22.11: Resumen de conceptos clave
Resumen de conceptos clave
Expresión Racional:
Una expresión racional es una expresión algebraica que se puede escribir como el cociente de dos polinomios. Un ejemplo de expresión racional es:
\(\dfrac{x^2 + 3x - 1}{7x - 4}\)
Dominio de una expresión racional
El dominio de una expresión racional es la colección de valores para los que se define la expresión racional. Estos valores se pueden encontrar determinando los valores que no producirán cero en el denominador de la expresión.
El dominio de \(\dfrac{x+6}{x+8}\) es la colección de todos los números excepto \(-8\) .
Propiedad de Igualdad de Fracciones
Si \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) , entonces \(ad = bc\) .
Si \(ad = bc\) , entonces \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)
Propiedad Negativa de Fracciones
\(\dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b} = -\dfrac{a}{b}\)
Reduciendo una Expresión Racional
- Factorizar completamente el numerador y el denominador.
- Divide el numerador y denominador por cualquier factor que tengan en común.
Error común de cancelación
\(\dfrac{x + 54}{x + 7} \not = \dfrac{\cancel{x} + 4}{\cancel{x} + 7} \not = \dfrac{4}{7}\)
Ya que no \(x\) es un factor común, no se puede cancelar.
Multiplicar expresiones racionales
- Factorizar todos los numeradores y denominadores.
- Reducir a términos más bajos primero dividiendo todos los factores comunes.
- Multiplicar numeradores juntos.
- Multiplicar denominadores juntos.
Será más conveniente dejar el denominador en forma factorizada.
División de expresiones racionales
\(\dfrac{P}{Q} \div \dfrac{R}{S} = \dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{S}{R} = \dfrac{P \cdot S}{Q \cdot R}\)
Construyendo expresiones racionales
\(\dfrac{P}{Q} \cdot \dfrac{b}{b} = \dfrac{Pb}{Qb}\)
Construir expresiones racionales es exactamente lo contrario de reducir expresiones racionales. A menudo es útil para sumar o restar expresiones racionales.
El factor de construcción se puede determinar dividiendo el denominador original en el nuevo denominador. El cociente será el factor de construcción. Es este factor el que multiplicará el numerador original.
Mínimo denominador común LCD
El LCD es el polinomio de menor grado divisible por cada denominador. Se encuentra de la siguiente manera:
- Factorizar cada denominador. Usa exponentes para factores repetidos.
- Escribe cada factor diferente que aparezca. Si un factor aparece más de una vez, use solo el factor con el exponente más alto.
- El LCD es producto de los factores escritos en el paso 2.
Regla fundamental para sumar o restar expresiones racionales
Para sumar o restar convenientemente expresiones racionales, deben tener el mismo denominador.
Sumando y restando expresiones racionales
\(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}\) y \(\dfrac{a}{c} - \dfrac{b}{c} = \dfrac{a - b}{c}\)
Tenga en cuenta que combinamos solo los numeradores.
Ecuación Racional
Una ecuación racional es una afirmación de que dos expresiones racionales son iguales.
Borrar una Ecuación de Fracciones
Para borrar una ecuación de fracciones, multiplique ambos lados de la ecuación por la LCD. Esto equivale a multiplicar cada término por la LCD.
Resolviendo una ecuación racional
- Determinar todos los valores que deben excluirse como soluciones encontrando los valores que producen cero en el denominador.
- Despeja la ecuación de fracciones multiplicando cada término por la LCD.
- Resolver esta ecuación no fraccionaria para la variable. Verifique si alguna de estas soluciones potenciales son valores excluidos.
- Verifique la solución por sustitución.
Solución Extrañosa
Una solución potencial que ha sido excluida porque crea una expresión indefinida (quizás, división por cero) se llama solución ajena.