) (0)}} {2 (-8)}\\
&=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {121 - 0}} {-16} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {-11\ pm\ sqrt {121}} {-16} &\ text {Simplificar}\\
&=\ dfrac {-11\ pm 11} {-16}
x &= 0,\ dfrac {11} {8}
\ end {array}\)
\((3x + 1)(x - 4) = x^2 + x - 2\)
1. Escribe la ecuación en forma estándar.
\ (\ begin {array} {ruedado}
3x^2 - 11x - 4 &= x^2 + x - 2\\
2x^2 - 12x - 2 &= 0\
x^2 - 6x - 1 &= 0
\ end {array}\)
2. Identificar \(a, b\) , y \(c\) .
\(a = 1, b = -6, c = -1\)
3. Escribe la fórmula cuadrática.
\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
4. Sustituto.
\ (\ begin {array} {ras a la izquierda}
x &=\ dfrac {- (-6)\ pm\ sqrt {(-6) ^2 - 4 (1) (-1)}} {2 (1)}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {36 + 4}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {40}} 2}\\
&=\ dfrac {6\ pm\ sqrt {4\ cdot 10}} {2}\\
&=\ dfrac {6\ pm 2\ sqrt {10}} { 2}\\
&=\ dfrac {2 (3\ pm\ sqrt {10}} {2}
\ end {array}\)
\(x = 3 \pm \sqrt{10}\)
Set de práctica B
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.
\(2x^2 + 3x - 7 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{65}}{4}\)
\(5a^2 - 2a - 1 = 0\)
- Contestar
-
\(a = \dfrac{1 \pm \sqrt{6}}{5}\)
\(6y^2 + 5 = 0\)
- Contestar
-
sin solución de número real
\(-3m^2 + 2m = 0\)
- Contestar
-
Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.
Ejercicios
Para los siguientes problemas, resuelve las ecuaciones usando la fórmula cuadrática.
\(x^2 - 2x - 3 = 0\)
- Contestar
-
\(x=3, −1\)
\(x^2 + 5x + 6 = 0\)
\(y^2 - 5y + 4 = 0\)
- Contestar
-
\(y=1, 4\)
\(a^2 + 4a - 21 = 0\)
\(a^2 + 12a + 20 = 0\)
- Contestar
-
\(a=−2, −10\)
\(b^2 - 4b + 4 = 0\)
\(b^2 + 4b + 4 = 0\)
- Contestar
-
\(b=−2\)
\(x^2 + 10x + 25 = 0\)
\(2x^2 - 5x - 3 = 0\)
- Contestar
-
\(x = 3, -\dfrac{1}{2}\)
\(6y^2 + y - 2 = 0\)
\(4x^2 - 2x - 1 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{4}\)
\(3y^2 + 2y - 1 = 0\)
\(5a^2 - 2a - 3 = 0\)
- Contestar
-
\(a = 1, -\dfrac{3}{5}\)
\(x^2 - 3x + 1 = 0\)
\(x^2 - 5x - 4 = 0\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{41}}{2}\)
\((x+2)(x−1)=1\)
\((a+4)(a−5)=2\)
- Contestar
-
\(a = \dfrac{1 \pm \sqrt{89}}{2}\)
\((x−3)(x+3)=7\)
\((b−4)(b+4)=9\)
- Contestar
-
\(b = \pm 5\)
\(x^2 + 8x = 2\)
\(y^2 = -5y + 4\)
- Contestar
-
\(y = \dfrac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}\)
\(x^2 = -3x + 7\)
\(x^2 = -2x - 1\)
- Contestar
-
\(x=−1\)
\(x^2 + x + 1 = 0\)
\(a^2 + 3a - 4 = 0\)
- Contestar
-
\(a=−4, 1\)
\(y^2 + y = -4\)
\(b^2 + 3b = -2\)
- Contestar
-
\(b=−1, −2\)
\(x^2 + 6x + 8 = -x - 2\)
\(x^2 + 4x = 2x - 5\)
- Contestar
-
Sin solución de números reales.
\(6b^2 + 5b - 4 = b^2 + b + 1\)
\(4a^2 + 7a - 2 = -2a + a\)
- Contestar
-
\(\dfrac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}\)
\((2x + 5)(x - 4) = x^2 -x + 2\)
\((x-4)^2 = 3\)
- Contestar
-
\(x = 4 \pm \sqrt{3}\)
\((b - 6)^2 = 8\)
- Contestar
-
\(b = 6 \pm 2\sqrt{2}\)
\((3-x)^2 = 6\)
\(3(x^2 + 1) = 2(x+7)\)
- Contestar
-
\(x = \dfrac{1 \pm \sqrt{34}}{3}\)
\(2(y^2 - 3) = -3(y - 1)\)
\((x + 2)^2 = 4\)
\(-4(a^2 + 2) + 3 = 5\)
- Contestar
-
Sin solución de número real
\(-(x^2 + 3x - 1) = 2\)
Ejercicios para revisión
Simplificar \((\dfrac{x^8y^7z^5}{x^4y^6z^2})^2\)
- Contestar
-
\(x^8y^2z^6\)
Escribe \(4a^{-6}b^2c^3a^5b^{-3}\) para que solo aparezcan exponentes positivos
Encuentra el producto: \((2y + 7)(3y - 1)\)
- Contestar
-
\(6y^2 + 19y - 7\)
Simplificar: \(\sqrt{80} - \sqrt{45}\)
Resuelve \(x^2 - 4x - 12 = 0\) completando la plaza.
- Contestar
-
\(x=−2, 6\)