22.9: Expresiones racionales Complejas
Fracciones simples y complejas
Fracción Simple
En la sección 8.2 vimos que una fracción simple era una fracción de la forma \(\dfrac{P}{Q}\) , donde \(P\) y \(Q\) son polinomios y \(Q \not = 0\) .
Fracción Compleja
Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o denominador, o ambos, es una fracción. Las fracciones
\(\dfrac{\frac{8}{15}}{\frac{2}{3}}\) y \(\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}\)
son ejemplos de fracciones complejas, o más generalmente, expresiones racionales complejas.
Existen dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas: el método combine-divide y el método LCD-Multiply-Divide.
El método Combine-Divide
- Si es necesario, combine los términos del numerador juntos.
- Si es necesario, combine los términos del denominador juntos.
- Divide el numerador por el denominador.
Conjunto de Muestras A
Simplifica cada expresión racional compleja.
\(\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}}\)
Los pasos 1 y 2 no son necesarios por lo que procedemos con el paso 3:
\(\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}} = \dfrac{x^3}{8} \cdot \dfrac{12}{x^5} = \dfrac{\cancel{x^3}}{^\cancel{8}_2} \cdot \dfrac{_\cancel{12}^3}{x^{\cancel{5}2}} = \dfrac{3}{2x^2}\)
\(\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}\)
Paso 1: Combina los términos del numerador: LCD = \(x\) .
\(1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\)
Paso 2: Combina los términos del denominador: LCD = \(x^2\) .
\(1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}\)
Paso 3: Divide el numerador por el denominador.
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {\ frac {x-1} {x}} {\ frac {x^2-1} {x^2}} &=\ dfrac {x-1} {x}\ cdot\ dfrac {x^2} {x^2-1}\\
&=\ dfrac {\ cancel {x-1}} {\ cancel {x}}\ dfrac {x^ {\ cancel {2}}} {(x+1)\ cancel {(x+1)}}\\
&=\ dfrac {x} {x+1}
\ end {array}\)
Por lo tanto,
\(\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \dfrac{x}{x+1}\)
\(\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}}\)
Paso 1: Combina los términos del numerador: LCD = \(m^2\) .
\(2-\dfrac{13}{m}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}-\dfrac{13 m}{m^{2}}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}-13 m-7}{m^{2}}\)
Paso 2: Combina los términos del denominador: LCD = \(m^2\)
\(2+\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}+\dfrac{3 m}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}+3 m+1}{m^{2}}\)
Paso 3: Divide el numerador por el denominador:
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {\ frac {2 m^ {2} -13 m-7} {m^ {2}} {\ frac {2 m^ {2} +3 m-1} {m^ {2}} &=\ dfrac {2 m^ {2} -13 m-7} {m^ {2}}\ cdot\ frac m^ {2}} {2 m^ {2} +3 m+1}\\
&=\ dfrac {\ cancel {(2 m+1)} (m-7)} {\ cancel {m^2}}\ cdot\ dfrac {\ cancel {m^2}} {\ cancel {(2 m+1)} (m+1)}\\
&=\ dfrac {m-7} {m+1}
\ end {array}\)
Por lo tanto,
\(\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}} = \dfrac{m - 7}{m + 1}\)
Conjunto de práctica A
Utilice el método combine-divide para simplificar cada expresión.
\(\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{12}{5x}\)
\(\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\)
\(\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{x}{y(x-y)}\)
\(\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{m-2}{m-3}\)
\(\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{x}{x-2}\)
El método LCD-Multiply-Divide
- Encuentra la pantalla LCD de todos los términos.
- Multiplique el numerador y el denominador por el LCD.
- Reducir si es necesario.
Conjunto de Muestras B
Simplifique cada fracción compleja.
\(\dfrac{1 - \frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}}\)
Paso 1: El LCD \(=a^2\) .
Paso 2: Multiplica tanto el numerador como el denominador por \(a^2\) .
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {a^2 (1 -\ frac {4} {a^2})} {a^2 (1 +\ frac {2} {a})} &=\ dfrac {a^2\ cdot 1-a^2\ cdot\ cdot\ frac {4} {a^2}} {a^2\ cdot 1+adot ^2\ cdot\ frac {2} {a}}\\
&=\ dfrac {a^2-4} {a^2 + 2a}
\ end {array}\).
Paso 3: Reducir:
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ frac {a^ {2} -4} {a^ {2} +2 a} &=\ frac {\ cancel {(a+2)} (a-2)} {a\ cancel {(a+2)}}\\
&=\ frac {a-2} {a}
\ end {array}\)
Por lo tanto,
\(\dfrac{1-\frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}} = \dfrac{a-2}{a}\)
\(\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}}\)
Paso 1: El LCD es \(x^2\) .
Paso 2: Multiplica el numerador y el denominador por \(x^2\) .
\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {x^ {2} (1-\ frac {5} {x} -\ frac {6} {x^ {2}})} {x^ {2} (1+\ frac {6} {x} +\ frac {5} {x^ {2})} &=\ dfrac {x^ {2}\ cdot 1-x^ {\ cancel {2}}\ cdot\ frac {5} {\ cancel {x}} -\ cancel {x^ {2}}\ cdot\ frac {6} {\ cancel {x^ {2}}} {x^ {2}\ cdot 1+x^ {\ cancel {2}}\ cdot\ frac {6} {\ cancel {x}} +\ cancelar {x^2}\ cdot\ frac {5} {\ cancel {x^2}}}\\
&=\ dfrac {x^ {2} -5 x-6} {x^ {2} +6 x+5}
\ end {array}\)
Paso 3: Reducir:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {x^ {2} -5 x-6} {x^ {2} +6 x+5} &=\ dfrac {(x-6) (x+1)} {(x+5) (x+1)}\\
&=\ dfrac {x-6} {x+5}
\ end {array}\)
Por lo tanto,
\(\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}} = \dfrac{x-6}{x+5}\)
Set de práctica B
Los siguientes problemas son los mismos problemas que los problemas del Conjunto de práctica A. Simplifique estas expresiones utilizando el método LCD-Multiply-Divide. Compara las respuestas con las respuestas producidas en el Conjunto de Práctica A.
\(\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{12}{5x}\)
\(\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{3x - 1}{3x + 1}\)
\(\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{x}{y(x-y)}\)
\(\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{m-2}{m-3}\)
\(\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{x}{x-2}\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, simplifique cada expresión racional compleja.
\(\dfrac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{5}{3}\)
\(\dfrac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}\)
\(\dfrac{1-\frac{1}{y}}{1+\frac{1}{y}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{y-1}{y+1}\)
\(\dfrac{a+\frac{1}{x}}{a-\frac{1}{x}}\)
\(\dfrac{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}{\frac{a}{b}-\frac{c}{b}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{a+c}{a-c}\)
\(\dfrac{\frac{5}{m}+\frac{4}{m}}{\frac{5}{m}-\frac{4}{m}}\)
\(\dfrac{3+\frac{1}{x}}{\frac{3 x+1}{x^{2}}}\)
- Responder
-
\(x\)
\(\dfrac{1+\frac{x}{x+y}}{1-\frac{x}{x+y}}\)
\(\dfrac{2+\frac{5}{a+1}}{2-\frac{5}{a+1}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{2a + 7}{2a - 3}\)
\(\dfrac{1-\frac{1}{a-1}}{1+\frac{1}{a-1}}\)
\(\dfrac{4-\frac{1}{m^{2}}}{2+\frac{1}{m}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{2m - 1}{m}\)
\(\dfrac{9-\frac{1}{x^{2}}}{3-\frac{1}{x}}\)
\(\dfrac{k-\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}\)
- Responder
-
\(k-1\)
\(\dfrac{\frac{m}{m+1}-1}{\frac{m+1}{2}}\)
\(\dfrac{\frac{2 x y}{2 x-y}-y}{\frac{2 x-y}{3}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{3y^2}{(2x - y)^2}\)
\(\dfrac{\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}}\)
\(\dfrac{\frac{5}{x+3}-\frac{5}{x-3}}{\frac{5}{x+3}+\frac{5}{x-3}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{-3}{x}\)
\(\dfrac{2+\frac{1}{y+1}}{\frac{1}{y}+\frac{2}{3}}\)
\(\dfrac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{y-x}{xy}\)
\(\dfrac{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}\)
\(\dfrac{1+\frac{1}{y}-\frac{2}{y^{2}}}{1+\frac{7}{y}+\frac{10}{y^{2}}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{y-1}{y+5}\)
\(\dfrac{\frac{3 n}{m}-2-\frac{m}{n}}{\frac{3 n}{m}+4+\frac{m}{n}}\)
- Responder
-
\(3x−4\)
\(\dfrac{\frac{y}{x+y}-\frac{x}{x-y}}{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}}\)
\(\dfrac{\frac{a}{a-2}-\frac{a}{a+2}}{\frac{2 a}{a-2}+\frac{a^{2}}{a+2}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{4}{a^2 + 4}\)
\(3 - \dfrac{2}{1 - \frac{1}{m+1}}\)
\(\dfrac{x-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}{x+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\)
- Responder
-
\(\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}\)
En la teoría de la electricidad, cuando dos resistencias de resistencia \(R_1\) y \(R_2\) ohmios están conectadas en paralelo, la resistencia total \(R\) es:
\(R = \dfrac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}\)
Escribe esta fracción compleja como una fracción simple.
Según la teoría de la relatividad de Einstein, dos velocidades \(v_1\) y \(v_2\) no se agregan según \(v = v_1 + v_2\) , sino por
\(v = \dfrac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}\)
Escribe esta fracción compleja como una fracción simple.
La fórmula de Einstein en realidad solo es aplicable para velocidades cercanas a la velocidad de la luz ( \(c=186,000\) millas por segundo). A velocidades mucho más bajas, como 500 millas por hora, la fórmula \(v=v_1+v_2\) proporciona una aproximación extremadamente buena.
- Responder
-
\(\dfrac{c^2(V_1 + V_2)}{c^2 + V_1V_2}\)
Ejercicios para revisión
Suministrar la palabra faltante. El valor absoluto habla de la cuestión de cómo ____ y no “de qué manera”.
Encuentra el producto. \((3x + 4)^2\)
- Responder
-
\(9x^2 + 24x + 16\)
Factor \(x^4 - y^4\)
Resuelve la ecuación \(\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{5}{x+3} = 0\) .
- Responder
-
\(x=7\)
Una tubería de entrada puede llenar un tanque en 10 minutos. Otra tubería de entrada puede llenar el mismo tanque en 4 minutos. ¿Cuánto tiempo tardan ambas tuberías trabajando juntas para llenar el tanque?