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# 0.4e: Exercises - Rational Exponents


### A: Radical to Exponential Notation

Exercise $$\PageIndex{1}$$

$$\bigstar$$ Express using rational exponents.

 $$\sqrt{10} \\[5pt]$$ $$\sqrt{6} \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 3 ] { 3 } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 4 ] { 5 } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 3 ] { 5 ^ { 2 } } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 4 ] { 2 ^ { 3 } } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 3 ] { 49 } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 3 ] { 9 } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 5 ] { x } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 6 ] { x } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 6 ] { x ^ { 7 } } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 5 ] { x ^ { 4 } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { 1 } { \sqrt { x } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } \\[5pt]$$
Answers to odd exercises:
 1. $$10 ^ { 1 / 2 }$$ 3. $$3 ^ { 1 / 3 }$$ 5. $$5 ^ { 2 / 3 }$$ 7. $$7 ^ { 2 / 3 }$$ 9. $$x ^ { 1 / 5 }$$ 11. $$x ^ { 7 / 6 }$$ 13. $$x ^ { - 1 / 2 }$$

### B: Exponential to Radical Notation.

Exercise $$\PageIndex{2}$$

$$\bigstar$$ Express in radical form.

 $$10 ^ { 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$11 ^ { 1 / 3 }$$ $$7 ^ { 2 / 3 } \\[5pt]$$ $$2 ^ { 3 / 5 }$$ $$x ^ { 3 / 4 } \\[5pt]$$ $$x ^ { 5 / 6 }$$ $$x ^ { - 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$x ^ { - 3 / 4 }$$ $$\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 1 / 3 } \\[5pt]$$ $$\left( \frac { 1 } { x } \right) ^ { - 3 / 5 }$$ $$( 2 x + 1 ) ^ { 2 / 3 } \\[5pt]$$ $$( 5 x - 1 ) ^ { 1 / 2 }$$
Answers to odd exercises:
 15. $$\sqrt { 10 }$$ 17. $$\sqrt [ 3 ] { 49 }$$ 19. $$\sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } }$$ 21. $$\dfrac { 1 } { \sqrt { x } }$$ 23. $$\sqrt [ 3 ] { x }$$ 25. $$\sqrt [ 3 ] { ( 2 x + 1 ) ^ { 2 } }$$

### C: Exponential to Radical Form; then Simplify.

Exercise $$\PageIndex{3}$$

$$\bigstar$$ Write as a radical and then simplify.

 $$64 ^ { 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$49 ^ { 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$\left( \dfrac { 1 } { 4 } \right) ^ { 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$\left( \dfrac { 4 } { 9 } \right) ^ { 1 / 2 }$$ $$4 ^ { - 1 / 2 } \\[2pt]$$ $$9 ^ { - 1 / 2 } \\[2pt]$$ $$\left( \dfrac { 1 } { 4 } \right) ^ { - 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$\left( \dfrac { 1 } { 16 } \right) ^ { - 1 / 2 }$$ $$8 ^ { 1 / 3 } \\[2pt]$$ $$125 ^ { 1 / 3 } \\[2pt]$$ $$\left( \dfrac { 1 } { 27 } \right) ^ { 1 / 3 } \\[5pt]$$ $$\left( \dfrac { 8 } { 125 } \right) ^ { 1 / 3 } \\[5pt]$$ $$( - 27 ) ^ { 1 / 3 }$$ $$( - 64 ) ^ { 1 / 3 } \\[5pt]$$ $$16 ^ { 1 / 4 } \\[5pt]$$ $$625 ^ { 1 / 4 } \\[5pt]$$ $$81 ^ { - 1 / 4 } \\[5pt]$$ $$16 ^ { - 1 / 4 }$$ $$100,000 ^ { 1 / 5 } \\[5pt]$$ $$( - 32 ) ^ { 1 / 5 } \\[5pt]$$ $$\left( \dfrac { 1 } { 32 } \right) ^ { 1 / 5 } \\[5pt]$$ $$\left( \dfrac { 1 } { 243 } \right) ^ { 1 / 5 }$$
Answers to odd exercises:
 27. $$8$$ 29. $$\dfrac{1}{2}$$ 31. $$\dfrac{1}{2} \\[5pt]$$ 33. $$2$$ 35. $$2$$ 37. $$8$$ 39. $$-3 \\[5pt]$$ 41. $$2$$ 43. $$\dfrac{1}{3} \\[5pt]$$ 45. $$8$$ 47. $$\dfrac{1}{2}$$

$$\bigstar$$ Write as a radical and then simplify.

 $$9 ^ { 3 / 2 } \\[5pt]$$ $$4 ^ { 3 / 2 }$$ $$8 ^ { 5 / 3 } \\[5pt]$$ $$27 ^ { 2 / 3 }$$ $$16 ^ { 3 / 2 } \\[5pt]$$ $$32 ^ { 2 / 5 }$$ $$\left( \dfrac { 1 } { 16 } \right) ^ { 3 / 4 } \\[5pt]$$ $$\left( \dfrac { 1 } { 81 } \right) ^ { 3 / 4 }$$ $$( - 27 ) ^ { 2 / 3 } \\[5pt]$$ $$( - 27 ) ^ { 4 / 3 } \$$ $$( - 32 ) ^ { 3 / 5 } \\[5pt]$$ $$( - 32 ) ^ { 4 / 5 }$$
Answers to odd exercises:
 49. $$27$$ 51. $$32$$ 53. $$64$$ 55. $$\dfrac{1}{8}$$ 57. $$9$$ 59. $$-8$$

### D: Exponential Operations. PRODUCTS and POWERS of Products

Exercise $$\PageIndex{4}$$

$$\bigstar$$ Perform the operations and simplify. Leave answers in exponential form.

 $$5 ^ { 3 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$3 ^ { 2 / 3 } \cdot 3 ^ { 7 / 3 } \\[5pt]$$ $$5 ^ { 1 / 2 } \cdot 5 ^ { 1 / 3 } \\[5pt]$$ $$2 ^ { 1 / 6 } \cdot 2 ^ { 3 / 4 }$$ $$y ^ { 1 / 4 } \cdot y ^ { 2 / 5 } \\[5pt]$$ $$x ^ { 1 / 2 } \cdot x ^ { 1 / 4 } \\[5pt]$$ $$(u^{12}v^{18})^{\tfrac{1}{6}} \\[5pt]$$ ​​​​​​ $$(r^{9}s^{12})^{\tfrac{1}{3}}$$ $$\left( 8 ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 / 3 } \\[5pt]$$ $$\left( 3 ^ { 6 } \right) ^ { 2 / 3 } \\[5pt]$$ $$\left( x ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$\left( y ^ { 3 / 4 } \right) ^ { 4 / 5 }$$ $$\left( y ^ { 8 } \right) ^ { - 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$\left( y ^ { 6 } \right) ^ { - 2 / 3 } \\[5pt]$$ $$\left( 4 x ^ { 2 } y ^ { 4 } \right) ^ { 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$\left( 9 x ^ { 6 } y ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 }$$ $$\left( 2 x ^ { 1 / 3 } y ^ { 2 / 3 } \right) ^ { 3 } \\[5pt]$$ $$\left( 8 x ^ { 3 / 2 } y ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 } \\[5pt]$$ $$\left( 36 x ^ { 4 } y ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$\left( 8 x ^ { 3 } y ^ { 6 } z ^ { - 3 } \right) ^ { - 1 / 3 }$$
Answers to odd exercises:
 61. $$25 \\[5pt]$$ 63. $$5 ^ { 5 / 6 }$$ 65. $$y ^ { 13 / 20 } \\[5pt]$$ 67.$$u^{2}v^{3}$$ 69. $$2 \\[5pt]$$ 71. $$x ^ { 1 / 3 }$$ 73. $$\dfrac { 1 } { y ^ { 4 } } \\[5pt]$$ 75. $$2 x y ^ { 2 }$$ 77. $$8 x y ^ { 2 } \\[5pt]$$ 79. $$\dfrac { 1 } { 6 x ^ { 2 } y }$$

$$\bigstar$$ Perform the operations and simplify. Leave answers in exponential form.

 $$\left(27 q^{\tfrac{3}{2}}\right)^{\tfrac{4}{3}} \\[5pt]$$ $$\left(64 s^{\tfrac{3}{7}}\right)^{\tfrac{1}{6}} \\[5pt]$$ $$\left(a^{\tfrac{1}{3}} b^{\tfrac{2}{3}}\right)^{\tfrac{3}{2}}$$ $$\left( m^{\tfrac{4}{3}} n^{\tfrac{1}{2}}\right)^{\tfrac{3}{4}} \\[5pt]$$ $$\left(16 u^{\tfrac{1}{3}}\right)^{\tfrac{3}{4}} \\[5pt]$$ $$\left(625 n^{\tfrac{8}{3}}\right)^{\tfrac{3}{4}}$$ $$\left(4 p^{\tfrac{1}{3}} q^{\tfrac{1}{2}}\right)^{\tfrac{3}{2}} \\[5pt]$$ $$\left(9 x^{\tfrac{2}{5}} y^{\tfrac{3}{5}}\right)^{\tfrac{5}{2}} \\[5pt]$$ $$\left( 16 x ^ { 2 } y ^ { - 1 / 3 } z ^ { 2 / 3 } \right) ^ { - 3 / 2 }$$ $$\left( 81 x ^ { 8 } y ^ { - 4 / 3 } z ^ { - 4 } \right) ^ { - 3 / 4 } \\[5pt]$$ $$\left( 100 a ^ { - 2 / 3 } b ^ { 4 } c ^ { - 3 / 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \\[5pt]$$ $$\left( 125 a ^ { 9 } b ^ { - 3 / 4 } c ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 / 3 }$$
Answers to odd exercises:
 81. $$81 q^{2} \\[2pt]$$ 83. $$a^{\tfrac{1}{2}} b$$ 85. $$8 u^{\tfrac{1}{4}} \\[5pt]$$ 87. $$8 p^{\tfrac{1}{2}} q^{\tfrac{3}{4}}$$ 85. $$8 u^{\tfrac{1}{4}} \\[5pt]$$ 87. $$8 p^{\tfrac{1}{2}} q^{\tfrac{3}{4}}$$ 89. $$\dfrac { y ^ { 1 / 2 } } { 64 x ^ { 3 } z } \\[5pt]$$ 91. $$\dfrac { a ^ { 1 / 3 } b ^ { 3 / 4 } } { 10 b ^ { 2 } }$$

### E: Exponential Operations. QUOTIENTS and POWERS of Quotients

Exercise $$\PageIndex{5}$$

$$\bigstar$$ Perform the operations and simplify. Leave answers in exponential form.

 $$\dfrac { 5 ^ { 11 / 3 } } { 5 ^ { 2 / 3 } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { 2 ^ { 9 / 2 } } { 2 ^ { 1 / 2 } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { 2 a ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { 3 b ^ { 1 / 2 } } { b ^ { 1 / 3 } }$$ $$\dfrac{r^{\tfrac{5}{2}} \cdot r^{-\tfrac{1}{2}}}{r^{-\tfrac{3}{2}}} \\[5pt]$$ $$\dfrac{a^{\tfrac{3}{4}} \cdot a^{-\tfrac{1}{4}}}{a^{-\tfrac{10}{4}}} \\[5pt]$$ $$\dfrac{c^{\tfrac{5}{3}} \cdot c^{-\tfrac{1}{3}}}{c^{-\tfrac{2}{3}}}$$ $$\dfrac{m^{\tfrac{7}{4}} \cdot m^{-\tfrac{5}{4}}}{m^{-\tfrac{2}{4}}} \\[16pt]$$ 113 $$\dfrac { y ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 1 / 6 } } \\[16pt]$$ $$\dfrac { x ^ { 2 / 5 } x ^ { 1 / 2 } } { x ^ { 1 / 10 } }$$ $$\dfrac { x y } { x ^ { 1 / 2 } y ^ { 1 / 3 } }$$ $$\dfrac { x ^ { 5 / 4 } y } { x y ^ { 2 / 5 } }$$ $$\dfrac { 49 a ^ {5/7 } b ^ { 3 / 2 } } { 7 a ^ { 3 /7 } b ^ { 1 / 4 } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { 16 a ^ { 5 / 6 } b ^ { 5 / 4 } } { 8 a ^ { 1 / 2 } b ^ { 2 / 3 } }$$
Answers to odd exercises:
 101. $$125$$ 103. $$2 a ^ { 1 / 2 }$$ 105. $$r^{\frac{7}{2}}$$ 107. $$c^{2}$$ 109. $$y$$ 111. $$x ^ { 1 / 2 } y ^ { 2 / 3 }$$ 113. $$7 a ^ { 2/7 } b ^ { 5 / 4 }$$

$$\bigstar$$ Perform the operations and simplify. Leave answers in exponential form.

 $$\left( \dfrac { a ^ { 3 / 4 } } { a ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 4 / 3 } \\[6pt]$$ $$\left( \dfrac { b ^ { 4 / 5 } } { b ^ { 1 / 10 } } \right) ^ { 10 / 3 } \\[6pt]$$  $$\left( \dfrac { 4 x ^ { 2 / 3 } } { y ^ { 4 } } \right) ^ { 1 / 2 } \\[6pt]$$ $$\left( \dfrac { 27 x ^ { 3 / 4 } } { y ^ { 9 } } \right) ^ { 1 / 3 }$$ $$\left( \dfrac { 27 x ^ { 3 / 4 } } { y ^ { 9 } } \right) ^ { 1 / 3 } \\[2pt]$$ $$\left(\dfrac{36 s^{\tfrac{1}{5}} t^{-\tfrac{3}{2}}}{s^{-\tfrac{9}{5}} t^{\tfrac{1}{2}}}\right)^{\tfrac{1}{2}} \\[2pt]$$ $$\left(\dfrac{27 b^{\tfrac{2}{3}} c^{-\tfrac{5}{2}}}{b^{-\tfrac{7}{3}} c^{\tfrac{1}{2}}}\right)^{\tfrac{1}{3}}$$ $$\left(\dfrac{8 x^{\tfrac{5}{3}} y^{-\tfrac{1}{2}}}{27 x^{-\tfrac{4}{3}} y^{\tfrac{5}{2}}}\right)^{\tfrac{1}{3}} \\[1pt]$$ $$\left(\dfrac{16 m^{\tfrac{1}{5}} n^{\tfrac{3}{2}}}{81 m^{\tfrac{9}{5}} n^{-\tfrac{1}{2}}}\right)^{\tfrac{1}{4}} \\[6pt]$$ $$\dfrac { \left( 9 x ^ { 2 / 3 } y ^ { 6 } \right) ^ { 3 / 2 } } { x ^ { 1 / 2 } y }$$ $$\dfrac { \left( 125 x ^ { 3 } y ^ { 3 / 5 } \right) ^ { 2 / 3 } } { x y ^ { 1 / 3 } } \\[16pt]$$ $$\dfrac { \left( 27 a ^ { 1 / 4 } b ^ { 3 / 2 } \right) ^ { 2 / 3 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 2 } } \\[16pt]$$ $$\dfrac { \left( 25 a ^ { 2 / 3 } b ^ { 4 / 3 } \right) ^ { 3 / 2 } } { a ^ { 1 / 6 } b ^ { 1 / 3 } }$$
Answers to odd exercises:
 109. $$a ^ { 1 / 3 }$$ 111. $$\dfrac { 2 x ^ { 1 / 3 } } { y ^ { 2 } }$$ 119. $$\dfrac{6 s}{t}$$ 121. $$\dfrac{2x}{3y}$$ 123. $$27 x ^ { 1 / 2 } y ^ { 8 }$$ 125. $$9 b ^ { 1 / 2 }$$

### F: Radical to Exponential Form Operations.

Exercise $$\PageIndex{6}$$

$$\bigstar$$ Rewrite in exponential form and then perform the operations.

 $$\sqrt [ 3 ] { 9 } \cdot \sqrt [ 5 ] { 3 } \\[5pt]$$ $$\sqrt { 5 } \cdot \sqrt [ 5 ] { 25 } \\[5pt]$$ $$\sqrt { x } \cdot \sqrt [ 3 ] { x }$$ $$\sqrt { y } \cdot \sqrt [ 4 ] { y } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } \cdot \sqrt [ 4 ] { x } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } \cdot \sqrt [ 3 ] { x }$$ $$\dfrac { \sqrt [ 3 ] { 100 } } { \sqrt { 10 } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { \sqrt [ 5 ] { 16 } } { \sqrt [ 3 ] { 4 } }$$ $$\dfrac { \sqrt [ 3 ] { a ^ { 2 } } } { \sqrt { a } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { \sqrt [ 5 ] { b ^ { 4 } } } { \sqrt [ 3 ] { b } }$$ $$\dfrac { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } } { \sqrt [ 5 ] { x ^ { 3 } } } \\[5pt]$$ $$\dfrac { \sqrt [ 4 ] { x ^ { 3 } } } { \sqrt [ 3 ] { x ^ { 2 } } }$$ $$\sqrt { \sqrt [ 5 ] { 16 } } \\[5pt]$$ $$\sqrt { \sqrt [ 3 ] { 9 } } \\[5pt]$$ $$\sqrt [ 3 ] { \sqrt [ 5 ] { 2 } }$$
Answers to odd exercises:
 131. $$\sqrt [ 15 ] { 3 ^ { 13 } } \\[5pt]$$ 133. $$\sqrt [ 6 ] { x ^ { 5 } }$$ 135. $$\sqrt [ 12 ] { x ^ { 11 } } \\[5pt]$$ 137. $$\sqrt [ 6 ] { 10 }$$ 139. $$\sqrt [ 6 ] { a } \\[5pt]$$ 141. $$\sqrt [ 15 ] { x }$$ 143. $$\sqrt [ 5 ] { 4 } \\[5pt]$$ 145. $$\sqrt [ 15 ] { 2 } ) .\( \bigstar$$

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