6.1: Exponentes y Raíces
Objetivos de aprendizaje
- entender y ser capaz de leer la notación exponencial
- entender el concepto de raíz y ser capaz de leer la notación raíz
- poder usar una calculadora que tenga la \(y^x\) clave para determinar una raíz
Notación exponencial
Definición: Notación exponencial
Hemos observado que la multiplicación es una descripción de la adición repetida. La notación exponencial es una descripción de la multiplicación repetida.
Supongamos que tenemos la multiplicación repetida
\(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8\)
Definición: Exponente
El factor 8 se repite 5 veces. La notación exponencial utiliza un superíndice para el número de veces que se repite el factor. El superíndice se coloca sobre el factor repetido, \(8^5\) , en este caso. Al superíndice se le llama exponente .
Definición: La función de un exponente
Un exponente registra el número de factores idénticos que se repiten en una multiplicación.
Conjunto de Muestras A
Escribe la siguiente multiplicación usando exponentes.
\(3 \cdot 3\) . Como el factor 3 aparece 2 veces, registramos esto como
Solución
\(3^2\)
Conjunto de Muestras A
\(62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot 62\) . Como el factor 62 aparece 9 veces, registramos esto como
Solución
\(62^9\)
Expandir (escribir sin exponentes) cada número.
Conjunto de Muestras A
\(12^4\) . El exponente 4 está registrando 4 factores de 12 en una multiplicación. Por lo tanto,
Solución
\(12^4 = 12 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 12\)
Conjunto de Muestras A
\(706^3\) . El exponente 3 está registrando 3 factores de 706 en una multiplicación. Por lo tanto,
Solución
\(706^3 = 706 \cdot 706 \cdot 706\)
Conjunto de práctica A
Escribe lo siguiente usando exponentes.
\(37 \cdot 37\)
- Contestar
-
\(37^2\)
Conjunto de práctica A
\(16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16 \cdot 16\)
- Contestar
-
\(16^5\)
Conjunto de práctica A
\(9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9\)
- Contestar
-
\(9^{10}\)
Escribe cada número sin exponentes.
Conjunto de práctica A
\(85^3\)
- Contestar
-
\(85 \cdot 85 \cdot 85\)
Conjunto de práctica A
\(4^7\)
- Contestar
-
\(4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4\)
Conjunto de práctica A
\(1,739^2\)
- Contestar
-
\(1,739 \cdot 1,739\)
Lectura de Notación Exponencial
En un número como \(8^5\) .
La base
8 se llama la
base
.
Exponente, Poder
5 se llama el
exponente
, o
poder
.
\(8^5\)
se lee como “ocho al quinto poder”, o más simplemente como “ocho al quinto”, o “el quinto poder de ocho”.
Al
cuadrado
Cuando se eleva un número entero a la segunda potencia, se dice que está al
cuadrado
. El número
\(5^2\)
se puede leer como
5 a la segunda potencia, o
5 a la segunda, o
5 al cuadrado.
Cubicado
Cuando se eleva un número entero a la tercera potencia, se dice que está en
cubos
. El número
\(5^3\)
se puede leer como
5 a la tercera potencia, o
5 a la tercera, o
5 cubos.
Cuando se eleva un número entero a la potencia de 4 o superior, simplemente decimos que ese número se eleva a esa potencia en particular. El número \(5^8\) se puede leer como
5 a la octava potencia, o apenas
5 a la octava.
Raíces
En el idioma inglés, la palabra “raíz” puede significar una fuente de algo. En términos matemáticos, se utiliza la palabra “raíz” para indicar que un número es la fuente de otro número a través de multiplicación repetida.
Raíz cuadrada
Sabemos que
\(49 = 7^2\)
, es decir,
\(49 = 7 \cdot 7\)
. A través de la multiplicación repetida, 7 es la fuente de 49. Así, 7 es una raíz de 49. Dado que dos 7's deben multiplicarse juntos para producir 49, al 7 se le llama la segunda o
raíz cuadrada
de 49.
Raíz cúbica
Sabemos que
\(8 = 2^3\)
, es decir,
\(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\)
. A través de la multiplicación repetida, 2 es la fuente de 8. Así, 2 es una raíz de 8. Dado que tres 2's deben multiplicarse juntos para producir 8, 2 se llama la tercera o
raíz cúbica
de 8.
Podemos continuar de esta manera para ver raíces como las cuartas raíces, las quintas raíces, las sextas raíces, y así sucesivamente.
Lectura de Notación Raíz
Hay un símbolo que se utiliza para indicar las raíces de un número. Se llama el signo radical \(\sqrt[n]{\ \ \ \ }\)
El Signo Radical \(\sqrt[n]{\ \ \ \ }\)
El símbolo \(\sqrt[n]{\ \ \ \ }\) se llama signo radical e indica la enésima raíz de un número.
Se discuten raíces particulares usando el signo radical de la siguiente manera:
Raíz cuadrada
\(\sqrt[2]{\text{number}}\)
indica la
raíz cuadrada
del número bajo el signo radical. Se acostumbra dejar caer el 2 en el signo radical cuando se habla de raíces cuadradas. Se entiende
\(\sqrt{\ \ \ \ }\)
que el símbolo es el signo radical de raíz cuadrada.
\(\sqrt{49} = 7\)
desde
\(7 \cdot 7 = 7^2 = 49\)
Raíz cúbica
\(\sqrt[3]{\text{number}}\)
indica la
raíz cúbica
del número bajo el signo radical.
\(\sqrt[3]{8} = 2\)
desde
\(2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8\)
Cuarta Raíz
\(\sqrt[4]{\text{number}}\)
indica la
cuarta raíz
del número bajo el signo radical.
\(\sqrt[4]{81} = 3\)
ya que
\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81\)
en una expresión como
\(\sqrt[5]{32}\)
Signo Radical
\(\sqrt{\ \ \ \ }\)
se llama el
signo radical
.
El índice
5 se llama
índice
. (El índice describe la raíz indicada.)
Radicand
32 se llama el
radicando
.
Radical
\(\sqrt[5]{32}\)
se llama
radical
(o expresión radical).
Conjunto de Muestras B
Encuentra cada raíz.
\(\sqrt{25}\) Para determinar la raíz cuadrada de 25, preguntamos: “¿Qué número entero al cuadrado equivale a 25?” Por nuestra experiencia con la multiplicación, sabemos que este número es 5. Por lo tanto,
Solución
\(\sqrt{25} = 5\)
Comprobar: \(5 \cdot 5 = 5^2 = 25\)
Conjunto de Muestras B
\(\sqrt[5]{32}\) Para determinar la quinta raíz de 32, nos preguntamos: “¿Qué número entero elevado a la quinta potencia equivale a 32?” Este número es 2.
Solución
\(\sqrt[5]{32} = 2\)
Comprobar: \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 = 32\)
Set de práctica B
Encuentra las siguientes raíces utilizando sólo un conocimiento de la multiplicación.
\(\sqrt{64}\)
- Contestar
-
8
Set de práctica B
\(\sqrt{100}\)
- Contestar
-
10
Set de práctica B
\(\sqrt[3]{64}\)
- Contestar
-
4
Set de práctica B
\(\sqrt[6]{64}\)
- Contestar
-
2
Calculadoras
Las calculadoras con las \(1/x\) claves \(\sqrt{x}\) \(y^x\) ,, y se pueden utilizar para encontrar o aproximar raíces.
Conjunto de Muestras C
Usa la calculadora para encontrar \(\sqrt{121}\)
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 121 | 121 |
| Prensa | \(\sqrt{x}\) | 11 |
Conjunto de Muestras C
Encuentra \(\sqrt[7]{2187}\) .
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 2187 | 2187 |
| Prensa | \(y^x\) | 2187 |
| Tipo | 7 | 7 |
| Prensa | \(1/x\) | .14285714 |
| Prensa | = | 3 |
\(\sqrt[3]{2187} = 3\) (lo que significa que \(3^7 = 2187\) )
Set de práctica C
Usa una calculadora para encontrar las siguientes raíces.
\(\sqrt[3]{729}\)
- Contestar
-
9
Set de práctica C
\(\sqrt[4]{8503056}\)
- Contestar
-
54
Set de práctica C
\(\sqrt{53361}\)
- Contestar
-
231
Set de práctica C
\(\sqrt[12]{16777216}\)
- Contestar
-
4
Ejercicios
Para los siguientes problemas, escriba las expresiones usando notación exponencial.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(4 \cdot 4\)
- Contestar
-
\(4^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(12 \cdot 12\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9\)
- Contestar
-
\(9^4\)
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(826 \cdot 826 \cdot 826\)
- Contestar
-
\(826^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(3,021 \cdot 3,021 \cdot 3,021 \cdot 3,021 \cdot 3,021\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\(\begin{matrix} \underbrace{6 \cdot 6 \cdots\cdots 6} \\ {\text{85 factors of 6}} \end{matrix}\)
- Contestar
-
\(6^{85}\)
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(\begin{matrix} \underbrace{2 \cdot 2 \cdots\cdots 2} \\ {\text{112 factors of 2}} \end{matrix}\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
\(\begin{matrix} \underbrace{1 \cdot 1 \cdots\cdots 1} \\ {\text{3,008 factors of 1}} \end{matrix}\)
- Contestar
-
\(1^{3008}\)
Para los siguientes problemas, ampliar los términos. (No encuentre el valor real.)
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
\(5^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(7^4\)
- Contestar
-
\(7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7\)
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(15^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(117^5\)
- Contestar
-
\(117 \cdot 117 \cdot 117 \cdot 117 \cdot 117\)
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(61^6\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(30^2\)
- Contestar
-
\(30 \cdot 30\)
Para los siguientes problemas, determinar el valor de cada una de las potencias. Usa una calculadora para verificar cada resultado.
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(3^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(4^2\)
- Contestar
-
\(4 \cdot 4 = 16\)
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\(1^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\(10^2\)
- Contestar
-
\(10 \cdot 10 = 100\)
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\(11^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(12^2\)
- Contestar
-
\(12 \cdot 12 = 144\)
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(13^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(15^2\)
- Contestar
-
\(15 \cdot 15 = 225\)
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(1^4\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(3^4\)
- Contestar
-
\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\(7^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\(10^3\)
- Contestar
-
\(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\)
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\(100^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\(8^3\)
- Contestar
-
\(8 \cdot 8 \cdot 8 = 512\)
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(5^5\)
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
\(9^3\)
- Contestar
-
\(9 \cdot 9 \cdot 9 = 729\)
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(6^2\)
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
\(7^1\)
- Contestar
-
\(7^1 = 7\)
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
\(1^{28}\)
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
\(2^7\)
- Contestar
-
\(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128\)
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
\(0^5\)
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
\(8^4\)
- Contestar
-
\(8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 4,096\)
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
\(5^8\)
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
\(6^9\)
- Contestar
-
\(6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 10,077,696\)
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
\(25^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
\(42^2\)
- Contestar
-
\(42 \cdot 42 = 1,764\)
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
\(31^3\)
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\(15^5\)
- Contestar
-
\(15 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 15 = 759,375\)
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
\(2^{20}\)
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
\(816^2\)
- Contestar
-
\(816 \cdot 816 = 665,856\)
Para los siguientes problemas, encuentra las raíces (usando tus conocimientos de multiplicación). Usa una calculadora para verificar cada resultado.
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
\(\sqrt{9}\)
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
\(\sqrt{16}\)
- Contestar
-
4
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
\(\sqrt{36}\)
Ejercicio \(\PageIndex{49}\)
\(\sqrt{64}\)
- Contestar
-
8
Ejercicio \(\PageIndex{50}\)
\(\sqrt{121}\)
Ejercicio \(\PageIndex{51}\)
\(\sqrt{144}\)
- Contestar
-
12
Ejercicio \(\PageIndex{52}\)
\(\sqrt{169}\)
Ejercicio \(\PageIndex{53}\)
\(\sqrt{225}\)
- Contestar
-
15
Ejercicio \(\PageIndex{54}\)
\(\sqrt[3]{27}\)
Ejercicio \(\PageIndex{55}\)
\(\sqrt[5]{32}\)
- Contestar
-
2
Ejercicio \(\PageIndex{56}\)
\(\sqrt[7]{1}\)
Ejercicio \(\PageIndex{57}\)
\(\sqrt{400}\)
- Contestar
-
20
Ejercicio \(\PageIndex{58}\)
\(\sqrt{900}\)
Ejercicio \(\PageIndex{59}\)
\(\sqrt{10,000}\)
- Contestar
-
100
Ejercicio \(\PageIndex{60}\)
\(\sqrt{324}\)
Ejercicio \(\PageIndex{61}\)
\(\sqrt{3,600}\)
- Contestar
-
60
Para los siguientes problemas, use una calculadora con las claves \(\sqrt{x}\) , \(y^x\) , y \(1/x\) para encontrar cada uno de los valores.
Ejercicio \(\PageIndex{62}\)
\(\sqrt{676}\)
Ejercicio \(\PageIndex{63}\)
\(\sqrt{1,156}\)
- Contestar
-
34
Ejercicio \(\PageIndex{64}\)
\(\sqrt{46,225}\)
Ejercicio \(\PageIndex{65}\)
\(\sqrt{17,288,964}\)
- Contestar
-
4,158
Ejercicio \(\PageIndex{66}\)
\(\sqrt[3]{3,375}\)
Ejercicio \(\PageIndex{67}\)
\(\sqrt[4]{331,776}\)
- Contestar
-
24
Ejercicio \(\PageIndex{68}\)
\(\sqrt[8]{5,764,801}\)
Ejercicio \(\PageIndex{69}\)
\(\sqrt[12]{16,777,216}\)
- Contestar
-
4
Ejercicio \(\PageIndex{70}\)
\(\sqrt[8]{16,777,216}\)
Ejercicio \(\PageIndex{71}\)
\(\sqrt[10]{9,765,625}\)
- Contestar
-
5
Ejercicio \(\PageIndex{72}\)
\(\sqrt[4]{160,000}\)
Ejercicio \(\PageIndex{73}\)
\(\sqrt[3]{531,441}\)
- Contestar
-
81
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{74}\)
Utilice los números 3, 8 y 9 para ilustrar la propiedad asociativa de la suma.
Ejercicio \(\PageIndex{75}\)
En la multiplicación \(8 \cdot 4 = 32\) , especifique el nombre dado a los números 8 y 4.
- Contestar
-
81
Ejercicio \(\PageIndex{76}\)
¿ \(15 \div 0\) Existe el cociente? Si es así, ¿qué es?
Ejercicio \(\PageIndex{77}\)
¿ \(0 \div 15\) Existe el cociente? Si es así, ¿qué es?
- Contestar
-
Sí; 0
Ejercicio \(\PageIndex{78}\)
Utilice los números 4 y 7 para ilustrar la propiedad conmutativa de la multiplicación.