24.2: Resolver ecuaciones cuadráticas

Forma estándar de una ecuación cuadrática

En el Capítulo 5 estudiamos ecuaciones lineales en una y dos variables y métodos para resolverlas. Observamos que una ecuación lineal en una variable era cualquier ecuación que pudiera escribirse en la forma$ax + b = 0, a\not = 0$, y una ecuación lineal en dos variables era cualquier ecuación que pudiera escribirse en la forma$ax + by = c$, donde$a$ y no$b$ son ambas$0$. Ahora queremos estudiar ecuaciones cuadráticas en una variable.

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma$ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0$.

La forma estándar de la ecuación cuadrática es$ax^2 + bx + c = 0, a \not = 0$.

Para una ecuación cuadrática en forma estándar$ax^2 + bx + c = 0$,

$a$es el coeficiente de$x^2$.

$b$es el coeficiente de$x$.

$c$es el término constante.

Conjunto de Muestras A

Las siguientes son ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

$3x^2 + 2x - 1 = 0$. $a = 3, b = 2, c = -1$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

$5x^2 + 8x = 0$. $a = 5, b = 8, c = 0$

Observe que esta ecuación podría ser escrita$5x^2 + 8x + 0 = 0$. Ahora es claro que$c = 0$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

$x^2 + 7 = 0$. $a = 1, b = 0, c = 7$.

Observe que esta ecuación podría ser escrita$x^2 + 0x + 7 = 0$. Ahora es claro que$b = 0$

Las siguientes no son ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

$3x + 2 = 0$. $a = 0$. Esta ecuación es lineal.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

$8x^2 + \dfrac{3}{x} - 5 = 0$

La expresión en el lado izquierdo del signo igual tiene una variable en el denominador y, por lo tanto, no es cuadrática.

Conjunto de práctica A

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son ecuaciones cuadráticas? Responda “sí” o “no” a cada ecuación.

Problema de práctica$\PageIndex{1}$

$6x^2 - 4x + 9 = 0$

Responder

si

Problema de práctica$\PageIndex{2}$

$5x+8=0$

Responder

no

Problema de práctica$\PageIndex{3}$

$4x^3 - 5x^2 + x + 6 = 8$

Responder

no

Problema de práctica$\PageIndex{4}$

$4x^2 - 2x + 4 = 1$

Responder

si

Problema de práctica$\PageIndex{5}$

$\dfrac{2}{x} - 5x^2 = 6x + 4$

Responder

no

Problema de práctica$\PageIndex{6}$

$9x^2 - 2x + 6 = 4x^2 + 8$

Responder

si

Propiedad de factor cero

Nuestro objetivo es resolver ecuaciones cuadráticas. El método para resolver ecuaciones cuadráticas se basa en la propiedad de factor cero de los números reales. Nos presentaron a la propiedad de factor cero en la Sección 8.2. Lo declaramos de nuevo.

Propiedad de factor cero

Si dos números$a$ y$b$ se multiplican juntos y el producto resultante es$0$, entonces al menos uno de los números debe ser$0$. Álgebraicamente, si$a \cdot b = 0$, entonces$a = 0$ o ambos$a = 0$ y$b = 0$.

Conjunto de Muestras B

Utilice la propiedad de factor cero para resolver cada ecuación.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Si$9x = 0$, entonces$x$ debe ser$0$.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Si$-2x^2 = 0$, entonces$x^2 = 0, x = 0$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Si$5$ entonces$x-1$ debe ser$0$, ya que no$5$ es cero.

\ (\ begin {array} {Flushleft}
x - 1 &= 0\\
x &= 1
\ end {array}\)

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Si$x(x+6) = 0$, entonces

\ (\ begin {array} {Flushleft}
x &= 0 &\ text {o} & x+6&=0\\
x&=0, -6 && x &= -6
\ end {array}\)

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Si$(x+2)(x+3) = 0$, entonces

\ (\ begin {array} {Flushleft}
x + 2 &= 0 &\ text {o} & x + 3 &= 0\\
x &= -2 && x &= -3\\
x &= -2, -3
\ end {array}\)

Ejemplo$\PageIndex{11}$

Si$(x+10)(4x - 5) = 0$, entonces

\ (\ begin {array} {Flushleft}
x + 10 &= 0 &\ text {o} & 4x - 5 &= 0\\
x &= -10 && 4x &= 5\\
x &= -10,\ dfrac {5} {4} && x &=\ dfrac {5} {4}
\ end {array}\)

Set de práctica B

Utilice la propiedad de factor cero para resolver cada ecuación.

Problema de práctica$\PageIndex{7}$

$6(a−4)=0$

Responder

$a=4$

Problema de práctica$\PageIndex{8}$

$(y+6)(y−7)=0$

Responder

$y=−6, 7$

Problema de práctica$\PageIndex{9}$

$(x+5)(3x−4)=0$

Contestar

$x = -5, \dfrac{4}{3}$

Ejercicios

Para los siguientes problemas, escriba los valores de$a$,$b$, y$c$ en ecuaciones cuadráticas.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$3x^2 + 4x - 7 = 0$

Contestar

$3,4,−7$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$7x^2 + 2x + 8 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$2y^2 - 5y + 5 = 0$

Contestar

$2,−5,5$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$7a^2 + a - 8 = 0$.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$-3a^2 + 4a - 1 = 0$

Contestar

$−3,4,−1$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$7b^2 + 3b + 0$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$2x^2 + 5x + 0$

Contestar

$2, 5, 0$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$4y^2 + 9 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$8a^2 - 2a = 0$

Contestar

$8,−2,0$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$6x^2 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$4y^2 = 0$

Contestar

$4, 0, 0$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$5x^2 - 3x + 9 = 4x^2$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$7x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + x - 9$

Contestar

$1, 1, 10$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$-3x^2 + 4x - 1 = -4x^2 - 4x + 12$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$5x - 7 = -3x^2$

Contestar

$3,5,−7$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$3x - 7 = -2x^2 + 5x$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$0 = x^2 + 6x - 1$

Contestar

$1,6,−1$

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$9 = x^2$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$x^2 = 9$

Contestar

$1,0,−9$

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$0 = -x ^2$

Para los siguientes problemas, utilice la propiedad de factor cero para resolver las ecuaciones.

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$4x = 0$

Contestar

$x=0$

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$16y=0$

Ejercicio$\PageIndex{23}$

$9a=0$

Contestar

$a=0$

Ejercicio$\PageIndex{24}$

$4m=0$

Ejercicio$\PageIndex{25}$

$3(k+7)=0$

Contestar

$k=−7$

Ejercicio$\PageIndex{26}$

$8(y−6)=0$

Ejercicio$\PageIndex{27}$

$−5(x+4)=0$

Contestar

$x=−4$

Ejercicio$\PageIndex{28}$

$−6(n+15)=0$

Ejercicio$\PageIndex{29}$

$y(y−1)=0$

Contestar

$y=0,1$

Ejercicio$\PageIndex{30}$

$a(a−6)=0$

Ejercicio$\PageIndex{31}$

$n(n+4)=0$

Contestar

$n=0,−4$

Ejercicio$\PageIndex{32}$

$x(x+8)=0$

Ejercicio$\PageIndex{33}$

$9(a−4)=0$

Contestar

$a=4$

Ejercicio$\PageIndex{34}$

$−2(m+11)=0$

Ejercicio$\PageIndex{35}$

$x(x+7) = 0$

Contestar

$x=−7 \text{ or } x=0$

Ejercicio$\PageIndex{36}$

$n(n−10)=0$

Ejercicio$\PageIndex{37}$

$(y−4)(y−8)=0$

Contestar

$y=4 \text{ or } y=8$

Ejercicio$\PageIndex{38}$

$(k−1)(k−6)=0$

Ejercicio$\PageIndex{39}$

$(x+5)(x+4)=0$

Contestar

$x=−4 \text{ or } x=−5$

Ejercicio$\PageIndex{40}$

$(y+6)(2y+1)=0$

Ejercicio$\PageIndex{41}$

$(x−3)(5x−6)=0$

Contestar

$x = \dfrac{6}{5} \text{ or } x = 3$

Ejercicio$\PageIndex{42}$

$(5a+1)(2a−3)=0$

Ejercicio$\PageIndex{43}$

$(6m+5)(11m−6)=0$

Contestar

$m = -\dfrac{5}{6} \text{ or } m = \dfrac{6}{11}$

Ejercicio$\PageIndex{44}$

$(2m−1)(3m+8)=0$

Ejercicio$\PageIndex{45}$

$(4x+5)(2x−7)=0$

Contestar

$x = \dfrac{-5}{4}, \dfrac{7}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{46}$

$(3y + 1)(2y + 1) = 0$

Ejercicio$\PageIndex{47}$

$(7a + 6)(7a - 6) = 0$

Contestar

$a = \dfrac{-6}{7}, \dfrac{6}{7}$

Ejercicio$\PageIndex{48}$

$(8x+11)(2x−7)=0$

Ejercicio$\PageIndex{49}$

$(5x−14)(3x+10)=0$

Contestar

$x = \dfrac{14}{5}, \dfrac{-10}{3}$

Ejercicio$\PageIndex{50}$

$(3x−1)(3x−1)=0$

Ejercicio$\PageIndex{51}$

$(2y+5)(2y+5)=0$

Contestar

$y = \dfrac{-5}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{52}$

$(7a - 2)^2 = 0$

Ejercicio$\PageIndex{53}$

$(5m - 6)^2 = 0$

Contestar

$m = \dfrac{6}{5}$

Ejercicios para revisión

Ejercicio$\PageIndex{54}$

Factorial$12ax - 3x + 8a - 2$ por agrupación.

Ejercicio$\PageIndex{55}$

Construye la gráfica de$6x + 10y - 60 = 0$

Contestar

Ejercicio$\PageIndex{56}$

Encuentra la diferencia:$\dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} - \dfrac{1}{x^2 - 1}$.

Ejercicio$\PageIndex{57}$

Simplificar$\sqrt{7}(\sqrt{2} + 2)$

Contestar

$\sqrt{14} + 2\sqrt{7}$

Ejercicio$\PageIndex{58}$

Resolver la ecuación radical$\sqrt{3x + 10} = x + 4$