12.3: Volumen de Sólidos Geométricos

Objetivos de aprendizaje

1. Identificar sólidos geométricos.
2. Encuentra el volumen de sólidos geométricos.
3. Encuentra el volumen de un sólido geométrico compuesto.

Introducción

Vivir en un mundo bidimensional sería bastante aburrido. Agradecidamente, todos los objetos físicos que ves y usas todos los días —computadoras, teléfonos, autos, zapatos— existen en tres dimensiones. Todos ellos tienen largo, ancho y alto. (Incluso los objetos muy delgados como una hoja de papel son tridimensionales. El grosor de una hoja de papel puede ser de una fracción de milímetro, pero sí existe).

En el mundo de la geometría, es común ver figuras tridimensionales. En matemáticas, un lado plano de una figura tridimensional se llama cara. Los poliedros son formas que tienen cuatro o más caras, siendo cada una un polígono. Estos incluyen cubos, prismas y pirámides. A veces incluso se pueden ver figuras individuales que son compuestos de dos de estas figuras. Echemos un vistazo a algunos poliedros comunes.

Identificación de Sólidos

El primer conjunto de sólidos contiene bases rectangulares. Echa un vistazo a la tabla a continuación, que muestra cada figura tanto en forma sólida como transparente.

Nombre	Definición	Forma Sólida	Forma Transparente
Cube	Un poliedro de seis lados que tiene cuadrados congruentes como caras.
Prisma rectangular	Un poliedro que tiene tres pares de caras congruentes, rectangulares y paralelas.
Pyramid	Un poliedro con una base poligonal y una colección de caras triangulares que se encuentran en un punto.

Observe los diferentes nombres que se utilizan para estas figuras. Un cubo es diferente a un cuadrado, aunque a veces se confunden entre sí: un cubo tiene tres dimensiones, mientras que un cuadrado solo tiene dos. De igual manera, describirías una caja de zapatos como un prisma rectangular (no simplemente un rectángulo), y las antiguas pirámides de Egipto como... bueno, como pirámides (no triángulos).

En este siguiente conjunto de sólidos, cada figura tiene una base circular.

Nombre	Definición	Forma Sólida	Forma Transparente
Cilindro	Una figura sólida con un par de bases circulares paralelas y una cara redonda y lisa entre ellas.
Cono	Una figura sólida con una sola base circular y una cara redonda y lisa que disminuye a un solo punto.

Tómate un momento para comparar una pirámide y un cono. Observe que una pirámide tiene una base rectangular y caras planas y triangulares; un cono tiene una base circular y un cuerpo liso y redondeado.

Por último, veamos una forma que es única: una esfera.

Nombre	Definición	Forma Sólida	Forma Transparente
Esfera	Una figura sólida y redonda donde cada punto de la superficie está a la misma distancia del centro.

Hay muchos objetos esféricos a tu alrededor: las pelotas de fútbol, las pelotas de tenis y las pelotas de beisbol son tres elementos comunes. Si bien pueden no ser perfectamente esféricas, generalmente se les conoce como esferas.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Una figura tridimensional tiene las siguientes propiedades:

• Tiene una base rectangular.
• Tiene cuatro caras triangulares.

¿Qué clase de sólido es?

Solución

Una base rectangular indica que debe ser un cubo, un prisma rectangular o una pirámide.

Dado que las caras son triangulares, debe ser una pirámide.

Respuesta: El sólido es una pirámide.

Volumen

Recordemos que el perímetro mide una dimensión (largo), y el área mide dos dimensiones (largo y ancho). Para medir la cantidad de espacio que ocupa una figura tridimensional, se utiliza otra medida llamada volumen.

Para visualizar qué mide el “volumen”, mire hacia atrás a la imagen transparente del prisma rectangular mencionado anteriormente (o simplemente piense en una caja de zapatos vacía). Imagina apilar cubos idénticos dentro de esa caja para que no haya huecos entre ninguno de los cubos. Imagínese llenar toda la caja de esta manera. Si contaras el número de cubos que caben dentro de ese prisma rectangular, tendrías su volumen.

El volumen se mide en unidades cúbicas. La caja de zapatos ilustrada anteriormente puede medirse en pulgadas cúbicas (generalmente representadas como$\text{in}^3$ o$\text{inches}^3$), mientras que la Gran Pirámide de Egipto se mediría más apropiadamente en metros cúbicos ($\text{m}^3$o$\text{meters}^3$).

Para encontrar el volumen de un sólido geométrico, podrías crear una versión transparente del sólido, crear un montón de cubos 1x1x1 y luego apilarlos cuidadosamente dentro. Sin embargo, ¡eso llevaría mucho tiempo! Una forma mucho más fácil de encontrar el volumen es familiarizarse con algunas fórmulas geométricas y utilizarlas en su lugar.

Repasemos una vez más los sólidos geométricos y enumeremos la fórmula de volumen para cada uno.

Al mirar a través de la lista a continuación, puede notar que algunas de las fórmulas de volumen se parecen a sus fórmulas de área. Para encontrar el volumen de un prisma rectangular, se encuentra el área de la base y luego se multiplica eso por la altura.

Nombre	Forma Transparente	Fórmula de volumen
Cube		$V a \cdot a \cdot a = a^3$ $a$= la longitud de un lado
Prisma rectangular		$V = l \cdot w \cdot h$ $l$= longitud $w$= ancho $h$= altura
Pyramid		$V = \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}$ $l$= longitud $w$= ancho $h$= altura

Recuerda que todos los cubos son prismas rectangulares, por lo que la fórmula para encontrar el volumen de un cubo es el área de la base del cubo multiplicada por la altura.

Ahora veamos sólidos que tienen una base circular.

Nombre	Forma Transparente	Fórmula de volumen
Cilindro		$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$ $r$= radio $h$= altura
Cono		$V = \dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}$ $r$= radio $h$= altura

Aquí$\pi$ vuelve a ver el número.

El volumen de un cilindro es el área de su base,$\pi r^2$, multiplicada por su altura,$h$.

Compara la fórmula para el volumen de un cono ($V = \dfrac{\pi \cdot r^2 \cdot h}{3}$) con la fórmula para el volumen de una pirámide ($V = \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}$). El numerador de la fórmula de cono es la fórmula de volumen para un cilindro, y el numerador de la fórmula piramidal es la fórmula de volumen para un prisma rectangular. Luego divide cada uno por 3 para encontrar el volumen del cono y la pirámide. Buscar patrones y similitudes en las fórmulas puede ayudarte a recordar qué fórmula se refiere a un sólido dado.

Por último, a continuación se proporciona la fórmula para una esfera. Observe que el radio es cúbico, no cuadrado y que la cantidad$\pi r^3$ se multiplica por$\dfrac{4}{3}$.

Nombre	Forma Wireframe	Fórmula de volumen
Esfera		$V = \dfrac{4}{3} \pi r^3$ $r$= radio

Aplicando las Fórmulas Usted sabe identificar los sólidos, y también conoce las fórmulas de volumen para estos sólidos. Para calcular el volumen real de una forma dada, todo lo que necesita hacer es sustituir las dimensiones del sólido en la fórmula y calcular.

En los ejemplos siguientes, observe que se utilizan unidades cúbicas ($\text{meters}^3$$\text{inches}^3$,,$\text{feet }^3$).

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentra el volumen de un cubo con longitudes laterales de 6 metros.

Solución

Identificar la fórmula adecuada a utilizar. $a$= longitud lateral

$V = a \cdot a \cdot a = a^3$

Sustituir$a = 6$ en la fórmula.

$V = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$

Calcular el volumen.

$6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

Recordemos, utilizamos unidades cúbicas con volumen.

Respuesta: Volumen =$216 \text{ meters}^3$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra el volumen de la forma que se muestra a continuación.

Solución

Identificar la forma. Tiene una base rectangular y se eleva a un punto, por lo que es una pirámide.

Identificar la fórmula adecuada a utilizar. $l$= largo,$w$ = ancho y$h$ = alto

$V = \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}$

Usa la imagen para identificar las dimensiones. $4$= largo$3$ = ancho$8$ = alto. Después sustituya$l$ = 4,$w$ = 3, y$h$ = 8 en la fórmula.

$V = \dfrac{4 \cdot 3 \cdot 8}{3}$

Calcular el volumen.

$V = \dfrac{96}{3}$

$= 32$

Respuesta: El volumen de la pirámide es$32 \text{ inches}^3$

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra el volumen de la forma que se muestra a continuación. Utilizar$3.14$ para$\pi$, y redondear la respuesta a la centésima más cercana.

Solución

Identificar la forma. Tiene una base circular y tiene espesor uniforme (o altura), por lo que es un cilindro.

Identificar la fórmula adecuada a utilizar.

$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Usa la imagen para identificar las dimensiones. Después sustituya$r = 7$ y$h = 1$ en la fórmula.

$V = \pi \cdot 7^2 \cdot 1$

Calcular el volumen, utilizando$3.14$ como aproximación para$\pi$.

$V = \pi \cdot 7^2 \cdot 1$

$= 49 \pi$

$≈ 153.86$

Respuesta: El volumen es$49 \pi$ o aproximadamente$153.86 \text{ feet}^3$.

Pruébalo ahora 1

Encuentra el volumen de un prisma rectangular que mide 8 pulgadas de largo, 3 pulgadas de ancho y 10 pulgadas de alto.

Sólidos compuestos

Los sólidos geométricos compuestos están hechos de dos o más sólidos geométricos. También puede encontrar el volumen de estos sólidos, siempre y cuando pueda averiguar los sólidos individuales que componen la forma compuesta.

Mira la imagen de una cápsula a continuación. Cada extremo es una media esfera. Se puede encontrar el volumen del sólido desarmándolo. ¿En qué sólidos puedes romper esta forma?

Se puede romper en un cilindro y dos medias esferas.

Dos medias esferas forman una entera, así que si conoces las fórmulas de volumen para un cilindro y una esfera, puedes encontrar el volumen de esta cápsula.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Si el radio de los extremos esféricos es de 6 pulgadas, encuentra el volumen del sólido debajo. Usar$3.14$ para$\pi$. Redondea tu respuesta final al número entero más cercano.

Solución

Identificar los sólidos compuestos. Esta cápsula se puede considerar como un cilindro con una media esfera en cada extremo.

Identificar las fórmulas adecuadas a utilizar.

$\text{Volume of a cylinder: } \pi \cdot r^2 \cdot h$

$\text{Volume of a sphere: } \dfrac{4}{3} \pi r^3$

Sustituir las dimensiones en las fórmulas.

$\text{Volume of a cylinder: } \pi \cdot 6^2 \cdot 24$

$\text{Volume of a sphere: } \dfrac{4}{3} \pi \cdot 6^3$

La altura de un cilindro se refiere a la sección entre las dos bases circulares. Esta dimensión se da como 24 pulgadas, así$h$ = 24. El radio de la esfera es de 6 pulgadas. Puedes usar$r$ = 6 en ambas fórmulas.

$\text{Volume of a cylinder: } \pi \cdot 36 \cdot 24$

$= 864 \cdot \pi$

$≈ 2712.96$

Calcular el volumen del cilindro y la esfera.

$\text{Volume of a sphere: } \dfrac{4}{3} \pi \cdot 216$

$= 288 \cdot \pi$

$≈ 904.32$

Agregar los volúmenes.

$\text{Volume of capsule: } 2712.96 + 904.32 ≈ 3617.28$

Respuesta: El volumen de la cápsula es$1152 \pi$ o aproximadamente$3617 \text{ inches}^3$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Un escultor talla un prisma rectangular a partir de una pieza sólida de madera. Entonces, en la parte superior, ahuecó una pirámide invertida. El sólido, y sus dimensiones, se muestran a la derecha. ¿Cuál es el volumen de la pieza terminada?

Solución

Identificar los sólidos compuestos. Esta escultura puede pensarse como un prisma rectangular con una pirámide quitada.

Identificar las fórmulas adecuadas a utilizar.

$\text{Volume of rectangular prism: } l \cdot w \cdot h$

$\text{Volume of pyramid: } \dfrac{l \cdot w \cdot h}{3}$

Sustituir las dimensiones en las fórmulas, y calcular.

$\text{Volume of rectangular prism: } 1 \cdot 1 \cdot 8 = 8$

$\text{Volume of pyramid: } \dfrac{1 \cdot 1 \cdot 2}{3} = \dfrac{2}{3}$

Restar el volumen de la pirámide del volumen del prisma rectangular.

$\text{Volume of sculpture: } V = 8 - \dfrac{2}{3}$

$= 7\dfrac{1}{3}$

Respuesta: El volumen de la escultura es$7\dfrac{1}{3} \text{ feet}^3$.

Pruébalo ahora 2

Una máquina toma un cilindro sólido con una altura de 9 mm y un diámetro de 7 mm y perfora un agujero a través de él. El agujero que crea tiene un diámetro de 3 mm. ¿Cuál de las siguientes expresiones encontraría correctamente el volumen del sólido?

A)$(\pi \cdot 7^2 \cdot 9) - (\pi \cdot 3^2 \cdot 9)$

B)$(\pi \cdot 3.5^2 \cdot 9) - (\pi \cdot 1.5^2 \cdot 9)$

C)$(\pi \cdot 7^2 \cdot 9) + (\pi \cdot 3^2 \cdot 9)$

D)$(\pi \cdot 3.5^2 \cdot 9) + (\pi \cdot 1.5^2 \cdot 9)$

Resumen

Los sólidos tridimensionales tienen longitud, anchura y altura. Se utiliza una medida llamada volumen para determinar la cantidad de espacio que ocupan estos sólidos. Para encontrar el volumen de un sólido geométrico específico, puede usar una fórmula de volumen que sea específica de ese sólido. En ocasiones, encontrarás sólidos geométricos compuestos. Se trata de sólidos que combinan dos o más sólidos básicos. Para encontrar el volumen de estos, identificar los sólidos más simples que componen la figura compuesta, encontrar los volúmenes de esos sólidos y combinarlos según sea necesario.

Nota

1. $240 \text{ inches}^3$; para encontrar el volumen del prisma rectangular, utilice la fórmula$V = l \cdot w \cdot h$, y luego sustituya en los valores la longitud, anchura y altura. $8 \text{ inches} \cdot 3 \text{ inches} \cdot 10 \text{ inches} = 240 \text{ inches}^3$.

2. B)$(\pi \cdot 3.5^2 \cdot 9) - (\pi \cdot 1.5^2 \cdot 9)$; encuentras el volumen de todo el cilindro multiplicando$\pi \cdot 3.5^2 \cdot 9$, luego restas el cilindro vacío en el medio, que se encuentra multiplicando$\pi \cdot 1.5^2 \cdot 9$.

Glosario

triángulo agudo	Un ángulo que mide menos de 90º.
ángulo	Una figura formada por la unión de dos rayos con un punto final común.
zona	La cantidad de espacio dentro de una forma bidimensional, medida en unidades cuadradas.
circunferencia	La distancia alrededor de un círculo, calculada por la fórmula$C = \pi d$.
ángulos complementarios	Dos ángulos cuyas medidas suman 90º.
cono	Una figura sólida con una sola base circular y una cara redonda y lisa que disminuye a un solo punto.
congruente	Tener el mismo tamaño y forma.
ángulos correspondientes	Ángulos de figuras separadas que se encuentran en la misma posición dentro de cada figura.
lados correspondientes	Lados de figuras separadas que son ángulos correspondientes opuestos.
cubo	Un poliedro de seis lados que tiene cuadrados congruentes como caras.
cilindro	Una figura sólida con un par de bases circulares paralelas y una cara redonda y lisa entre ellas.
diámetro	La longitud a través de un círculo, pasando por el centro del círculo. Un diámetro es igual a la longitud de dos radios.
triángulo equilátero	Un triángulo con 3 lados iguales. Los triángulos equiláteros también tienen tres ángulos que miden lo mismo.
cara	La superficie plana de una figura sólida.
hipotenusa	El lado opuesto al ángulo recto en cualquier triángulo rectángulo. La hipotenusa es el lado más largo de cualquier triángulo rectángulo.
trapecio isósceles	Un trapecio con un par de lados paralelos y otro par de lados opuestos que son congruentes.
triángulo isósceles	Un triángulo con 2 lados iguales y 2 ángulos iguales.
pierna, piernas	En un triángulo rectángulo, uno de los dos lados creando un ángulo recto.
línea	Una línea es una figura unidimensional, que se extiende sin fin en dos direcciones.
segmento de línea	Una sección finita de una línea entre dos puntos cualesquiera que se encuentran en la línea.
ángulo obtuso, ángulos obtusos	Un ángulo que mide más de 90º e inferior a 180º.
triángulo obtuso	Un triángulo con un ángulo que mide entre 90º y 180º.
líneas paralelas	Dos o más líneas que se encuentran en un mismo plano pero que nunca se cruzan.
paralelogramo, paralelogramos	Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.
perimetral	La distancia alrededor de una forma bidimensional.
líneas perpendiculares	Dos líneas que se encuentran en un mismo plano y se cruzan en un ángulo de 90º.
pi	La relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Pi se denota con la letra griega$\pi$. A menudo se aproxima como$3.14$ o$\dfrac{22}{7}$.
avión	En geometría, una superficie bidimensional que continúa infinitamente. Cualquier tres puntos individuales que no se encuentren en la misma línea se ubicarán exactamente en un plano.
punto	Un objeto de dimensión cero que define una ubicación específica en un plano. Está representado por un pequeño punto.
polígono, polígonos	Una figura plana cerrada con tres o más lados rectos.
poliedros, poliedros	Un sólido cuyas caras son polígonos.
pirámide, pirámides	Un poliedro con una base poligonal y una colección de caras triangulares que se encuentran en un punto.
Teorema de Pitágoras	La fórmula que relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo rectángulo:$a^2 + b^2 + c^2$, donde$c$ está la hipotenusa,$a$ y$b$ son las patas del triángulo rectángulo.
cuadriláteros, cuadriláteros	Un polígono de cuatro lados.
radio	La distancia desde el centro de un círculo hasta cualquier punto del círculo.
ray	Una media línea que comienza en un punto y continúa para siempre en una dirección.
rectángulo	Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos y cuatro ángulos rectos.
prisma rectangular	Un poliedro que tiene tres pares de caras congruentes, rectangulares y paralelas.
rombo	Un cuadrilátero con cuatro lados congruentes.
ángulo recto	Un ángulo que mide exactamente 90º.
triángulo recto, triángulos rectos	Un triángulo que contiene un ángulo recto.
triángulo escaleno	Un triángulo en el que los tres lados tienen una longitud diferente.
similares	Tener la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
esfera	Una figura sólida y redonda donde cada punto de la superficie está a la misma distancia del centro.
cuadrado	Un cuadrilátero cuyos lados son todos congruentes y que tiene cuatro ángulos rectos.
ángulo recto	Un ángulo que mide exactamente 180º.
ángulos suplementarios	Dos ángulos cuyas medidas suman 180º.
trapecio	Un cuadrilátero con un par de lados paralelos.
triángulo	Un polígono con tres lados.
vértice	Un punto de inflexión en una gráfica. También el punto final de los dos rayos que forman un ángulo.
volumen	Una medida de cuánto se necesita para llenar una figura tridimensional. El volumen se mide en unidades cúbicas.