22.9: Expresiones racionales Complejas

Fracciones simples y complejas

Fracción Simple

En la sección 8.2 vimos que una fracción simple era una fracción de la forma$\dfrac{P}{Q}$, donde$P$ y$Q$ son polinomios y$Q \not = 0$.

Fracción Compleja

Una fracción compleja es una fracción en la que el numerador o denominador, o ambos, es una fracción. Las fracciones

$\dfrac{\frac{8}{15}}{\frac{2}{3}}$y$\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}$

son ejemplos de fracciones complejas, o más generalmente, expresiones racionales complejas.

Existen dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas: el método combine-divide y el método LCD-Multiply-Divide.

El método Combine-Divide

Método Combine-Divide

1. Si es necesario, combine los términos del numerador juntos.
2. Si es necesario, combine los términos del denominador juntos.
3. Divide el numerador por el denominador.

Conjunto de Muestras A

Simplifica cada expresión racional compleja.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}}$

Los pasos 1 y 2 no son necesarios por lo que procedemos con el paso 3:

$\dfrac{\frac{x^3}{8}}{\frac{x^5}{12}} = \dfrac{x^3}{8} \cdot \dfrac{12}{x^5} = \dfrac{\cancel{x^3}}{^\cancel{8}_2} \cdot \dfrac{_\cancel{12}^3}{x^{\cancel{5}2}} = \dfrac{3}{2x^2}$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

$\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}$

Paso 1: Combina los términos del numerador: LCD =$x$.

$1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x}{x} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$

Paso 2: Combina los términos del denominador: LCD =$x^2$.

$1 - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2}{x^2} - \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$

Paso 3: Divide el numerador por el denominador.

\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {\ frac {x-1} {x}} {\ frac {x^2-1} {x^2}} &=\ dfrac {x-1} {x}\ cdot\ dfrac {x^2} {x^2-1}\\
&=\ dfrac {\ cancel {x-1}} {\ cancel {x}}\ dfrac {x^ {\ cancel {2}}} {(x+1)\ cancel {(x+1)}}\\
&=\ dfrac {x} {x+1}
\ end {array}\)

Por lo tanto,

$\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = \dfrac{x}{x+1}$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

$\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}}$

Paso 1: Combina los términos del numerador: LCD =$m^2$.

$2-\dfrac{13}{m}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}-\dfrac{13 m}{m^{2}}-\dfrac{7}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}-13 m-7}{m^{2}}$

Paso 2: Combina los términos del denominador: LCD =$m^2$

$2+\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}}{m^{2}}+\dfrac{3 m}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{2}}=\dfrac{2 m^{2}+3 m+1}{m^{2}}$

Paso 3: Divide el numerador por el denominador:

\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {\ frac {2 m^ {2} -13 m-7} {m^ {2}} {\ frac {2 m^ {2} +3 m-1} {m^ {2}} &=\ dfrac {2 m^ {2} -13 m-7} {m^ {2}}\ cdot\ frac m^ {2}} {2 m^ {2} +3 m+1}\\
&=\ dfrac {\ cancel {(2 m+1)} (m-7)} {\ cancel {m^2}}\ cdot\ dfrac {\ cancel {m^2}} {\ cancel {(2 m+1)} (m+1)}\\
&=\ dfrac {m-7} {m+1}
\ end {array}\)

Por lo tanto,

$\dfrac{2 - \frac{13}{m} - \frac{7}{m^2}}{2 + \frac{3}{m} + \frac{1}{m^2}} = \dfrac{m - 7}{m + 1}$

Conjunto de práctica A

Utilice el método combine-divide para simplificar cada expresión.

Problema de práctica$\PageIndex{1}$

$\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}$

Responder

$\dfrac{12}{5x}$

Problema de práctica$\PageIndex{2}$

$\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}$

Responder

$\dfrac{3x - 1}{3x + 1}$

Problema de práctica$\PageIndex{3}$

$\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}$

Responder

$\dfrac{x}{y(x-y)}$

Problema de práctica$\PageIndex{4}$

$\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}$

Responder

$\dfrac{m-2}{m-3}$

Problema de práctica$\PageIndex{5}$

$\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}$

Responder

$\dfrac{x}{x-2}$

El método LCD-Multiply-Divide

Método LCD-Multiply-Dividir

1. Encuentra la pantalla LCD de todos los términos.
2. Multiplique el numerador y el denominador por el LCD.
3. Reducir si es necesario.

Conjunto de Muestras B

Simplifique cada fracción compleja.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

$\dfrac{1 - \frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}}$

Paso 1: El LCD$=a^2$.

Paso 2: Multiplica tanto el numerador como el denominador por$a^2$.

\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {a^2 (1 -\ frac {4} {a^2})} {a^2 (1 +\ frac {2} {a})} &=\ dfrac {a^2\ cdot 1-a^2\ cdot\ cdot\ frac {4} {a^2}} {a^2\ cdot 1+adot ^2\ cdot\ frac {2} {a}}\\
&=\ dfrac {a^2-4} {a^2 + 2a}
\ end {array}\).

Paso 3: Reducir:

\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ frac {a^ {2} -4} {a^ {2} +2 a} &=\ frac {\ cancel {(a+2)} (a-2)} {a\ cancel {(a+2)}}\\
&=\ frac {a-2} {a}
\ end {array}\)

Por lo tanto,

$\dfrac{1-\frac{4}{a^2}}{1 + \frac{2}{a}} = \dfrac{a-2}{a}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

$\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}}$

Paso 1: El LCD es$x^2$.

Paso 2: Multiplica el numerador y el denominador por$x^2$.

\ (\ begin {array} {Flushleft}
\ dfrac {x^ {2} (1-\ frac {5} {x} -\ frac {6} {x^ {2}})} {x^ {2} (1+\ frac {6} {x} +\ frac {5} {x^ {2})} &=\ dfrac {x^ {2}\ cdot 1-x^ {\ cancel {2}}\ cdot\ frac {5} {\ cancel {x}} -\ cancel {x^ {2}}\ cdot\ frac {6} {\ cancel {x^ {2}}} {x^ {2}\ cdot 1+x^ {\ cancel {2}}\ cdot\ frac {6} {\ cancel {x}} +\ cancelar {x^2}\ cdot\ frac {5} {\ cancel {x^2}}}\\
&=\ dfrac {x^ {2} -5 x-6} {x^ {2} +6 x+5}
\ end {array}\)

Paso 3: Reducir:

\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {x^ {2} -5 x-6} {x^ {2} +6 x+5} &=\ dfrac {(x-6) (x+1)} {(x+5) (x+1)}\\
&=\ dfrac {x-6} {x+5}
\ end {array}\)

Por lo tanto,

$\dfrac{1 - \frac{5}{x} - \frac{6}{x^2}}{1 + \frac{6}{x} + \frac{5}{x^2}} = \dfrac{x-6}{x+5}$

Set de práctica B

Los siguientes problemas son los mismos problemas que los problemas del Conjunto de práctica A. Simplifique estas expresiones utilizando el método LCD-Multiply-Divide. Compara las respuestas con las respuestas producidas en el Conjunto de Práctica A.

Problema de práctica$\PageIndex{6}$

$\dfrac{\frac{27x^2}{6}}{\frac{15x^3}{8}}$

Responder

$\dfrac{12}{5x}$

Problema de práctica$\PageIndex{7}$

$\dfrac{3 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x}}$

Responder

$\dfrac{3x - 1}{3x + 1}$

Problema de práctica$\PageIndex{8}$

$\dfrac{1 + \frac{x}{y}}{x - \frac{y^2}{x}}$

Responder

$\dfrac{x}{y(x-y)}$

Problema de práctica$\PageIndex{9}$

$\dfrac{m - 3 + \frac{2}{m}}{m - 4 + \frac{3}{m}}$

Responder

$\dfrac{m-2}{m-3}$

Problema de práctica$\PageIndex{10}$

$\dfrac{1 + \frac{1}{x-1}}{1 - \frac{1}{x-1}}$

Responder

$\dfrac{x}{x-2}$

Ejercicios

Para los siguientes problemas, simplifique cada expresión racional compleja.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$\dfrac{1+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}$

Responder

$\dfrac{5}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$\dfrac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$\dfrac{1-\frac{1}{y}}{1+\frac{1}{y}}$

Responder

$\dfrac{y-1}{y+1}$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$\dfrac{a+\frac{1}{x}}{a-\frac{1}{x}}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$\dfrac{\frac{a}{b}+\frac{c}{b}}{\frac{a}{b}-\frac{c}{b}}$

Responder

$\dfrac{a+c}{a-c}$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$\dfrac{\frac{5}{m}+\frac{4}{m}}{\frac{5}{m}-\frac{4}{m}}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$\dfrac{3+\frac{1}{x}}{\frac{3 x+1}{x^{2}}}$

Responder

$x$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$\dfrac{1+\frac{x}{x+y}}{1-\frac{x}{x+y}}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$\dfrac{2+\frac{5}{a+1}}{2-\frac{5}{a+1}}$

Responder

$\dfrac{2a + 7}{2a - 3}$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$\dfrac{1-\frac{1}{a-1}}{1+\frac{1}{a-1}}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$\dfrac{4-\frac{1}{m^{2}}}{2+\frac{1}{m}}$

Responder

$\dfrac{2m - 1}{m}$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$\dfrac{9-\frac{1}{x^{2}}}{3-\frac{1}{x}}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$\dfrac{k-\frac{1}{k}}{\frac{k+1}{k}}$

Responder

$k-1$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$\dfrac{\frac{m}{m+1}-1}{\frac{m+1}{2}}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$\dfrac{\frac{2 x y}{2 x-y}-y}{\frac{2 x-y}{3}}$

Responder

$\dfrac{3y^2}{(2x - y)^2}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$\dfrac{\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}}$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$\dfrac{\frac{5}{x+3}-\frac{5}{x-3}}{\frac{5}{x+3}+\frac{5}{x-3}}$

Responder

$\dfrac{-3}{x}$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$\dfrac{2+\frac{1}{y+1}}{\frac{1}{y}+\frac{2}{3}}$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$\dfrac{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

Responder

$\dfrac{y-x}{xy}$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$\dfrac{1+\frac{5}{x}+\frac{6}{x^{2}}}{1-\frac{1}{x}-\frac{12}{x^{2}}}$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$\dfrac{1+\frac{1}{y}-\frac{2}{y^{2}}}{1+\frac{7}{y}+\frac{10}{y^{2}}}$

Responder

$\dfrac{y-1}{y+5}$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$\dfrac{\frac{3 n}{m}-2-\frac{m}{n}}{\frac{3 n}{m}+4+\frac{m}{n}}$

Responder

$3x−4$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$\dfrac{\frac{y}{x+y}-\frac{x}{x-y}}{\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x-y}}$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$\dfrac{\frac{a}{a-2}-\frac{a}{a+2}}{\frac{2 a}{a-2}+\frac{a^{2}}{a+2}}$

Responder

$\dfrac{4}{a^2 + 4}$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$3 - \dfrac{2}{1 - \frac{1}{m+1}}$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$\dfrac{x-\frac{1}{1-\frac{1}{x}}}{x+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}$

Responder

$\dfrac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x+2)}$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

En la teoría de la electricidad, cuando dos resistencias de resistencia$R_1$ y$R_2$ ohmios están conectadas en paralelo, la resistencia total$R$ es:

$R = \dfrac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}}$

Escribe esta fracción compleja como una fracción simple.

Ejercicio$\PageIndex{28}$

Según la teoría de la relatividad de Einstein, dos velocidades$v_1$ y$v_2$ no se agregan según$v = v_1 + v_2$, sino por

$v = \dfrac{v_1 + v_2}{1 + \frac{v_1 v_2}{c^2}}$

Escribe esta fracción compleja como una fracción simple.

La fórmula de Einstein en realidad solo es aplicable para velocidades cercanas a la velocidad de la luz ($c=186,000$millas por segundo). A velocidades mucho más bajas, como 500 millas por hora, la fórmula$v=v_1+v_2$ proporciona una aproximación extremadamente buena.

Responder

$\dfrac{c^2(V_1 + V_2)}{c^2 + V_1V_2}$

Ejercicios para revisión

Ejercicio$\PageIndex{30}$

Suministrar la palabra faltante. El valor absoluto habla de la cuestión de cómo ____ y no “de qué manera”.

Ejercicio$\PageIndex{31}$

Encuentra el producto. $(3x + 4)^2$

Responder

$9x^2 + 24x + 16$

Ejercicio$\PageIndex{32}$

Factor$x^4 - y^4$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

Resuelve la ecuación$\dfrac{3}{x-1} - \dfrac{5}{x+3} = 0$.

Responder

$x=7$

Ejercicio$\PageIndex{34}$

Una tubería de entrada puede llenar un tanque en 10 minutos. Otra tubería de entrada puede llenar el mismo tanque en 4 minutos. ¿Cuánto tiempo tardan ambas tuberías trabajando juntas para llenar el tanque?