9.6: División de Decimales
Objetivos de aprendizaje
- entender el método utilizado para dividir decimales
- ser capaz de dividir un número decimal por un número entero distinto de cero y por otro número decimal distinto de cero
- ser capaz de simplificar una división de un decimal por una potencia de 10
La lógica detrás del método
Como hemos hecho con suma, resta y multiplicación de decimales, estudiaremos un método de división de decimales convirtiéndolos en fracciones, luego haremos una regla general.
Procederemos usando este ejemplo: Divide 196.8 por 6.
\(\begin{array} {r} {32\ \ \ } \\ {6\overline{)196.8}} \\ {\underline{18\ \ \ \ \ }} \\ {16\ \ \ } \\ {\underline{12\ \ \ }} \\ {4\ \ \ } \end{array}\)
Tenemos, hasta este punto, dividido 196.8 por 6 y hemos conseguido un cociente de 32 con un resto de 4. Si seguimos nuestra intuición y bajamos el .8, tenemos la división \(4.8 \div 6\) .
\(\begin{array} {rcl} {4.8 \div 6} & = & {4 \dfrac{8}{10} \div 6} \\ {} & = & {\dfrac{48}{10} \div \dfrac{6}{1}} \\ {} & = & {\dfrac{\begin{array} {c} {^8} \\ {\cancel{48}} \end{array}}{10} \cdot \dfrac{1}{\begin{array} {c} {\cancel{6}} \\ {^1} \end{array}}} \\ {} & = & {\dfrac{8}{10}} \end{array}\)
Por lo tanto, \(4.8 \div 6 = .8\) .
Ahora, nuestra intuición y experiencia con la división nos dirigen a colocar el .8 inmediatamente a la derecha del 32.
A partir de estas observaciones, sugerimos el siguiente método de división.
Un método para dividir un decimal por un número entero distinto de cero
Método de dividir un decimal por un
número
entero distinto de cero
Para dividir un decimal por un número entero distinto de cero:
Escriba un punto decimal por encima de la línea de división y directamente sobre el punto decimal del dividendo.
Proceder a dividir como si ambos números fueran números enteros.
Si, en el cociente, el primer dígito distinto de cero ocurre a la derecha del punto decimal, pero no en la posición décimas, coloque un cero en cada posición entre el punto decimal y el primer dígito distinto de cero del cociente.
Conjunto de Muestras A
Encuentra las representaciones decimales de los siguientes cocientes.
\(114.1 \div 7 = 7\)
Solución
\(\begin{array} {r} {16.3} \\ {7 \overline{)114.1}} \\ {\underline{7\ \ \ \ \ }} \\ {44\ \ \ } \\ {\underline{42\ \ \ }} \\ {2.1} \\ {\underline{2.1}} \\ {0} \end{array}\)
Por lo tanto, \(114.1 \div 7 = 16.3\)
Comprobar: Si \(114.1 \div 7 = 16.3\) , entonces \(7 \cdot 16.3\) debería ser igual a 114.1.
\(\begin{array} {r} {^{4.2\ \ \ }} \\ {16.3} \\ {\underline{\ \ \ \ \ \ \ 7}} \\ {114.1} \end{array}\) Cierto.
Conjunto de Muestras A
\(0.02068 \div 4\)
Solución
Colocar ceros en las posiciones décimas y centésimas. (Ver Paso 3.)
Por lo tanto, \(0.02068 \div 4 = 0.00517\) .
Conjunto de práctica A
Encuentra los siguientes cocientes.
\(184.5 \div 3\)
- Contestar
-
61.5
Conjunto de práctica A
\(16.956 \div 9\)
- Contestar
-
1.884
Conjunto de práctica A
\(0.2964 \div 4\)
- Contestar
-
0.0741
Conjunto de práctica A
\(0.000496 \div 8\)
- Contestar
-
0.000062
Un método para dividir un decimal por un decimal distinto de cero
Ahora que podemos dividir decimales por números enteros distintos de cero, estamos en condiciones de dividir decimales por un decimal distinto de cero. Lo haremos convirtiendo una división por decimal en una división por un número entero, proceso con el que ya estamos familiarizados. Ilustraremos el método usando este ejemplo: Divide 4.32 por 1.8.
Veamos este problema como \(4 \dfrac{32}{100} \div 1 \dfrac{8}{10}\) .
\(\begin{array} {4 \dfrac{32}{100} \div 1 \dfrac{8}{10}} & = & {\dfrac{4 \dfrac{32}{100}}{1 \dfrac{8}{10}}} \\ {} & = & {\dfrac{\dfrac{432}{100}}{\dfrac{18}{10}}} \end{array}\)
El divisor es \(\dfrac{18}{10}\) . Podemos \(\dfrac{18}{10}\) convertir en un número entero si lo multiplicamos por 10.
\(\dfrac{18}{10} \cdot 10 = \dfrac{18}{\begin{array} {c} {\cancel{10}} \\ {^1} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{10}} \end{array}}{1} = 18\)
Pero, sabemos por nuestra experiencia con las fracciones, que si multiplicamos el denominador de una fracción por un número entero distinto de cero, debemos multiplicar el numerador por ese mismo número entero distinto de cero. Así, al convertir \(\dfrac{18}{10}\) a un número entero multiplicándolo por 10, también debemos multiplicar el numerador \(\dfrac{432}{100}\) por 10.
\(\begin{array} {rcl} {\dfrac{432}{100} \cdot 10 = \dfrac{432}{\begin{array} {c} {\cancel{100}} \\ {^{10}} \end{array}} \cdot \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{10}} \end{array}}{1}} & = & {\dfrac{432 \cdot 1}{10 \cdot 1} = \dfrac{432}{10}} \\ {} & = & {43 \dfrac{2}{10}} \\ {} & = & {43.2} \end{array}\)
Hemos convertido la división \(4.32 \div 1.8\) en la división \(43.2 \div 18\) , es decir,
\(1.8\overline{)4.32} \to 18 \overline{)43.2}\)
Observe lo ocurrido.
Si “movemos” el punto decimal del divisor un dígito a la derecha, también debemos “mover” el punto decimal del dividendo un lugar a la derecha. La palabra “mover” en realidad indica el proceso de multiplicación por una potencia de 10.
Método de dividir un decimal por un número decimal Para dividir un decimal por un decimal distinto de cero,
Convierte el divisor a un número entero moviendo el punto decimal a la posición inmediatamente a la derecha del último dígito del divisor.
Mueve el punto decimal del dividendo a la derecha el mismo número de dígitos que se movió en el divisor.
Establezca el punto decimal en el cociente colocando un punto decimal directamente encima del punto decimal recién ubicado en el dividendo.
Dividir como de costumbre.
Conjunto de Muestras B
Encuentra los siguientes cocientes.
\(32.66 \div 7.1\)
Solución
\(7.1 \underline{)32.66}\)
El divisor tiene una posición decimal.
Mueve el punto decimal tanto del divisor como del dividendo 1 lugar a la derecha.
Establezca el punto decimal.
Dividir como de costumbre.
Por lo tanto, \(32.66 \div 7.1 = 4.6\)
Comprobar: \(32.66 \div 7.1 = 4.6\) si \(4.6 \times 7.1 = 32.66\)
\(\begin{array} {c} {4.6} \\ {\underline{\times 7.1}} \\ {46} \\ {\underline{322\ \ }} \\ {32.66} \end{array}\) Cierto.
Conjunto de Muestras B
\(1.0773 \div 0.513\)
Solución
\(7.1 \underline{)32.66}\)
El divisor tiene 3 decimales.
Mueve el punto decimal tanto del divisor como del dividendo 3 lugares a la derecha.
Establezca la posición decimal y divida.
Por lo tanto, \(1.0773 \div 0.513 = 2.1\)
Comprobando multiplicando 2.1 y 0.513 nos convencerá de que hemos obtenido el resultado correcto. (Pruébalo.)
Conjunto de Muestras B
\(12 \div 0.00032\)
Solución
\(0.00032 \underline{)12.00000}\)
El divisor tiene 5 decimales.
Mueve el punto decimal tanto del divisor como del dividendo 5 lugares a la derecha. Habrá que sumar 5 ceros a 12.
Establezca la posición decimal y divida.
el suyo es ahora lo mismo que la división de números enteros.
\(\begin{array} {r} {37500.} \\ {32 \overline{)1200000.}} \\ {\underline{96\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {240\ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{224\ \ \ \ \ \ \ }} \\ {160\ \ \ \ \ } \\ {\underline{160\ \ \ \ \ }} \\ {000} \end{array}\)
La comprobación nos asegura eso \(12 \div 0.00032 = 37,500\) .
Set de práctica B
Encuentra la representación decimal de cada cociente.
\(9.176 \div 3.1\)
- Contestar
-
2.96
Set de práctica B
\(5.0838 \div 1.11\)
- Contestar
-
4.58
Set de práctica B
\(16 \div 0.0004\)
- Contestar
-
40,000
Set de práctica B
\(8,162.41 \div 10\)
- Contestar
-
816.241
Set de práctica B
\(8,162.41 \div 100\)
- Contestar
-
81.6241
Set de práctica B
\(8,162.41 \div 1,000\)
- Contestar
-
8.16241
Set de práctica B
\(8,162.41 \div 10,000\)
- Contestar
-
0.816241
Calculadoras
Las calculadoras pueden ser útiles para encontrar cocientes de números decimales. Como hemos visto con las otras operaciones de la calculadora, a veces solo podemos esperar resultados aproximados. Se nos avisa de resultados aproximados cuando la pantalla de la calculadora está llena de dígitos. Sabemos que es posible que la operación pueda producir más dígitos de los que la calculadora tiene la capacidad de mostrar. Por ejemplo, la multiplicación
\(\underbrace{0.12345}_{\text{5 decimal places}} \times \underbrace{0.4567}_{\text{4 decimal places}}\)
produce \(5 + 4 = 9\) decimales. Una calculadora con pantalla de ocho dígitos solo tiene la capacidad de mostrar ocho dígitos, y los resultados de una aproximación. La forma de reconocer una posible aproximación se ilustra en el problema 3 del siguiente conjunto de muestras.
Conjunto de Muestras C
Encuentra cada cociente usando una calculadora. Si el resultado es una aproximación, redondea a cinco decimales.
\(12.596 \div 4.7\)
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | 12.596 | 12.596 |
| Prensa | \(\div\) | 12.596 |
| Tipo | 4.7 | 4.7 |
| Prensa | = | 2.68 |
Dado que la pantalla no está llena, esperamos que este sea un resultado exacto.
Conjunto de Muestras C
\(0.5696376 \div 0.00123\)
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | .5696376 | 0.5696376 |
| Prensa | \(\div\) | 0.5696376 |
| Tipo | .00123 | 0.00123 |
| Prensa | = | 463.12 |
Dado que la pantalla no está llena, esperamos que este resultado sea preciso.
Conjunto de Muestras C
\(0.8215199 \div 4.113\)
Solución
| Lee en pantalla | ||
| Tipo | .8215199 | 0.8215199 |
| Prensa | \(\div\) | 0.8215199 |
| Tipo | 4.113 | 4.113 |
| Prensa | = | 0.1997373 |
Hay OCHO DIGITOS — DISPLAY LLENADO ESTAR AL TANTO DE POSIBLES APROXIMACIONES.
Podemos verificar una posible aproximación de la siguiente manera. Dado que la división se \(\begin{array} {r} {3\ \ \ } \\ {4 \overline{)12}} \end{array}\) puede verificar multiplicando 4 y 3, podemos verificar nuestra división realizando la multiplicación
\(\underbrace{4.113}_{\text{3 decimal places}} \times \underbrace{0.1997373}_{\text{7 decimal places}}\)
Esta multiplicación produce dígitos \(3 + 7 = 10\) decimales. Pero nuestro cociente sospechoso contiene sólo 8 dígitos decimales. Concluimos que la respuesta es una aproximación. Entonces, redondeando a cinco decimales, obtenemos 0.19974.
Set de práctica C
Encuentra cada cociente usando una calculadora. Si el resultado es una aproximación, redondea a cuatro decimales.
\(42.49778 \div 14.261\)
- Contestar
-
2.98
Set de práctica C
\(0.001455 \div 0.291\)
- Contestar
-
0.005
Set de práctica C
\(7.459085 \div 2.1192\)
- Contestar
-
3.5197645 es un resultado aproximado. Redondeando a cuatro decimales, obtenemos 3.5198
Dividiendo decimales por potencias de 10
En los problemas 4 y 5 del Conjunto de Práctica B, encontramos las representaciones decimales de \(8,162.41 \div 10\) y \(8,162.41 \div 100\) . Veamos cada uno de estos de nuevo y luego, a partir de estas observaciones, hagamos una declaración general respecto a la división de un número decimal por una potencia de 10.
\(\begin{array} {r} {816.241} \\ {10 \overline{)8162.410}} \\ {\underline{80\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {16\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{10\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {62 \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{60\ \ \ \ \ \ \ }} \\ {24\ \ \ \ \ } \\ {\underline{20\ \ \ \ \ }} \\ {41\ \ \ } \\ {\underline{40\ \ \ }} \\ {10\ } \\ {\underline{10\ }} \\ {0\ } \end{array}\)
Por lo tanto, \(8,162.41 \div 10 = 816.241\)
Observe que el divisor 10 está compuesto por uno 0 y que el cociente 816.241 se puede obtener del dividendo 8,162.41 moviendo el punto decimal un lugar a la izquierda.
\(\begin{array} {r} {81.6241} \\ {100 \overline{)8162.4100}} \\ {\underline{800\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {162\ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{100\ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ {624 \ \ \ \ \ \ \ } \\ {\underline{600\ \ \ \ \ \ \ }} \\ {241\ \ \ \ \ } \\ {\underline{200\ \ \ \ \ }} \\ {410\ \ \ } \\ {\underline{400\ \ \ }} \\ {100\ } \\ {\underline{100\ }} \\ {0\ } \end{array}\)
Por lo tanto, \(8,162.41 \div 100 = 81.6241\) .
Observe que el divisor 100 está compuesto por dos 0's y que el cociente 81.6241 se puede obtener del dividendo moviendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda.
Usando estas observaciones, podemos sugerir el siguiente método para dividir los números decimales por potencias de 10.
Dividir una Fracción Decimal por una Potencia de
10
Para dividir una fracción decimal por una potencia de 10, mueva el punto decimal de la fracción decimal
hacia la izquierda
tantos lugares como ceros haya en la potencia de 10. Agrega ceros si es necesario.
Conjunto de Muestras D
Encuentra cada cociente.
\(9,248.6 \div 100\)
Solución
Ya que hay 2 ceros en esta potencia de 10, movemos el punto decimal 2 lugares hacia la izquierda.
Conjunto de Muestras D
\(3.28 \div 10,000\)
Solución
Ya que hay 4 ceros en esta potencia de 10, movemos el punto decimal 4 lugares hacia la izquierda. Para ello, necesitamos sumar tres ceros.
Set de Práctica D
Encuentra la representación decimal de cada cociente.
\(182.5 \div 10\)
- Contestar
-
18.25
Set de Práctica D
\(182.5 \div 100\)
- Contestar
-
1.825
Set de Práctica D
\(182.5 \div 1,000\)
- Contestar
-
0.1825
Set de Práctica D
\(182.5 \div 10,000\)
- Contestar
-
0.01825
Set de Práctica D
\(646.18 \div 100\)
- Contestar
-
6.4618
Set de Práctica D
\(21.926 \div 1,000\)
- Contestar
-
0.021926
Ejercicios
Para los siguientes 30 problemas, encuentra la representación decimal de cada cociente. Usa una calculadora para verificar cada resultado.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
\(4.8 \div 3\)
- Contestar
-
1.6
Ejercicio \(\PageIndex{2}\)
\(16.8 \div 8\)
Ejercicio \(\PageIndex{3}\)
\(18.5 \div 5\)
- Contestar
-
3.7
Ejercicio \(\PageIndex{4}\)
\(12.33 \div 3\)
Ejercicio \(\PageIndex{5}\)
\(54.36 \div 9\)
- Contestar
-
6.04
Ejercicio \(\PageIndex{6}\)
\(73.56 \div 12\)
Ejercicio \(\PageIndex{7}\)
\(159.46 \div 17\)
- Contestar
-
9.38
Ejercicio \(\PageIndex{8}\)
\(12.16 \div 64\)
Ejercicio \(\PageIndex{9}\)
\(37.26 \div 81\)
- Contestar
-
0.46
Ejercicio \(\PageIndex{10}\)
\(439.35 \div 435\)
Ejercicio \(\PageIndex{11}\)
\(36.98 \div 4.3\)
- Contestar
-
8.6
Ejercicio \(\PageIndex{12}\)
\(46.41 \div 9.1\)
Ejercicio \(\PageIndex{13}\)
\(3.6 \div 1.5\)
- Contestar
-
2.4
Ejercicio \(\PageIndex{14}\)
\(0.68 \div 1.7\)
Ejercicio \(\PageIndex{15}\)
\(60.301 \div 8.1\)
- Contestar
-
6.21
Ejercicio \(\PageIndex{16}\)
\(2.832 \div 0.4\)
Ejercicio \(\PageIndex{17}\)
\(4.7524 \div 2.18\)
- Contestar
-
2.18
Ejercicio \(\PageIndex{18}\)
\(16.2409 \div 4.03\)
Ejercicio \(\PageIndex{19}\)
\(1.002001 \div 1.001\)
- Contestar
-
1.001
Ejercicio \(\PageIndex{20}\)
\(25.050025 \div 5.005\)
Ejercicio \(\PageIndex{21}\)
\(12.4 \div 3.1\)
- Contestar
-
4
Ejercicio \(\PageIndex{22}\)
\(0.48 \div 0.08\)
Ejercicio \(\PageIndex{23}\)
\(30.24 \div 2.16\)
- Contestar
-
14
Ejercicio \(\PageIndex{24}\)
\(48.87 \div 0.87\)
Ejercicio \(\PageIndex{25}\)
\(12.321 \div 0.111\)
- Contestar
-
111
Ejercicio \(\PageIndex{26}\)
\(64,351.006 \div 10\)
Ejercicio \(\PageIndex{27}\)
\(64,351.006 \div 100\)
- Contestar
-
643.51006
Ejercicio \(\PageIndex{28}\)
\(64,351.006 \div 1,000\)
Ejercicio \(\PageIndex{29}\)
\(64,351.006 \div 1,000,000\)
- Contestar
-
0.064351006
Ejercicio \(\PageIndex{30}\)
\(0.43 \div 100\)
Para los siguientes 5 problemas, encuentra cada cociente. Redondear a la posición especificada. Se puede usar una calculadora.
Ejercicio \(\PageIndex{31}\)
\(11.2944 \div 6.24\)
| Cociente Real | Décimas | centésimas | milésimas |
- Contestar
-
Cociente Real Décimas Cientos milésimas 1.81 1.8 1.81 1.810
Ejercicio \(\PageIndex{32}\)
\(45.32931 \div 9.01\)
| Cociente Real | Décimas | centésimas | milésimas |
Ejercicio \(\PageIndex{33}\)
\(3.18186 \div 0.66\)
| Cociente Real | Décimas | centésimas | milésimas |
- Contestar
-
Cociente Real Décimas Cientos milésimas 4.821 4.8 4.82 4.821
Ejercicio \(\PageIndex{34}\)
\(4.3636 \div 4\)
| Cociente Real | Décimas | centésimas | milésimas |
Ejercicio \(\PageIndex{35}\)
\(0.00006318 \div 0.018\)
| Cociente Real | Décimas | centésimas | milésimas |
- Contestar
-
Cociente Real Décimas Cientos milésimas 0.00351 0.0 0.00 0.004
Para los siguientes 9 problemas, encuentra cada solución.
Ejercicio \(\PageIndex{36}\)
Dividir el producto de 7.4 y 4.1 por 2.6.
Ejercicio \(\PageIndex{37}\)
Dividir el producto de 11.01 y 0.003 por 2.56 y redondear a dos decimales.
- Contestar
-
0.01
Ejercicio \(\PageIndex{38}\)
Dividir la diferencia de los productos de 2.1 y 9.3, y 4.6 y 0.8 por 0.07 y redondear a un decimal.
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Un anillo con un costo de 567.08 dólares se pagará en pagos mensuales iguales de 46.84 dólares. ¿En cuántos meses se pagará el anillo?
- Contestar
-
12.11 meses
Ejercicio \(\PageIndex{39}\)
Seis latas de cola cuestan $2.58. ¿Cuál es el precio de una lata?
Ejercicio \(\PageIndex{1}\)
Una familia viajó 538,56 millas en su automóvil en un día en sus vacaciones. Si su auto usaba 19.8 galones de gasolina, ¿cuántas millas por galón obtuvo?
- Contestar
-
27.2 millas por galón
Ejercicio \(\PageIndex{40}\)
Tres estudiantes universitarios deciden rentar un departamento juntos. La renta es de $812.50 mensuales. ¿Cuánto debe aportar cada persona para la renta?
Ejercicio \(\PageIndex{41}\)
Una mujer nota que a baja velocidad su videograbadora recorre 296.80 unidades de cinta en 10 minutos y a velocidad rápida a través de 1098.16 unidades de cinta. ¿Cuántas veces más rápida es la velocidad rápida que la velocidad lenta?
- Contestar
-
3.7
Ejercicio \(\PageIndex{42}\)
Una clase de 34 estudiantes de primer semestre de derecho empresarial pagan un total de $1,354.90, sin tener en cuenta el impuesto a las ventas, por sus libros de texto de derecho. ¿Cuál es el costo de cada libro?
Problemas
de la calculadora
Para los siguientes problemas, use la calculadora para encontrar los cocientes. Si el resultado es aproximado (ver Conjunto de Muestras C) redondea el resultado a tres decimales.
Ejercicio \(\PageIndex{43}\)
\(3.8994 \div 2.01\)
- Contestar
-
1.94
Ejercicio \(\PageIndex{44}\)
\(0.067444 \div 0.052\)
Ejercicio \(\PageIndex{45}\)
\(14,115.628 \div 484.74\)
- Contestar
-
29.120
Ejercicio \(\PageIndex{46}\)
\(219,709.36 \div 9941.6\)
Ejercicio \(\PageIndex{47}\)
\(0.0852092 \div 0.49271\)
- Contestar
-
0.173
Ejercicio \(\PageIndex{48}\)
\(2.4858225 \div 1.11611\)
Ejercicio \(\PageIndex{49}\)
\(0.123432 \div 0.1111\)
- Contestar
-
1.111
Ejercicio \(\PageIndex{50}\)
\(2.102838 \div 1.0305\)
Ejercicios para la revisión
Ejercicio \(\PageIndex{51}\)
Convertir \(4 \dfrac{7}{8}\) a una fracción impropia.
- Contestar
-
\(\dfrac{39}{8}\)
Ejercicio \(\PageIndex{52}\)
\(\dfrac{2}{7}\) de que numero es \(\dfrac{4}{5}\) ?
Ejercicio \(\PageIndex{53}\)
Encuentra la suma. \(\dfrac{4}{15} + \dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{5}\) .
- Contestar
-
\(\dfrac{47}{30}\) o \(1 \dfrac{17}{30}\)
Ejercicio \(\PageIndex{54}\)
Redondea 0.01628 a las diez milésimas más cercanas.
Ejercicio \(\PageIndex{55}\)
Encuentra el producto (2.06) (1.39)
- Contestar
-
2.8634