17.3: Valor Absoluto
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Descripción general
- Definición geométrica del valor absoluto
- Definición algebraica del valor absoluto
Definición geométrica del valor absoluto
El valor absoluto de un número\(a\), denotado\(|a|\), es la distancia desde\(a\) hasta\(0\) en la recta numérica.-
El valor absoluto habla de la cuestión de “hasta dónde”, y no “de qué manera”. La frase qué tan lejos implica longitud, y la longitud es siempre una cantidad no negativa (cero o positiva). Así, el valor absoluto de un número es un número no negativo. Esto se muestra en los siguientes ejemplos:
\(|4| = 4\)
\(|-4| = 4\)
\(|0| = 0\)
\(-|5| = -5\)
La cantidad en el lado izquierdo del signo igual se lee como “negativo el valor absoluto de”\(5\). El valor absoluto de\(5\) es\(5\). De ahí que negativo el valor absoluto de\(5\) es\(−5\).
\(-|-3| = -3\)
La cantidad en el lado izquierdo del signo igual se lee como “negativo el valor absoluto de”\(−3\). El valor absoluto de\(−3\) es\(3\). De ahí que negativo el valor absoluto de\(−3\) es\(−(3)=−3\).
Definición algebraica del valor absoluto
Los problemas del primer ejemplo pueden ayudar a sugerir la siguiente definición algebraica de valor absoluto. La definición se interpreta a continuación. Los ejemplos siguen la interpretación.
El valor absoluto de un número\(a\) es
\(|a|=\left\{\begin{aligned} a & \text { if } a \geq 0 \\-a & \text { if } a<0 \end{aligned}\right.\)
La definición algebraica toma en cuenta el hecho de que el número\(a\) podría ser positivo o cero (\(\ge 0)\)o negativo (\(<0\)).
- Si el número a es positivo o cero (\(\ge 0\)), se aplica la primera parte de la definición. La primera parte de la definición nos dice que si el número encerrado en las barras absolutas es un número no negativo, el valor absoluto del número es el número mismo.
- Si el número a es negativo (\(<0\)), se aplica la segunda parte de la definición. La segunda parte de la definición nos dice que si el número encerrado dentro de las barras de valor absoluto es un número negativo, el valor absoluto del número es el opuesto del número. Lo contrario de un número negativo es un número positivo.
Conjunto de Muestras A
Utilice la definición algebraica de valor absoluto para encontrar los siguientes valores.
\(|8|\)
El número encerrado dentro de las barras de valor absoluto es un número no negativo, por lo que se aplica la primera parte de la definición. Esta parte dice que el valor absoluto de\(8\) es\(8\) en sí mismo.
\(|-3|\)
El número encerrado dentro de las barras de valor absoluto es un número negativo, por lo que se aplica la segunda parte de la definición. Esta parte dice que el valor absoluto de\(−3\) es lo contrario de\(−3\), que es\(−(−3)\). Por la propiedad doble negativa,\(−(−3)=3\).
Conjunto de práctica A
Utilice la definición algebraica de valor absoluto para encontrar los siguientes valores.
\(|7|\)
- Contestar
-
\(7\)
\(|9|\)
- Contestar
-
\(9\)
\(|-12|\)
- Contestar
-
\(12\)
\(|-5|\)
- Contestar
-
\(5\)
\(-|8|\)
- Contestar
-
\(-8\)
\(-|1|\)
- Contestar
-
\(-1\)
\(-|-52|\)
- Contestar
-
\(-52\)
\(-|-31|\)
- Contestar
-
\(-31\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, determine cada uno de los valores.
\(|5|\)
- Contestar
-
\(5\)
\(|3|\)
\(|6|\)
- Contestar
-
\(6\)
\(|14|\)
\(|-8|\)
- Contestar
-
\(8\)
\(|-10|\)
\(|-16|\)
- Contestar
-
\(16\)
\(-|8|\)
\(-|12|\)
- Contestar
-
\(-12\)
\(-|47|\)
\(-|9|\)
- Contestar
-
\(-9\)
\(|-9|\)
\(|-1|\)
- Contestar
-
\(1\)
\(|-4|\)
\(-|3|\)
- Contestar
-
\(-3\)
\(-|7|\)
\(-|-14|\)
- Contestar
-
\(-14\)
\(-|-19|\)
\(-|-28|\)
- Responder
-
\(-28\)
\(-|-31|\)
\(-|-68|\)
- Responder
-
\(-68\)
\(|0|\)
\(|-26|\)
- Responder
-
\(26\)
\(-|-26|\)
\(-|-(-8)|\)
- Responder
-
\(-8\)
\(-|-(-4)|\)
\(-|-(-1)|\)
- Responder
-
\(-1\)
\(-|-(-7)|\)
\(-(-|4|)\)
- Responder
-
\(4\)
\(-(-|2|)\)
\(-(-|-6|)\)
- Responder
-
\(6\)
\(-(-|-42|)\)
\(|-|-3||\)
- Responder
-
\(3\)
\(|-|-15||\)
\(|-|-12||\)
- Responder
-
\(12\)
\(|-|-29||\)
\(6 - |-2||\)
- Responder
-
\(4\)
\(|18 - |-11||\)
\(|5 - |-1||\)
- Responder
-
\(4\)
\(|10 - |-3||\)
\(|-(17 - |-12|)|\)
- Responder
-
\(5\)
\(|-(46 - |-24|)|\)
\(|5| - |-2|\)
- Responder
-
\(3\)
\(|-2|^3\)
\(|-(2 \cdot 3)|\)
- Responder
-
\(6\)
\(|-2| + |-9|\)
\(|-6| + |4|)^2\)
- Responder
-
\(100\)
\(|-1| - |1|)^3\)
\((|4| + |-6|)^2) - (|-2|)^3\)
- Responder
-
\(92\)
\(-[|-10| -6]^2\)
\(-[-(-|-4|+|-3|)^3]^2\)
- Responder
-
\(-1\)
Un Oficial de Control de Misión en Cabo Cañaveral hace la declaración “despegue,\(T\) menos\(50\) segundos”. ¿Cuánto tiempo antes de despegar?
Debido a una desaceleración en la industria, una compañía informática de Silicon Valley se encuentra en deuda de 2.400,000 dólares. Utilice la notación de valor absoluto para describir la deuda de esta compañía.
- Responder
-
\(|$ -2,400,600|\)
Una máquina en particular se ajusta correctamente si al actuar su medidor lee\(0\) unidades. Una máquina en particular tiene una lectura de medidor de\(−1.6\) al actuar. ¿A qué distancia está esta máquina de su ajuste correcto?
Ejercicios para revisión
Escribe la siguiente frase usando notación algebraica: “cuatro veces”\((a+b)\).
- Responder
-
\(4(a + b)\)
¿Hay un número natural más pequeño? Si es así, ¿qué es?
Nombra la propiedad de números reales que haga\(5+a=a+5\) una declaración verdadera.
- Responder
-
propiedad conmutativa de adición
Encuentra el cociente de\(\dfrac{x^6y^8}{x^4y^3}\)
Simplificar\(-(-4)\)
- Responder
-
\(4\)