7.2: Fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos
Objetivos de aprendizaje
- ser capaz de distinguir entre fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos
- poder convertir una fracción impropia en un número mixto
- poder convertir un número mixto en una fracción impropia
Ahora que sabemos qué son las fracciones positivas, consideramos tres tipos de fracciones positivas: fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos.
Fracciones propias positivas
Definición: Fracción apropiada positiva
Las fracciones en las que el número entero en el numerador es estrictamente menor que el número entero en el denominador se denominan fracciones propiamente positivas . En la recta numérica, las fracciones propias se ubican en el intervalo de 0 a 1. Las fracciones positivas propiamente dichas son siempre menores a una.
El círculo cerrado en 0 indica que 0 está incluido, mientras que el círculo abierto en 1 indica que 1 no está incluido.
Algunos ejemplos de fracciones propias positivas son
\(\dfrac{1}{2}\) , \(\dfrac{3}{5}\) , \(\dfrac{20}{27}\) , y \(\dfrac{106}{255}\)
Tenga en cuenta que \(1 < 2\) \(3 < 5\) , \(20 < 27\) ,, y \(106 < 225\) .
Fracciones impropias positivas
Definición: Fracciones impropias positivas
Las fracciones en las que el número entero en el numerador es mayor o igual que el número entero en el denominador se denominan fracciones impropias positivas . En la recta numérica, las fracciones impropias se encuentran a la derecha de (e incluyendo) 1. Las fracciones impropias positivas son siempre mayores o iguales a 1.
Algunos ejemplos de fracciones impropias positivas son
\(\dfrac{3}{2}\) , \(\dfrac{8}{5}\) , \(\dfrac{4}{4}\) , y \(\dfrac{105}{16}\)
Tenga en cuenta que \(3 \ge 2, 8 \ge 5, 4 \ge 4\) , y \(105 \ge 16\) .
Números Mixtos Positivos
Definición: Números Mixtos Positivos
Un número de la forma \(\text{nonzero whole number} + \text{proper fraction}\) se llama un número mixto positivo . Por ejemplo, 2 \(\dfrac{3}{5}\) es un número mixto. En la recta numérica, los números mixtos se ubican en el intervalo a la derecha de (e incluyendo) 1. Los números mixtos son siempre mayores o iguales a 1.
Relacionar fracciones impropias positivas y números mixtos positivos
Dos hechos sugieren una relación entre fracciones impropias y números mixtos. La primera es que las fracciones impropias y los números mixtos se localizan en el mismo intervalo en la recta numérica. El segundo hecho, que los números mixtos son la suma de un número natural y una fracción, se puede apreciar haciendo las siguientes observaciones.
Divide una cantidad entera en 3 partes iguales.
Ahora, considere los siguientes ejemplos observando las respectivas áreas sombreadas.
En la región sombreada, hay 2 un tercio, o \(\dfrac{2}{3}\) .
\(2 (\dfrac{1}{3}) = \dfrac{2}{3}\)
Hay 3 un tercio, o \(\dfrac{3}{3}\) , o 1.
\(3(\dfrac{1}{3}) = \dfrac{3}{3}\) o 1
Por lo tanto,
\(\dfrac{3}{3} = 1\)
Fracción impropia = número entero.
Hay 4 un tercio, o \(\dfrac{4}{3}\) , o 1 y \(\dfrac{1}{3}\) .
\(4(\dfrac{1}{3}) = \dfrac{4}{3}\) o 1 y \(\dfrac{1}{3}\)
Los términos 1 y se \(\dfrac{1}{3}\) pueden representar como \(1 + \dfrac{1}{3}\) \(1 \dfrac{1}{3}\)
Por lo tanto,
\(\dfrac{4}{3} = 1 \dfrac{1}{3}.\)
fracción mpropia= número mixto.
Hay 5 un tercio, o \(\dfrac{5}{3}\) , o 1 y \(\dfrac{2}{3}\) .
\(5(\dfrac{1}{3}) = \dfrac{5}{3}\) o 1 y \(\dfrac{2}{3}\)
Los términos 1 y se \(\dfrac{2}{3}\) pueden representar como \(1 + \dfrac{2}{3}\) o \(1\dfrac{2}{3}\) .
Por lo tanto,
\(\dfrac{5}{3} = 1 \dfrac{2}{3}\) .
Fracción impropia = número mixto.
Hay 6 un tercio, o \(\dfrac{6}{3}\) , o 2.
\(6(\dfrac{1}{3}) = \dfrac{6}{3} = 2\)
Por lo tanto,
\(\dfrac{6}{3} = 2\)
Fracción impropia = número entero.
El siguiente dato importante se ilustra en los ejemplos anteriores.
Número Mixto = Número Natural + Fracción Propia
Los
números
mixtos
son la
suma
de un número natural y una fracción propia. Número mixto = (número natural) + (fracción propia)
Por ejemplo se \(1 \dfrac{1}{3}\) puede expresar como \(1 + \dfrac{1}{3}\) La fracción se \(5 \dfrac{7}{8}\) puede expresar como \(5 + \dfrac{7}{8}\) .
Es importante señalar que un número como \(5 + \dfrac{7}{8}\) no indica multiplicación. Para indicar multiplicación, necesitaríamos usar un símbolo de multiplicación (como \(\cdot\) )
Ejemplo \(\PageIndex{1}\)
\(5 \dfrac{7}{8}\) significa \(5 + \dfrac{7}{8}\) y no \(5 \cdot \dfrac{7}{8}\) , lo que significa 5 veces \(\dfrac{7}{8}\) o 5 multiplicado por \(\dfrac{7}{8}\) .
Así, los números mixtos pueden ser representados por fracciones impropias, y las fracciones impropias pueden ser representadas por números mixtos.
Conversión de fracciones impropias a números mixtos
Para entender cómo podríamos convertir una fracción impropia a un número mixto, consideremos la fracción, \(\dfrac{4}{3}\) .
\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{4}{3}} & = & {\underbrace{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}}_{1} + \dfrac{1}{3}} \\ {} & = & {1 + \dfrac{1}{3}} \\ {} & = & {1\dfrac{1}{3}} \end{array}\)
Podemos ilustrar un procedimiento para convertir una fracción impropia a un número mixto usando este ejemplo. Sin embargo, la conversión se logra más fácilmente dividiendo el numerador por el denominador y usando el resultado para escribir el número mixto.
Convertir una fracción impropia en un número mixto
Para convertir una fracción impropia en un número mixto, divida el numerador por el denominador.
La parte del número entero del número mixto es el cociente.
La parte fraccionaria del número mixto es el resto escrito sobre el divisor (el denominador de la fracción impropia).
Conjunto de Muestras A
Convertir cada fracción impropia a su número mixto correspondiente.
\(\dfrac{5}{3}\) Divide 5 por 3.
Solución
La fracción impropia \(\dfrac{5}{3} = 1 \dfrac{2}{3}\) .
Conjunto de Muestras A
\(\dfrac{46}{9}\) Divide 46 por 9.
Solución
La fracción impropia \(\dfrac{46}{9} = 5 \dfrac{1}{9}\) .
Conjunto de Muestras A
\(\dfrac{83}{11}\) Divide 83 por 11.
Solución
La fracción impropia \(\dfrac{83}{11} = 7 \dfrac{6}{11}\) .
Conjunto de Muestras A
\(\dfrac{104}{4}\) Divide 104 por 4.
Solución
\ (\ dfrac {104} {4} = 26\ dfrac {0} {4} = 26
La fracción impropia \(\dfrac{104}{4} = 26\) .
Conjunto de práctica A
Convertir cada fracción impropia a su número mixto correspondiente.
\(\dfrac{9}{2}\)
- Responder
-
\(4\dfrac{1}{2}\)
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{11}{3}\)
- Responder
-
\(3\dfrac{2}{3}\)
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{14}{11}\)
- Responder
-
\(1\dfrac{3}{11}\)
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{31}{13}\)
- Responder
-
\(2\dfrac{5}{13}\)
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{79}{4}\)
- Responder
-
\(19\dfrac{3}{4}\)
Conjunto de práctica A
\(\dfrac{496}{8}\)
- Responder
-
62
Conversión de números mixtos a fracciones impropias
Para entender cómo convertir un número mixto en una fracción impropia, recordaremos
número mixto = (número natural) + (fracción propia)
y considere el siguiente diagrama.
Recordemos que la multiplicación describe la adición repetida.
Observe que se \(\dfrac{5}{3}\) puede obtener \(1 \dfrac{2}{3}\) mediante el uso de la multiplicación de la siguiente manera.
Multiplicar: \(3 \cdot 1 = 3\)
Agregar: \(3 + 2 = 5\) . Coloca el 5 sobre el 3: \(\dfrac{5}{3}\)
En este ejemplo se ilustra el procedimiento para convertir un número mixto en una fracción impropia.
Convertir un número mixto en una fracción impropia
Para convertir un número mixto en una fracción impropia,
Multiplique el denominador de la parte fraccionaria del número mixto por la parte de número entero.
A este producto, agregue el numerador de la parte fraccionaria.
Coloca este resultado sobre el denominador de la parte fraccionaria.
Conjunto de Muestras B
Convierte cada número mixto en una fracción impropia.
\(5 \dfrac{7}{8}\)
Solución
- Multiplicar: \(8 \cdot 5 = 40\)
- Agregar: \(40 + 7 = 47\)
- Lugar 47 sobre 8: \(\dfrac{47}{8}\)
Así, \(5 \dfrac{7}{8} = \dfrac{47}{8}\) .
Conjunto de Muestras B
\(16 \dfrac{2}{3}\)
Solución
- Multiplicar: \(3 \cdot 16 = 48\) .
- Agregar: \(48 + 2 = 50\)
- Lugar 50 sobre 3: \(\dfrac{50}{3}\)
Por lo tanto, \(16 \dfrac{2}{3} = \dfrac{50}{3}\)
Conjunto de práctica A
Convertir cada número mixto a su fracción impropia correspondiente.
\(8 \dfrac{1}{4}\)
- Responder
-
\(\dfrac{33}{4}\)
Conjunto de práctica A
\(5 \dfrac{3}{5}\)
- Responder
-
\(\dfrac{28}{5}\)
Conjunto de práctica A
\(1 \dfrac{4}{15}\)
- Responder
-
\(\dfrac{19}{15}\)
Conjunto de práctica A
\(12 \dfrac{2}{7}\)
- Responder
-
\(\dfrac{86}{7}\)
Ejercicios
Para los siguientes 15 problemas, identifique cada expresión como una fracción propia, una fracción impropia o un número mixto.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(\dfrac{3}{2}\)
- Responder
-
fracción impropia
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(\dfrac{4}{9}\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(\dfrac{5}{7}\)
- Responder
-
fracción adecuada
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(\dfrac{1}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(6 \dfrac{1}{4}\)
- Responder
-
número mixto
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(\dfrac{11}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\(\dfrac{1,001}{12}\)
- Responder
-
fracción impropia
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(191 \dfrac{4}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
\(1 \dfrac{9}{13}\)
- Responder
-
número mixto
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
\(31 \dfrac{6}{7}\)
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(3 \dfrac{1}{40}\)
- Responder
-
número mixto
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(\dfrac{55}{12}\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(\dfrac{0}{9}\)
- Responder
-
fracción adecuada
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(\dfrac{8}{9}\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(101 \dfrac{1}{11}\)
- Responder
-
número mixto
Para los siguientes 15 problemas, convierta cada una de las fracciones impropias a su número mixto correspondiente.
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(\dfrac{11}{6}\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(\dfrac{14}{3}\)
- Responder
-
\(4 \dfrac{2}{3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\(\dfrac{25}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\(\dfrac{35}{4}\)
- Responder
-
\(8 \dfrac{3}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\(\dfrac{71}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(\dfrac{63}{7}\)
- Responder
-
9
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(\dfrac{121}{11}\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(\dfrac{165}{12}\)
- Responder
-
\(13 \dfrac{9}{12}\) o \(13 \dfrac{3}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(\dfrac{346}{15}\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(\dfrac{5,000}{9}\)
- Responder
-
\(555 \dfrac{5}{9}\)
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\(\dfrac{23}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\(\dfrac{73}{2}\)
- Responder
-
\(36 \dfrac{1}{2}\)
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\(\dfrac{19}{2}\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\(\dfrac{316}{41}\)
- Responder
-
\(7 \dfrac{29}{41}\)
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(\dfrac{800}{3}\)
Para los siguientes 15 problemas, convierta cada uno de los números mixtos a su fracción impropia correspondiente.
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
\(4 \dfrac{1}{8}\)
- Responder
-
\(\dfrac{33}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(1 \dfrac{5}{12}\)
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
\(6 \dfrac{7}{9}\)
- Responder
-
\(\dfrac{61}{9}\)
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
\(15 \dfrac{1}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
\(10 \dfrac{5}{11}\)
- Responder
-
\(\dfrac{115}{11}\)
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
\(15 \dfrac{3}{10}\)
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
\(8 \dfrac{2}{3}\)
- Responder
-
\(\dfrac{26}{3}\)
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
\(4 \dfrac{3}{4}\)
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
\(21 \dfrac{2}{5}\)
- Responder
-
\(\dfrac{107}{5}\)
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
\(17 \dfrac{9}{10}\)
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
\(9 \dfrac{20}{21}\)
- Responder
-
\(\dfrac{209}{21}\)
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
\(5 \dfrac{1}{16}\)
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\(90 \dfrac{1}{100}\)
- Responder
-
\(\dfrac{9001}{100}\)
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
\(300 \dfrac{43}{1,000}\)
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
\(19 \dfrac{7}{8}\)
- Responder
-
\(\dfrac{159}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
¿Por qué \(0 \dfrac{4}{7}\) no califica como número mixto?
Pista:
Consulte la definición de un número mixto.
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
¿Por qué 5 califica como número mixto?
Pista:
Consulte la definición de un número mixto.
- Responder
-
... porque puede ser wirtten como \(5 \dfrac{0}{n}\) , donde \(n\) está cualquier número entero positivo.
Problemas de la calculadora
Para los siguientes 8 problemas, utilice una calculadora para convertir cada número mixto a su fracción impropia correspondiente.
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
\(35 \dfrac{11}{12}\)
Ejercicio \(\PageIndex{49}\)
\(27 \dfrac{5}{61}\)
- Responder
-
\(\dfrac{1,652}{61}\)
Ejercicio \(\PageIndex{50}\)
\(83 \dfrac{40}{41}\)
Ejercicio \(\PageIndex{51}\)
\(105 \dfrac{21}{23}\)
- Responder
-
\(\dfrac{2,436}{23}\)
Ejercicio \(\PageIndex{52}\)
\(72 \dfrac{605}{606}\)
Ejercicio \(\PageIndex{53}\)
\(816 \dfrac{19}{25}\)
- Responder
-
\(\dfrac{20,419}{25}\)
Ejercicio \(\PageIndex{54}\)
\(708 \dfrac{42}{51}\)
Ejercicio \(\PageIndex{55}\)
\(6,012 \dfrac{4,216}{8,117}\)
- Responder
-
\(\dfrac{48,803,620}{8,117}\)
Ejercicios para revisión
Ejercicio \(\PageIndex{56}\)
Redondear 2,614,000 al mil más cercano.
Ejercicio \(\PageIndex{57}\)
Encuentra el producto. \(1,004 \cdot 1,005\)
- Responder
-
1,009,020
Ejercicio \(\PageIndex{58}\)
Determina si 41,826 es divisible por 2 y 3.
Ejercicio \(\PageIndex{59}\)
Encuentra el mínimo común múltiplo de 28 y 36.
- Responder
-
252
Ejercicio \(\PageIndex{60}\)
Especificar el numerador y denominador de la fracción \(\dfrac{12}{19}\) .